初中数学八年级上册第七章平行线的证明教案 北师大版Word文档格式.docx
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同桌之间相互交流.
(2)算一算验证“归纳法”.
课件出示教材第162页“做一做”第
(1)题.
我们是不是可以由此得出结论:
当n为任意自然数时,n2-n+11的值一定是质数呢?
让学生再多取几个数代入代数式中,验证结论是否正确.
(不正确,比如当n=11时,n2-n+11=121,结果是合数.)
思考:
由归纳得到的结论一定正确吗?
(3)再次验证“归纳法”.
课件出示教材第162页“做一做”第
(2)题.
DE与BC平行,且等于BC长度的一半;
引导学生尝试猜想:
连接三角形两条边的中点所得的线段平行第三条边,且是第三条边长度的一半;
组织学生进行归纳并验证结论,发现这样的结论对所有的三角形都成立.
小结:
归纳得到的结论有的正确有的不正确.
3.交流与发现.
通过上述几类问题的分析,你有什么发现吗?
通过实验、观察、归纳得到的结论是否都正确?
怎样判断一个结论是否正确呢?
总结:
实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确,因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的,必须进行有根有据的证明.
三、举例分析
1.课件出示教材第163页“随堂练习”第1题第
(1)题.
解:
线段b与线段d在同一条直线上.
2.课件出示教材第163“随堂练习”第1题第
(2)题. 分析:
观察往往会产生错觉,得出的结论不一定正确,想要判断两条线段是否一样长,最科学、合理的方式是量一量,组织学生动手操作量一量.
两条线段一样长.
四、练习巩固
观察下图,左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大?
一样大.
说明:
实验、观察、归纳得出的结论不一定都正确,必须推理论证后才能得出正确的结论.
五、小结
1.通过本节课的学习,我们了解了实验、观察、归纳得到的结论不一定正确,从而明白证明的意义和必要性.
2.让学生反思自己在本节课学习中的优缺点及改进的方法,并能积极地参与总结性的发言.
六、课外作业
教材第164页习题7.1第1~3题.
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本,为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上,融入了新课标的思想内涵,尊重学生的直观感觉,并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面.不是一味地强调证明的必要性,而是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性,设计中突出体现了学生的主体地位.
2 定义与命题
第1课时 定义与命题
1.了解定义与命题的含义,会区分某些语句是不是命题;
能找出命题的条件和结论.
2.用数学的观点来审视生活中或数学学习中遇到的语句特征.
3.通过对某些语句特征的判断,养成严谨的思考习惯.
理解命题的概念,找出命题的条件和结论.
正确找出命题的条件和结论.
课件出示:
小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
小亮说:
……
小刚说:
“是的,现在因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……”小亮说:
“……”
“哈!
这个黑客终于被逮住了.”……
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话,一边也在悄悄议论着:
一人说:
“这黑客是个小偷吧?
”
另一人说:
“可能是喜欢穿黑衣服的贼.”……
“那因特网肯定是一张很大的网.”
“估计可能是英国造的特殊的网.”……
在这个故事中,你得到什么启示?
(人与人之间的交流必须在对某些名称和术语有共同认识的情况下才能进行.为此,我们需要给出它们的定义.)
1.命题.
课件出示教材第165页“议一议”.
学生小组讨论,指名汇报,教师点评,并引出命题的概念.
像这样,对事情作出判断的句子,就叫做命题.即:
命题是判断一件事情的句子.例如,上面“议一议”中的
(1)
(2)(3)(4)对事情进行了判断,都是命题.
如果一个句子没有对某一事情做出任何判断,那么它就不是命题.例如,上面“议一议”中的(5)(6)都不是命题.
大家能举出这样的例子吗?
学生分小组讨论回答:
任意一个三角形都有一个直角.
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
全等三角形的对应角相等.
2.命题的条件和结论.
阅读教材第166页“想一想”,完成下列小题.
(1)这些命题都有________________的结构特征.
(2)一般地,每个命题都由________和________两部分组成,________是已知的事项,________是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“如果……那么……”的形式,其中“________”引出的部分是条件,“________”引出的部分是结论.
3.完成教材第166页“做一做”.
1.举出一些是命题的语句.
教师引导学生回答问题.
2.举出一些不是命题的语句.
1.下列句子中哪些是命题?
(1)画线段AB=3cm;
(2)两条直线相交,有几个交点?
(3)等于同一个角的两个角相等吗?
(4)在射线OA上,任取两点B,C.
2.指出下列命题的条件和结论.
(1)若a>0,b>0,则ab>0;
(2)如果a∥b,b∥c,那么a∥c;
(3)同角的补角相等;
(4)内错角相等,两直线平行.
1.定义的含义:
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,就是它们的定义.
2.命题的含义:
判断一件事情的句子,叫做命题,如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.
教材第167页习题7.2第1~3题.
教学中以学生自主探索为主,通过学生活动,了解定义的含义.通过学生的自主探索、合作交流、归纳出命题的题设和结论,加深了学生对命题结构的理解与记忆.整个教学过程中以学生讨论为主,极大地调动了学生的学习积极性,激发了学生学习的兴趣.在教学中教师要加强对已经学过的相关知识的梳理,加深对新知识的认识,逐渐形成对知识的迁移与应用.
3 平行线的判定
1.熟练掌握平行线的判定定理;
能对平行线的判定进行灵活运用,并把它们应用于几何证明中.
2.通过学生画图、讨论、推理等活动,体会证明的基本方法和过程,体验推理的严谨性和结论的确定性,同时给学生渗透化归思想和分类思想.
掌握平行线的判定定理及灵活运用.
平行线判定定理的应用.
一、复习导入
1.什么叫做平行线?
(同一平面内,两条直线不相交,就叫做平行线)
2.什么叫做同位角、内错角和同旁内角?
3.前面我们探索过两条直线平行的哪些判别条件?
通过前面的学习我们知道,判断一个数学结论是否正确还需要有根有据的证明,那么,利用“同位角相等,两直线平行”这个基本事实,你能证明下列定理吗?
我们一起来试一试.
1.平行线的判定定理一.
(1)定理:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简述为:
内错角相等,两直线平行.
(2)证明这个定理需要先把定理转化成几何语言,谁能说一说,怎么转化?
(画出两条直线a,b,被第三条直线c所截,标出内错角∠1和∠2,表示如果∠1=∠2,那么a∥b.)
已知:
如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:
a∥b.
(3)怎么证明呢?
请写出完整的证明过程.
证明:
∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),
∴∠3=∠2(等量代换).
∴a∥b(同位角相等,两直线平行).
2.平行线的判定定理二.
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简述为:
同旁内角互补,两直线平行.
(2)让学生利用证明定理一的经验自主证明定理二.
(3)讨论:
要由同旁内角互补证明两直线平行,怎么证明?
(我们知道有基本事实“同位角相等,两直线平行”,如果能由同旁内角互补推出同位角相等,那么根据已有的这个基本事实就能证明两直线平行)
(4)学生板书证明过程.
1.如图①所示,由∠DCE=∠D,可判断哪两条直线平行?
由∠1=∠2,可判断哪两条直线平行?
2.如图②,已知∠1=45°
,∠2=135°
,l1∥l2吗?
为什么?
学生思考后回答问题,教师点评.
1.同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是( )
A.a∥d B.b⊥d C.a⊥d D.b∥c
2.如图,∠B=60°
,∠1=________时,DE∥BC,理由是________________.
1.如何判断两条直线平行?
2.通过这节课的学习你还有哪些收获?
教材第173~174页习题7.4第1~4题.
本节课学习了判定两条直线平行的三个方法,其中一条是判定公理,另外两个是判定定理.判定公理是我们证明两直线平行的原始依据,在具体证明过程中,应根据已知条件灵活地选择判定方法.很多时候往往不能直接运用判定定理,此时需要进行适当地转化,有时需要添加必要的辅助线.注意:
作铺助线时应用虚线.
4 平行线的性质
1.掌握平行线的三条性质定理;
能熟练运用这三条性质定理证明几何题;
进一步理解和总结证明的步骤、格式、方法.
2.经历观察、操作、推理、交流等学习活动,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
掌握平行线的性质定理.
平行线性质定理的应用.
平行线的判定方法有哪些?
在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢?
能运用上节课积累的方法进行证明吗?
今天这节课我们一起再来试一试证明它们.
1.平行线的性质定理一.
两直线平行,同位角相等.
(1)你能用几何语言描述这样的证明题吗?
直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
∠1=∠2.
(2)如果直接进行证明的话,难以找到能够作为依据的相关事实、定理,该怎么办?
(提示学生可以用反证法,假设结论错误,再从错误的结论出发推出与定理、事实相矛盾的地方,说明假设不成立,从而得证)
(3)如果∠1≠∠2,那么是否存在另外一条直线,它被第三条直线所截的∠2的另一同位角∠1′,有∠1′=∠2呢?
(有)
(4)如果有,是否意味着这条直线和CD平行?
(是的,同位角相等,两直线平行)
这条直线可以是任意一条,也就是说我们可以过M点(AB与EF相交于点M)作这样的一条直线,此时我们发现过M点有两条直线与CD平行,这可能吗?
(不可能,过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行)
(5)这样看来假设不能成立,说明什么?
(∠1=∠2)
(6)学生根据讨论、交流,板书证明过程.
假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如图所示.
根据“同位角相等,两直线平行”,可知GH∥CD.
又因为AB∥CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.
2.平行线的性质定理二.
两直线平行,内错角相等.
(1)你能用几何语言描述题目要求吗?
如图,直线l1∥l2,∠1和∠2是直线l1,l2被直线l截出的内错角.
(2)我们已经证明了两直线平行,同位角相等,可以将这个作为基本的事实(定理),你能尝试完成吗?
∵l1∥l2(已知),
∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).
又∵∠2=∠3(对顶角相等),
∴∠1=∠2(等量代换).
3.平行线的性质定理三.
你能按照上面的思路证明两直线平行,同旁内角互补吗?
学生独立完成,指名板演,教师讲评.
课件出示教材第176页例题.通过例题,得出定理:
平行于同一条直线的两条直线平行.
1.请你对比这些平行线的性质与前面所学的平行线的判定,它们有什么不同?
2.若两个角的一边在同一条直线上,另一边互相平行,那么这两个角的关系是( )
A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.相等且互补
1.这节课你有什么收获?
2.平行线的性质定理有哪些?
3.完成一个命题的证明,需要哪些环节?
教材第177页习题7.5第1~4题.
本节课主要学习了平行线的三条性质定理:
两直线平行,同位角相等;
两直线平行,内错角相等;
两直线平行,同旁内角互补.平行线的性质定理和判定定理中的条件和结论刚好相反,在具体应用时要注意,当知道两条直线平行时,要利用其性质得出相关的角相等或互补,当不知道两条直线是否平行时,要用相关的角相等或互补判定两直线平行.
5 三角形内角和定理
第1课时 三角形的内角
1.掌握三角形内角和定理的证明及简单应用;
灵活运用三角形内角和定理解决相关问题.
2.用多种方法证明三角形内角和定理,培养一题多解的能力.
掌握三角形内角和定理的证明及简单应用.
用折纸的方法验证三角形内角和定理.
先将纸片三角形一角折向其对边,使顶点落在对边上,折线与对边平行(图①),然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图②、③),最后得图④所示的结果.
试用自己的语言说明这一结论的证明思路.想一想,还有其他折法吗?
1.将纸片三角形三顶角剪下,随意将它们拼凑在一起.
试用自己的语言说明这一结论的证明思路.想一想,如果只剪下一个角呢?
2.用严谨的证明来论证三角形内角和定理.看哪个同学想的方法最多?
方法一:
过A点作DE∥BC.
∵DE∥BC,
∴________________(两直线平行,内错角相等).
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°
,
∴________________(等量代换).
方法二:
延长BC到D,过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA,
∴∠B=________________(两直线平行,同位角相等).
∠A=________________(两直线平行,内错角相等).
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=________________(等量代换).
添辅助线不是盲目的,而是为了证明某一结论,需要引用某个定义、公理、定理,但原图形不具备直接使用它们的条件,这时就需要添辅助线创造条件,以达到证明的目的.
课件出示教材第179页例1.
小组合作解决问题并完成证明.
四、巩固练习
教材第179页“随堂练习”第1~3题.
1.通过本节课的学习,我们了解证明三角形内角和定理的几种方法,学会了作辅助线创造条件以达到证明的目的.
2.让学生反思自己本节课学习中的优缺点及改进的方法.
教材第180页习题7.6第1~4题.
根据课程的特点,创设问题情境,以引导学生探索、运用为主线来展开.坚持以学生为本的原则,引导学生操作、探索、讨论、归纳.在教学过程中,引导学生去探索,使学生感受到添加辅助线的教学思想,更好地掌握三角形内角和定理的证明及简单的应用,从而实现教师是引导者和学生是主体的课堂教学理念.
第2课时 三角形的外角
1.掌握三角形外角的两条性质;
进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧;
灵活运用三角形外角的两条性质解决相关问题.
2.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力,培养学生的几何意识.
掌握三角形外角的两条性质.
在证明三角形内角和定理时,用到了把△ABC的边BC延长到D得到∠ACD,这个角叫做什么角呢?
下面我们就给这个角命名,并且来研究它的性质.
1.三角形外角的概念.
三角形的外角:
三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,叫做三角形的外角.
(1)如下图,∠________是△ABC的一个外角.你还能作出△ABC其他的外角吗?
(2)观察上图的外角,你能总结出三角形外角有哪些特征?
①顶点在________________上;
②一条边是三角形的____________;
③另一条边是三角形某条边的______________.
2.三角形内角和定理的推论.
如图,△ABC中,∠A=70°
,∠B=60°
,∠ACD是△ABC的一个外角,能由∠A、∠B求出∠ACD吗?
如果能,∠ACD与∠A、∠B有什么关系?
由上面的推导过程我们可以得到两个定理:
定理1:
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
定理2:
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
推论:
由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
1.课件出示教材第181页例2.
(1)要证明AD∥BC,只需证明哪两个角相等?
(2)如何利用题目中的条件?
(3)你能说说自己的解题思路吗?
(4)你还有其他的证明方法吗?
(5)大家通过小组合作能解决问题并完成证明吗?
∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),
∠B=∠C(已知),
∴2∠B=∠EAC(等式的性质).
∵AD平分∠EAC(已知),
∴2∠DAE=∠EAC(角平分线的定义).
∴∠DAE=∠B(等量代换).
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
2.课件出示教材第182页例3.
引导学生用不同的方法证明.
教材第183页“随堂练习”第1,2题.
2.三角形外角的两条定理是什么?
教材第183页习题7.7第1~3题.
本节课主要学习三角形外角的两个性质.因为这两个性质是由三角形内角和定理经过推理得来的,所以这两个性质也叫三角形的内角和定理的推论.当遇到证明角的不等关系时应自然想到用三角形的外角的性质.在解决实际问题时,根据题意构建几何模型是解题的关键.