电磁场第二次仿真作业Word文档格式.docx

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截面为正方形的无限长线电荷如下图所示。

设电荷体密度为；

边长a=2。

请采用Matlab的PDETool工具箱仿真区域oABC的电磁场分布。

说明场的边值问题，给出边界oA、AB、BC、Co上边界条件。

图1截面正方形无限长线电荷

2.理论分析

由题意知，应用仿真工具求无限长电荷在无穷远电势为某常数时的电场分布，只能用有限大区域去代替边界为无穷远的区域，在无穷远处的边界条件以有限大区域边界条件去替代。

因此，本题的关键之一是如何用一个较好的有限大区域来代替边界为无穷远的区域。

首先，我们取边界为Co，CB，BA和Ao。

则边界条件可用下列方程表示：

对于泊松方程而言，在导体内部有：

在导体外部有：

对于无限长导线而言，理论上不能取无限远处电势为零，但考虑到本题以原点为零电位点，而且用matlab运算是离散的，所以可以认为在边界上有

。

另外，本题电荷密度可取2π。

3.利用数值方法求解

利用Toolbox中的PDE仿真如下：

图2截面正方形线电荷电场线及电位分布（分割一次）

由图可见，在分割次数较小的时候，不能很好的反应空间内的电场分布。

因为我们知道本题无限长导线在空间中产生的等势线应该是在纵轴右侧，但是图中的等势线形状不对，而且已经过了纵轴。

因此，将分割次数增加。

当分割次数等于3时，结果如下：

图3截面正方形线电荷电场线及电位分布（分割三次）

由图可见，分割次数增加后，仿真精度提高，电场分布越来越接近真实。

值得注意的是，增加精度后图上能够表达的最大电位也有所增加，这是因为网格（meshgrid）分得更细，从而可以更精确的计算出电位的原因。

这点在下面的题目中也有所体现。

我们注意到，电场线在边界上发生了不符合现实电场规律的偏折，这是由于对于边界20附近而言，未满足“无限远”的条件。

为了让仿真结果更接近实际情况，我们可以将边界设在40处，然后研究20处的电场分布即可。

结果如下：

图4增加精度后的电场分布

由图可见，边界范围增加后，对于20附近的电场（图4中红色框内），我们可以认为与现实情况很接近了。

我们继续讨论如何用一个较好的有限大区域来代替边界为无穷远的区域。

由电轴法的思想可知，我们可以在很远（例如大约10倍于截面中心处）设定一条基于对称电轴的精确等位线。

位于（-b,0）,（b,0）的一组电轴，得到的等位线应该是不同心的一组圆。

其圆心横坐标h和半径a分别满足：

其中k是等位线上一点与负、正电轴的距离的比值。

对于第一象限的点，k>

1。

于是我们不妨令k=1.1，又因为足够远，可以认为电轴横坐标b=3，那么容易求得

也就是说，我们把边界图形设定为以（221/7,0）为圆心，220/7为半径的圆，并令其第一象限内的圆的外边界等电位（即为边界条件），就可以得到基于较远处近似电轴的方法的电场分布。

事实上，利用这种方法，如果k值足够趋近于1（k>

1是必须的），所的图形就可以无限趋近于真实情况。

在PDE工具箱中仿真结果如下：

图5根据近似电轴法仿真得到的电场分布

由图可见，用这种方法仿真出来的电场较用矩形仿真出来的，由于矩形区域引起的电场线偏折已经完全消失。

事实上，在靠近电荷附近电场强度的值应该比较大，等位线分布应该较为密集。

从仿真图形来看，等位线的分布验证了理论，但是电场线的疏密并未能够准确表现出场强的大小。

这是由于工具箱程序编写时将平面分为有限且固定比例的网格点，从而箭头的密度在平面内处处相同，也就无法体现疏密之别。

我们不勾选归一化选项，所得图形如下：

图6根据近似电轴法仿真得到的电场分布（未归一化）

至此，可以认为仿真已经符合现实情况。

我们可以用实际的等量异种线电荷分布来验证，下图中，两个圆是表示“无限远处电势为零”。

图7等量异种电荷线电荷电场分布

（1）

如果用两个圆代替实际情况的无限远边界条件，由于软件功能所限，我们很难仿真出纵轴附近的电场分布。

另一方面，考虑到在“无限远”处看线电荷的时候，到线电荷的距离相等，因此，我们可以用一个足够大的圆来代替两个圆。

仿真结果如下：

图8等量异种电荷线电荷电场分布

（2）

图8仿真情况较好。

由此，我们验证了图6中用等势圆代替“无穷远”是可行的。

这是因为，此种方式确定的第一象限的边界条件的设定较符合真实情况，而根据静电场的唯一性定理，确定了泊松方程和相应边界条件的静电场问题有唯一解。

最后说明一点，电荷表面遵循另外一种边界条件（利用高斯定律描述为

），此处不做考虑，当做衔接面处理。

题目二：

几个电场问题

采用Matlab的PDETool工具箱对下列场进行仿真。

a）

边界条件一为导体表面的第一类边界条件：

；

墙壁上以及无穷远处的的第二类边界条件：

电场在由墙壁所构成的区域内满足拉普拉斯方程

用Matlab仿真，所得结果如下：

图9a的电场分布

增大无限远的范围，电场的分布基本不变，所以可以认为仿真结果近似符合实际情况。

图10a的电场分布（未归一化）

在墙壁和无限远处的电位均为0，所以由于：

可知在无限长导体和墙壁间隙较近的部位，电场强度较大。

未归一化时，电场强度和实际相符。

◆判断正确性

i.靠近直角的等势线也应该接近于直角及平行平面，直至远离导体到无穷远处，图中亦符合这一点。

ii.无限长导体与墙壁间隙较近的部位，电场强度较大。

未归一化时的图像体现了此规律。

iii.离导体远的区域，电场强度小，因此等势线稀疏，靠近处电力线稠密。

仿真结果体现了这一点。

b）

边界条件即为两个墙壁上的第一类边界条件：

.

以及左上和右下边界上的第二类边界条件：

（左上），

（右下）

在区域内电场满足拉普拉斯方程

图11b的电场分布

未归一化时，可以看出在拐角处电场强度较小，如下图所示：

图12b的电场分布（未归一化）

i.如图可见，电力线满足从内向外，且在两个导体面间近似于平行平面场。

ii.如图可见，电场线垂直于边界。

iii.在拐角处电场强度较小，未归一化的图也体现了这一点。

c）

墙壁上的第二类边界条件：

图13c的电场分布

取消归一化电场线箭头后，得到下图：

图14c的电场分布（未归一化）

i.导体棒周围满足电力线均匀向外发散，可见图中紧挨导体周围的部分等势线是一系列同心圆。

ii.在边界处，电力线和边界形状近似。

iv.导体棒附近区域电场强度大，由未归一化的图可以看出这一点。

实验收获

1.这次仿真作业较上次要简单，主要是得益于Matlab的PDETOOLS软件。

Matlab真的是一个相当强大的软件，可以满足各领域的有关需求。

但是，PDETOOLS的功能显然还有各种不完善之处。

例如，X和Y轴的自动调节功能就不太方便；

撤销操作也不太方便；

另外，在设定了边界条件及PDE方程后，就不能改变原有的图形了。

而且，对于某些复杂的电磁场问题，PDETOOLS是很难求解的。

例如，对于边界是非圆曲线的情况PDETOOLS就很难解决。

2.列好边界条件是解题的关键之一，在列好边界条件的同时，我们还应不断探索和选择更好的模型，由浅入深，循序渐进，用更简便和精确的模型，来以有限替无限，进而模拟出现实世界的情况。

3.由于数值方法本身的限制，我们要时刻考虑运算精度对运算结果的影响，有时，运算精度不高会对运算结果产生质的影响。

例如第一题分割一次和分割三次图像差别就很大，分割一次的结果根本就不能描述现实状况。