导数在研究函数中的应用含标准答案.docx
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导数在研究函数中的应用含标准答案
导数在研究函数中的应用
【自主归纳，自我查验】
一、自主归纳
1利用导函数判断函数单调性问题
函数f（x）在某个区间（a,b）内的单调性与其导数的正负有如下关系
（1）求f'x（
（2）在定义域内解不等式f'x）>0或f刈<0.
⑶根据结果确定f（x）的单调区间.
3•函数的极大值
在包含x0的一个区间（a,b）内，函数y=f（x）在任何一点的函数值都x0点的函数值,
称点X。
为函数y=f（x）的极大值点，其函数值f（X。
）为函数的极大值.
4.函数的极小值
在包含xo的一个区间（a,b）内，函数y=f（x）在任何一点的函数值都X。
点的函数值,
称点x°xo为函数y=f（x）的极小值点，其函数值f（x。
）为函数的极小值.极大值与极小值统称
为，极大值点与极小值点统称为极值点.
5.函数的最值与导数
1.函数y=f（x）在［a,b］上的最大值点X。
指的是：
函数在这个区间上所有点的函数值都
f（X。
）.
2.函数y=f（x）在［a,b］上的最小值点Xo指的是：
函数在这个区间上所有点的函数值都
f（Xo）.
二、自我查验
1.函数f（x）=x+elnx的单调递增区间为（）
A.（0,+a）B.（―a,0）
C.（—a,0）和（0,+a）D.R
2.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是.
3•函数f（x）的定义域为开区间（a,b），导函数f'（x）在（a,b）内的图
象如图所示，则函数f（x）在开区间（a,b）内有极小值点（）
4.若函数f（x）=x3+ax2+3x—9在x=
—3时取得极值,
A.
2
B.3
C.
4
D.5
5•函数
y
Inx
x的最大值为
x
（）
A.
1e
B.
e
C.
2e
D.
10
T
C.3个
D.4个
则a等于（
【典型例题】
考点一利用导数研究函数的单调性
【例1】（2015髙考全国卷n）已知函数
f（x）=Inx+a（1—x）.
（1）讨论f（x）的单调性;
【变式训练1】已知fxx3ax2a2x2.
（1）若a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程;
（2）若a0,求函数fx的单调区间.
导数在研究函数中的应用
考点二利用导函数研究函数极值问题
【例2】已知函数fxInxax3,aR.
（1）当a1时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间.
【变式训练2】（2011安徽）设f（x）=[Jax2，其中a为正实数•当a=4时，求f（x）的极值点;
考点三利用导函数求函数最值问题
2
【例3】已知a为实数，fx（x4）（xa）.
（1）求导数fx；
（2）若f10，求fx在2,2上的最大值和最小值
【应用体验】
1•函数yx
Inx的单调递减区间为（
）
A.
1,1
B
.0,
C.
1,
D
.0,1
2.函数1
fxxex
的单调递减区间是（
）
A
.（1
）B.（,1）C.（
1）D.（1
3.函数fxx
3ex的单调递增区间是（
）
A
.0,3
B.1,4
C
.2,
D.,2
4.设函数
fx-
x
lnx」（）
A
.x
1为fx
2
的极大值点
B
.x
1为fx
2
的极小值点
C
.x
2为fx
的极大值点
D
.x
2为fx
的极小值点
5.
函数
f（x）2x3
2
3xa的极大值为6,
那么a的值是（
A
.0
B
.1
C
.5
D
.6
）
）
【复习与巩固】
A组夯实基础
、选择题
D.fc
2.函数fx
x2alnx在x
1处取得极值，则a等于（）
A.2B.2
C.4D.4
3.函数fxexx（e为自然对数的底数）在区间1,1上的最大值是（）
4.
B.1
A.1
、填空题
4.若函数fX
X3Xmx1是R上的单调增函数，则实数m的取值范围是
B组能力提升
、选择题
D.
A.1
2
C.1
2
二、填空题
11
5.已知函数f（x）=^x2+2ax—Inx,若f（x）在区间2上是增函数，则实数a的取值范围为
6.设X1,X2是函数f（x）=x—2ax2+a2x的两个极值点，若X1<2&设函数f（x）=（x—1）ex—kx2（其中k€R）.
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当k€[0,+g）时，证明函数f（x）在R上有且只有一个零点.
《导数在研究函数中的应用》标准答案
一•自主归纳
1.
（1）f'（x）>0
（2）f'（x）<0（3）f'（x）=03.小于
4.大于极值
5.不超过不小于
二•自我查验
e
1.解析：
函数定义域为（0,,f'（X）=1+x>0,故单调增区间是（0,+X）•
入
答案：
A
2.解析：
•••f（x）=x3+x2+mx+1,
二f'（x）=3x2+2x+m
1
又If（x）在R上是单调增函数，f'（x）>0恒成立，•••△=4—12m<0,即m>3.
3
答案：
2，+x
3.解析：
导函数f'（X）的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.
答案：
A
4.解析：
f'（x）=3x2+2ax+3,由题意知f'（—3）=0,即卩3X（—3）2+
2X（—3）a+3=0,解得a=5.
答案：
D
5..A【解析】ylnxy-_鉴，令y-_鉴0xe，当x（0,e）时函
xxx
数单调递增，当x（e,）时函数单调递减，ymax丄e故选A
e，
三•典型例题
1
【例题1】
（1）f（x）的定义域为（0，+^），f'（x）=乙—a.若a<0,则f'（x）>0，
入
1
所以f（x）在（0,+^）单调递增•若a>0,则当x€0,a时，f'（x）>0;
a
1
在a,+x单调递减.
a
1
⑵由⑴知，当a<0时，f（x）在（0,+^）无最大值；当a>0时，f（x）在x=-处
a
111
取得最大值，最大值为fa=lna+a1—a=—lna+a-1.
aaa
1因此f匚>2a—2等价于Ina+a—1<0.
a
令g（a）=Ina+a—1，贝Ug（a）在（0，+^）单调递增，g
（1）=0.
于是，当01时，g（a）>0.
因此，a的取值范围是（0,1）.
【变式训练11
（1）当a1时，fxx3x2x2，•••fx3x22x1，
，即4xy1
当a0时,
1f（x）-
x
a0在0,
上恒成立，所以函数f
0,
上单调
递增;
11
令fX0，解得x-，所以函数fX在-，上单调递减•
aa
综上所述，当a0时，函数fx的单调增区间为0,；当a0时，函数fx
1i
的单调增区间为0,-，单调减区间为-，
aa
【变式训练2】解对f（x）求导得
-Iax°2ax4
f'（x）=e•-+ax2__2.当a=3时，若f'（x）=0，则4x2_8x+3=0，
31
解得X1=2，X2=2-结合①，可知
X
（_x，
1
2）
1
2
1
（2,
3
2）
3
2
3
（0，+
oo）
f'（x）
+
0
—
0
+
f（x）
极大
值
极小
值
/1
31
所以X1=㊁是极小值点，X2=2是极大值点•
【例题3】1）f'x
2x（xa）（x24）3x22ax4.
1
（2）由f10得a1，
2
故f（x）（x24）（x1）x3
2
f（x）在R上单调递增,
【变式训练3】1）当a0时，函数f（x）ex2a0，
当a0时，f（x）ex2a，令ex2a0,得xln（2a），所以当x（,ln（2a））
时，f（x）0,函数f（x）单调递减；当x（ln（2a）,）时，f（x）0,函数f（x）
单调递增•
（2）由
（1）可知，当a0时，函数f（x）ex2ax0，不符合题意.
当a0时，f（x）在（，ln（2a））上单调递减，在（ln（2a）,）上单调递增.
①当ln（2a）1，即；a0时，f（x）最小值为f⑴2ae.
x2是函数fx的极小值点.故选D.
考点：
函数的极值点.
5.D
可得x0,1，容易判断极大值为
考点：
函数的导数与极值.
复习与巩固
A组
1.C
考点：
禾U用导数求函数单调性并比较大小.
2.B
3.D
考点：
利用导数求函数在闭区间上的最值
因为g
m3x22x恒成立.令gx3x22x，则m
211
3x22x为R上的二次函数，所以gxg-3-
max33
2--，则m的取值范围是-,.
333
5.0
x2x2
6xae3xaxe3x6axa【解析】fx2-
exe
由题意得f0a0.
考点：
导数与极值.
6.1
【解析】因为f（x）ex1,f（x）0x0,f（x）0x0，所以f（x）在
［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，从而函数f（x）exX在［1,1］上的最小值是
f（0）e001.
考点：
函数的最值与导数.
7.【解析】fxlx2Inx的定义域为0,，
Inx
1
1，则fX
.2
a，由题意可得
In
X
2
11
1
-
-
InxInx
Inx
2
4，
x1,，Inx0,
2
1
a
1
（2）
当a2时，fx
—2x,fx
Inx
2
Inx12Inx
7~2，
Inx
0,得21n2x
Inx
10，解得Inx
-或Inx
2
1（舍去），即xe.
当x时，f
的极小值为fe
B组
1.D
【解析】因为函数fxx2舟阮2在区间a
1,a1上不单调，所以
x2x丄
2x
4x21
2x
在区间a1,a
1上有零点,
0,
1
2
1,得1a
考点：
函数的单调性与导数的关系
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