数学二次函数中三角形面积最大值综合题.docx

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数学二次函数中三角形面积最大值综合题

2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题

28．（2017）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，若点在线段上运动（不与点重合），过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标；

（3）连接，在

（2）的结论下，求与的数量关系．

解：

（1）将点B，点C的坐标分别代入，

得：

，1分

解得：

，．

∴该二次函数的表达式为．3分

（2）设点N的坐标为（n，0）（2＜n＜8），

则，．

∵B（-2，0）,C（8，0）,

∴BC=10.

令，解得：

，

∴点A（0，4），OA=4，

∵MN∥AC，

∴．4分

∵OA=4，BC=10，

∴．5分

∴．6分

∴当n=3时，即N（3，0）时，△AMN的面积最大．7分

（3）当N（3，0）时，N为BC边中点.

∴M为AB边中点，∴8分

∵，

，

∴9分

∴．10分

24（2017）.抛物线经过点和点。

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线相交于两点，点是抛物线上的动点且位于轴下方。

直线轴，分别与轴和直线交与点。

①连结，如图12-1，在点运动过程中，的面积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；

②连结，过点作，垂足为点，如图12-2。

是否存在点，使得与相似？

若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由。

[分析]

（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；

②当△CNQ与△PBM相似时有=或=两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．

[解答]解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0），

∴，解得，

∴该抛物线对应的函数解析式为y=x2﹣x+3；

（2）①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，

∴可设P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），

∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，

∴M（t，0），N（t，t+3），

∴PN=t+3﹣（t2﹣t+3）=﹣（t﹣）2+

联立直线CD与抛物线解析式可得，解得或，

∴C（0，3），D（7，），

分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图1，

则CE=t，DF=7﹣t，

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=PNCE+PNDF=PN=[﹣（t﹣）2+]=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，△PCD的面积有最大值，最大值为；

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴当△CNQ与△PBM相似时，有=或=两种情况，

∵CQ⊥PM，垂足为Q，

∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），

∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，

∴=，

∵P（t，t2﹣t+3），M（t，0），B（5，0），

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣t+3）=﹣t2+t﹣3，

当=时，则PM=BM，即﹣t2+t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此时P（2，）；

当=时，则BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+t﹣3），解得t=或t=5（舍去），此时P（，﹣）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，）或（，﹣）．

[点评]本题为二次函数的综合应用，涉与待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、方程思想与分类讨论思想等知识．在

（1）中注意待定系数法的应用，在

（2）①中用P点坐标表示出△PCD的面积是解题的关键，在

（2）②中利用相似三角形的性质确定出相应线段的比是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

24.在平面直角坐标系中，规定：

抛物线的伴随直线为.例如：

抛物线的伴随直线为，即

（1）在上面规定下，抛物线的顶点为.伴随直线为；抛物线与其伴随直线的交点坐标为和；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点（点在点的右侧）与轴交于点

①若求的值；

②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为，当取得最大值时，求的值.

[分析]

（1）由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；

（2）①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出AC2、AB2和BC2，在Rt△ABC中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．

[解答]解：

（1）∵y=（x+1）2﹣4，

∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），

由伴随直线的定义可得其伴随直线为y=（x+1）﹣4，即y=x﹣3，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，

∴其交点坐标为（0，﹣3）和（﹣1，﹣4），

故答案为：

（﹣1，﹣4）；y=x﹣3；（0，﹣3）；（﹣1，﹣4）；

（2）①∵抛物线解析式为y=m（x﹣1）2﹣4m，

∴其伴随直线为y=m（x﹣1）﹣4m，即y=mx﹣5m，

联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，

∴A（1，﹣4m），B（2，﹣3m），

在y=m（x﹣1）2﹣4m中，令y=0可解得x=﹣1或x=3，

∴C（﹣1，0），D（3，0），

∴AC2=4+16m2，AB2=1+m2，BC2=9+9m2，

∵∠CAB=90°，

∴AC2+AB2=BC2，即4+16m2+1+m2=9+9m2，解得m=（抛物线开口向下，舍去）或m=﹣，

∴当∠CAB=90°时，m的值为﹣；

②设直线BC的解析式为y=kx+b，

∵B（2，﹣3m），C（﹣1，0），

∴，解得，

∴直线BC解析式为y=﹣mx﹣m，

过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，

∵点P的横坐标为x，

∴P（x，m（x﹣1）2﹣4m），Q（x，﹣mx﹣m），

∵P是直线BC上方抛物线上的一个动点，

∴PQ=m（x﹣1）2﹣4m+mx+m=m（x2﹣x﹣2）=m[（x﹣）2﹣]，

∴S△PBC=×[（2﹣（﹣1）]PQ=（x﹣）2﹣m，

∴当x=时，△PBC的面积有最大值﹣m，

∴S取得最大值时，即﹣m=，解得m=﹣2．

[点评]本题为二次函数的综合应用，涉与待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在

（1）中注意伴随直线的定义的理解，在

（2）①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在

（2）②中用x表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

24（2017）．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：

y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；

（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；

（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？

若存在，求出点Q的坐标与△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．

[考点]HF：

二次函数综合题．

[分析]

（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）设B（x，x2+1），而F（0，2），利用两点间的距离公式得到BF2=x2+（x2+1﹣2）2=，再利用配方法可得到BF=x2+1，由于BC=x2+1，所以BF=BC；

（3）如图1，利用菱形的性质得到CB=CF=PF，加上CB=FB，则可判断△BCF为等边三角形，所以∠BCF=60°，则∠OCF=30°，于是可计算出CF=4，所以PF=CF=4，从而得到自然数m的值为6；

（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，先解方程组得B（1+，3+），设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），则EQ=﹣t2+t+1，则S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（1+）•EQ=•（1+）•）（﹣t2+t+1），然后根据二次函数的性质解决问题．

[解答]解：

（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y=ax2+c得，解得，

所以抛物线解析式为y=x2+1；

（2）BF=BC．

理由如下：

设B（x，x2+1），而F（0，2），

∴BF2=x2+（x2+1﹣2）2=x2+（x2﹣1）2=（x2+1）2，

∴BF=x2+1，

∵BC⊥x轴，

∴BC=x2+1，

∴BF=BC；

（3）如图1，m为自然数，则点P在F点上方，

∵以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，

∴CB=CF=PF，

而CB=FB，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF为等边三角形，

∴∠BCF=60°，

∴∠OCF=30°，

在Rt△OCF中，CF=2OF=4，

∴PF=CF=4，

∴P（0，6），

即自然数m的值为6；

（4）作QE∥y轴交AB于E，如图2，

当k=1时，一次函数解析式为y=x+2，

解方程组得或，则B（1+，3+），

设Q（t，t2+1），则E（t，t+2），

∴EQ=t+2﹣（t2+1）=﹣t2+t+1，

∴S△QBF=S△EQF+S△EQB=•（1+）•EQ=•（1+））（﹣t2+t+1）=﹣（t﹣2）2++1，

当t=2时，S△QBF有最大值，最大值为+1，此时Q点坐标为（2，2）．

25（2017东营）．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

[分析]

（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；

（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．

[解答]解：

（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0，），

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；

（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴当DM有最大值时，其周长有最大值，

∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，

∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，DM有最大值，最大值为，

此时D