固体物理第一二章习题解答.docx
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固体物理第一二章习题解答
第一章习题
1.画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和配位数。
（1）氯化钾；
（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。
解：
名称
分子式
结构
惯用元胞
布拉菲格子
初基元胞中原子数
惯用元胞中原子数
配位数
氯化钾
KCl
NaCl结构
fcc
2
8
6
氯化钛
TiCl
CsCl结构
sc
2
2
8
硅
Si
金刚石
fcc
2
8
4
砷化镓
GaAs
闪锌矿
fcc
2
8
4
碳化硅
SiC
闪锌矿
fcc
2
8
4
钽酸锂
LiTaO3
钙钛矿
sc
5
5
2、6、12
O、Ta、Li
铍
Be
hcp
简单
六角
2
6
12
钼
Mo
bcc
bcc
1
2
8
铂
Pt
fcc
fcc
1
4
12
2.试证明：
理想六角密堆积结构的。
如果实际的值比这个数值大得多，可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
证明：
如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a，而相邻两层的最近邻原子间距为：
。
当d=a时构成理想密堆积结构，此时有：
，
由此解出：
。
若时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大，
因此层间堆积不够紧密。
3.画出立方晶系中的下列晶向和晶面：
[01]、[10]、[112]、[121]、（10）、（211）、（11）、（12）。
解：
4.考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。
若采用初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？
解：
如右图所示：
在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标
系中，在、、三个基矢坐标上的截距为，则晶面
指数为（101）。
同理，（001）晶面在初基原胞基矢坐标系、、
上的截距为，则晶面指数为（110）。
5.试求面心立方结构（100）、（110）、（111）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于上述各晶面的轴线是什么对称轴？
解：
晶面指数
原子数面密度
面间距
对称轴
（100）
C4
（110）
C2
（111）
C3
6.对于二维六角密积结构，初基原胞基矢为：
，，。
求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。
解：
由倒格基失的定义，可计算得：
=，
，（未在图中画出）
正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示
（1）由组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是六角晶系的特征。
（2）由构成的二维正初基原胞，与由构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。
（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。
7.用倒格矢的性质证明，立方晶系的[hkl]晶向与（hkl）晶面垂直。
证明：
由倒格矢的性质，倒格矢垂直于晶面（hkl）。
由晶向指数[hkl]，晶向可用矢量表示，则：
。
倒格子基矢的定义：
；；
在立方晶系中，可取相互垂直且，则可得知，
且。
设（为常值，且有量纲，即不为纯数），
则，即与平行;也即晶向[hkl]垂直于晶面（hkl）
8.考虑晶格中的一个晶面（hkl），证明：
（a）倒格矢垂直于这个晶面；（b）晶格中相邻两个平行晶面的间距为；（c）对于简单立方晶格有。
证明：
（a）晶面（hkl）在基矢上的截距为。
作矢量：
，，
显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右图），且
同理，有，
所以，倒格矢晶面。
（b）晶面族（hkl）的面间距为：
（c）对于简单立方晶格：
9.用X光衍射对Al作结构分析时，测得从（111）面反射的波长为Å，反射角为θ=，求面间距d111。
解：
由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角，由布拉格公式：
2dsinθ=λ，可得
（对主极大取n=1）
10.试证明：
劳厄方程与布拉格公式是等效的。
证明：
由劳厄方程：
与正倒格矢关系：
比较可知：
若成立，即入射波矢，衍射波矢之差为任意倒格矢，则方向产生衍射光，式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。
现由倒空间劳厄方程出发，推导Blagg公式。
对弹性散射：
。
由倒格子性质，倒格矢垂直于该
晶面族。
所以，的垂直平分面必与该晶面族平行。
由右图可知：
（A）
又若为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：
；若不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性：
（B）
比较（A）、（B）二式可得：
2dSinθ＝nλ即为Blagg公式。
11.求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。
解：
每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为：
结构因子：
前四项为fcc的结构因子，用Ff表示从后四项提出因子
因为衍射强度，
用尤拉公式整理后：
讨论：
1、当h、k、l为奇异性数（奇偶混杂）时，，所以；
2、当h、k、l为全奇数时，；
3、当h、k、l全为偶数，且（n为任意整数）时，
当h、k、l全为偶数，但，则时，
12.证明第一布里渊区的体积为，其中Vc是正格子初基原胞的体积。
证明：
根据正、倒格子之间的关系：
，；
Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即
第二章习题
1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：
，求：
晶体平衡时两原子间的距离；平衡时的二原子间的互作用能；
若取m=2，n=10，两原子间的平衡距离为3Å，仅考虑二原子间互作用则离解能为4eV，计算a及b的值；
若把互作用势中排斥项改用玻恩－梅叶表达式，并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n和p间的关系。
解：
（1）由，平衡时：
，得：
，化简后得：
。
（2）平衡时把r0表示式代入U（r）中：
。
（3）由r0表示式得：
若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U（r）式的负值，得：
化简为：
略去第二项计算可得：
（4）由题意得：
*
，，则：
又解：
*式两边对r0求导，得：
，与*式比较得：
可解得：
2、N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为：
。
证明平衡原子间距为：
；
证明平衡时的互作用势能为：
；
若试验试验测得Nacl晶体的结合能为765kJ/mol，晶格常数为⨯10-10m，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n，已知Nacl晶体的马德隆常数是α＝。
证明：
（1）由：
得：
令：
，即
得：
。
（2）把以上结果代入U（R）式，并把R取为R0，则：
若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－”。
（3）由
（2）之结论整理可得：
式中：
N，库仑，法/米
若题中R0为异种原子的间矩，则：
；
U（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）
马德隆常数：
，将这些一致数据代入n的表达式中，则：
3、如果把晶体的体积写成：
V＝NβR3，式中N是晶体中的粒子数；R是最近邻粒子间距；β是结构因子，试求下列结构的β值：
fcc；bcc；NaCl；金刚石。
解：
取一个惯用元胞来考虑：
结构
V0
N0
R0
β
fcc
a3
4
bcc
a3
2
NaCl
a3
8
1
金刚石
a3
8
4、证明：
由两种离子组成的间距为R0的一维晶格的马德隆常数。
[已知]
证明：
由马德隆常数的定义：
，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。
若以一正离子为参考点，则：
（A）
又由已知，代入（A）式，则：
5、假定由2N个交替带电荷为的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为，试证明在平衡间距下有：
。
证明：
由，得：
令：
，即
得：
。
把该式代入U（R）式，并把R取为R0，则：
（A）
由马德隆常数的定义：
，其中同号离子取“－”，异号离子取“＋”。
若以一正离子为参考点，则：
（B）
又由已知，代入（B）式，则：
。
将代入（A）式，得：
。
6、试说明为什么当正、负离子半径比时不能形成氯化铯结构；当时不能形成氯化钠结构。
当时将形成什么结构？
已知RbCl、AgBr及BeS中正、负离子半径分别为：
晶体
r+/nm
r-/nm
RbCl
AgBr
BeS
若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？
若近似地把正、负离子都看成是硬小球，请计算这些晶体的晶格常数。
解：
通常，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。
对氯化铯结构，如图（a）所示，8个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心，所以立方体的对角线，立方体的边长为：
为了能构成氯化铯结构晶体，负离子的直径必须小于立方体的边长a，即
，由此可得：
。
即为了能构成氯化铯结构晶体，必须小于。
（a）（b）（c）
对于氯化钠结构，如图（b）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（100）面的离子分布情况，这里设正离子处在顶角，由图可见，
，则。
所以，构成氯化钠结构必须小于。
对于闪锌矿结构，如图（c）所示为闪锌矿结构的一个惯用原胞（110）面的离子分布，这里设负离子处在面心立方位置，由图可见，
，，
，则：
所以，构成氯化钠结构必须大于。
晶体
r+/nm
r-/nm
晶体结构
晶格常数a/nm
RbCl
AgBr
BeS
氯化铯
氯化钠
闪锌矿
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