北京西城14中高三上期中文数学真题卷.docx
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北京西城14中高三上期中文数学真题卷
北京市第十四中学2017-2018学年度第一学期高三数学（文科）
期中试卷2017年11月
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．集合，，且，则的子集共有（）．
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【解析】∵集合，，
∴，
∴集合的子集中有，，，共个．
故选．
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由该几何体的三视图可知：
该几何体是一个直三棱柱，底面是腰长为的等腰直角三角形，
棱柱的高为，
所以该几何体的表面积．
故选．
3．有辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过的汽车数量为（）．
A．辆B．辆C．辆D．辆
【答案】B
【解析】根据频率分布直方图得，时速超过的频率是：
，
因此，时速超过的汽车数量为：
．
故选．
4．设，是实数，则“”是“”的（）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】令，，则满足，但不满足，
所以“”是“”的不充分条件，
反之，令，，
则满足，但不满足，
所以“”是“”的不必要条件，
故“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选．
5．若双曲线的一条渐近线方程是，则此双曲线的离心率为（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，
∴，，
∴双曲线的离心率是．
6．定义运算，则函数的图象是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由已知新运算的定义可知是取，中的最小值，
因此函数，
即当时，，
当时，，
只有选项中的图象符合要求．
故选．
7．已知圆和两点，．若圆上存在点，使得，则的最大值为（）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径为，
圆心到的距离为，
故圆上的点到点的距离的最大值为，
再由可得，以为直径的圆和圆有交点，
可得，
所以，
故的最大值为．
故选．
8．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和大于元，而购买千克甲种蔬菜与千克乙种蔬菜所需费用之和小于元．设购买千克甲种蔬菜所需费用为元，购买千克乙种蔬菜所需费用为元，则（）．
A．B．
C．D．，大小不确定
【答案】C
【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为，元，
则，，，
两式分别乘以，，
整理得，
即，
所以．
故选．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知，，是虚数单位．若，则__________．
【答案】
【解析】若，
则，，
故．
10．中，，，，则的面积为__________．
【答案】
【解析】∵在中，，，，
∴由余弦定理得：
，
即，
解得，（舍去），
∴的面积．
11．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是：
__________．
【答案】
【解析】当，时，满足，执行，；
当，时，满足，执行，；
当，时，满足，执行，；
当，时，满足，执行，；
当，时，不满足，输出．
12．在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为__________．
【答案】
【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间，
则线段的长介于与之间，
满足条件的点对应的线段长为，
而线段的总长度为，
故正方形的面积介于与之间的概率．
13．某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站千米处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站__________千米处．
【答案】
【解析】设仓库与车站的距离为，
由题意可设，，
把，与，分别代入上式得，，
故，，
∴这两项费用之和，
当且仅当，
即时等号成立，
故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站千米处．
14．甲乙两人做游戏，游戏的规则是：
两人轮流从（必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报个数（如，一个人报数“，”，则下一个人可以有“”，“，”，，“，，，，，，”等七种报数方法），谁抢先报到“”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想获胜，第一次报的数应该是__________．
【答案】，，，
【解析】甲先报，，，，然后不管乙报几个数，
甲只需要每次报的数的个数与乙的个数为，
因为，
于是轮过后，甲获胜．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共分）
已知函数．
（）求的最小正周期．
（）求证：
当时，．
【答案】见解析．
【解析】解：
（），
，
，
，
∴的最小正周期．
（）∵，
∴，
∴，
∴．
16．（本小题满分分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．
（）证明：
平面．
（）证明：
平面．
（）求三棱锥的体积．
【答案】见解析．
【解析】（）证明：
连接，，
∵底面是平行四边形，是中点，
∴是中点，
又∵是的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面．
（）证明：
∵，，
∴，即，
又平面，平面，
∴，
又，
∴平面．
（）解：
∵是的中点，
∴到平面的距离，
又．
∴三棱锥的体积．
17．（本小题满分分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成小块地，在总共小块地中．随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙．
（）假设，求第一大块地都种植品种甲的概率．
（）试验时每大块地分成小块．即，试验结束后得到品种甲和品种乙在各个小块地上的每公顷产量（单位）如下表：
品种甲
品种乙
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：
样本数据，，，的样本方差，其中为样本平均数．
【答案】见解析．
【解析】解：
（）设第一大块地中的两小块地编号为，，
第二大块地中的两小块地编号为，，
令事件“第一大块地都种品种甲”，从小块地中任选小块地种植品种甲的基本事件有：
，，，，，共个，
而事件包含个基本事件：
．
故．
（）品种甲的每公顷产量的样本平均数和方差分别为：
，【注意有文字】
，【注意有文字】
品种乙的每公顷产量的样本平均数和方差分别为：
，【注意有文字】
，【注意有文字】
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差相同，
故应选择种植品种乙．
18．（本小题满分分）
等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
第二行
第三行
（）求数列的通项公式．
（）设数列的前项之和为，求．
（）设数列的前项之积为，求．
【答案】见解析．
【解析】解：
（）由题意可知，，，，
∴数列的公比，
∴．
（）由等比数列的前项和公式可知：
．
（），
，
，
．
19．（本小题满分分）
设椭圆的左、右交点分别为，，点满足．
（）求椭圆的离心率．
（）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程．
【答案】（）．（）．
【解析】解：
（）设，，
由题意，得，
整理得，
解得（舍去）或，
故椭圆的离心率．
（）由（）知，，可得椭圆方程为，
直线的方程为，
代入椭圆方程消去得：
，
解得或，
不妨设，，
∴，
∴，
又圆心到直线的距离，
∵，
即，
解得（舍去）或．
故椭圆的方程为．
20．（本小题满分分）
设，．
（）求曲线在点处的切线方程．
（）求函数的单调区间．
（）求的取值范围，使得对任意成立．
【答案】见解析．
【解析】解：
（）由可得的定义域是，，
∴，，
∴曲线在点处的切线方程为：
，即．
（），，
令，则，
令，则，
又，
∴函数的单调减区间是，单调增区间是．
（）若对任意成立，
则对任意成立，
故，
由（）可知，，
∴，即，
即，
∴．
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