四维备课高中数学 22《平面向量的线性运算》导学案 新人教a版必修4.docx

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四维备课高中数学22《平面向量的线性运算》导学案新人教a版必修4

2．2《平面向量的线性运算》导学案

【学习目标】

1.掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义；

2.会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；

3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；

4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.

【导入新课】

设置情景：

1、复习：

向量的定义以及有关概念

强调：

向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置

2、情景设置：

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：

（4）船速为，水速为，则两速度和：

新授课阶段

一、向量的加法

１.向量的加法：

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

２.三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：

a+0-=0+a.

探究：

（1）两个向量的和仍是一个向量；

（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；

（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.

（4）“向量平移”（自由向量）：

使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

例1已知向量、，求作向量+.

作法：

４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：

上题中+的结果与+是否相同？

验证结果相同

从而得到：

１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）,

２）向量加法的交换律：

+=+

５．向量加法的结合律：

（+）+=+（+）,

证：

如图：

使，，,

则（+）+=，+（+）=

∴（+）+=+（+）.

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.

二、向量的减法

1用“相反向量”定义向量的减法

（1）“相反向量”的定义：

与a长度相同、方向相反的向量.记作a.

（2）规定：

零向量的相反向量仍是零向量.（a）=a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+（a）=0.

如果a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0.

（3）向量减法的定义：

向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差.

即：

ab=a+（b）,求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab.

3求作差向量：

已知向量a、b，求作向量ab.

∵（ab）+b=a+（b）+b=a+0=a，

作法：

在平面内取一点O，

作=a，=b,

则=ab，

即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.

注意：

1表示ab.强调：

差向量“箭头”指向被减数,

2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+（b）.

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

4探究：

1）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba.

２）若a∥b，如何作出ab？

例2已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.

解：

例3平行四边形中，a，b，

用a、b表示向量、.

解：

变式一：

当a，b满足什么条件时，a+b与ab垂直？

变式二：

当a，b满足什么条件时，|a+b|=|ab|？

变式三：

a+b与ab可能是相当向量吗？

三、向量数乘运算

1.定义：

请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？

（可结合教材思考）

可根据小学算术中的解释，类比规定：

实数与向量的积就是，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行.

实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：

（1）.

（2）时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；特别地，当或时，.

2.运算律：

问：

求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？

（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

生：

，.

师：

设、为任意向量，、为任意实数，则有：

（1）；　

（2）；　（3）.

通常将

（2）称为结合律，

（1）（3）称为分配律.

3.向量平行的充要条件：

请同学们观察，，回答、有何关系？

生：

因为，所以、是平行向量.

引导：

若、是平行向量，能否得出？

为什么？

可得出吗？

为什么？

生：

可以！

因为、平行，它们的方向相同或相反.

师：

由此可得向量平行的充要条件：

向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.

对此定理的证明，是两层来说明的：

其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第

（2）条可知与平行，即与平行.

其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：

①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.

例4如图：

已知，，试判断与是否平行．

解：

4）单位向量：

单位向量：

模为1的向量.

向量（）的单位向量：

与同方向的单位向量，记作.

思考：

如何用来表示？

（）

例5已知，设，如果

，那么为何值时，三点在一条直线上？

解：

例6在平行四边形ABCD中，分别是的中点，为与的交点，若，，试以，表示、、．

解：

课堂小结

（1）与的积还是向量，与是共线的；

（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路.该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；

（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.

作业

P88-89习题3A组2、3、4、5.

P89习题3B组2、3.

拓展提升

1.设都是单位向量，则下列结论中正确的是

A．B．C．D．

2.已知正方形的边长为，，则

A.B.C.D.

3.已知向量，且，则.（用表示）

4.已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示的表达式为

A.B.C.D.

5.已知向量不共线，为实数，则当时，有，

.

6.若菱形的边长为，则.

7.已知,则的取值范围是.

参考答案

例1作法：

在平面内取一点，作，则.

例2

解：

在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，

作，，则=ab，=cd.

例3

解：

由平行四边形法则得：

=a+b，==ab，

变式一：

|a|=|b|，

变式二：

a，b互相垂直，

变式三：

不可能，∵对角线方向不同

例4

解：

∵,

∴与平行.

4）单位向量：

单位向量：

模为1的向量.

向量（）的单位向量：

与同方向的单位向量，记作.

思考：

如何用来表示？

（）

例5

解：

由题设知，，三点在一条直线上的充要条件是存在实数，使得，即，

整理得.

若共线，则可为任意实数；

若不共线，则有解之，得.

综上，共线时，则可为任意实数；不共线时，.

例6

解：

是△的重心，.

拓展提升

1.提示：

因为是单位向量，

2.提示：

，∴.

3.

4.提示：

，∴，

.

5.提示：

若不全为，比方，则有，从而共线.

6.2提示：

7.提示:

.