最新中考数学专题复习创新开放与探究型问题巩固练习提高 及答案解析.docx
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最新中考数学专题复习创新开放与探究型问题巩固练习提高及答案解析
中考冲刺:
创新、开放与探究型问题—巩固练习(提高)
【巩固练习】
一、选择题
1.下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,…则第⑥个图形中平行四边形的个数为()
A、55B、42C、41D、29
2.如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交与点P1;设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2;设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设
Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn﹣1重合,折痕与AD交于点Pn(n>2),则AP6的长为( )
A.B.C.D.
3.下面两个多位数1248624…、6248624…,都是按照如下方法得到的:
将第一位数字乘以2,若积为一位数,将其写在第2位上,若积为两位数,则将其个位数字写在第2位.对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……,后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的.当第1位数字是3时,仍按如上操作得到一个多位数,则这个多位数前100位的所有数字之和是()
A.495B.497C.501D.503
二、填空题
4.如图所示,一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形,那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是________.
5.一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成,每个扇环面如图2所示,它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成,为使得绿化效果最佳,还须使得扇环面积最大.
(1)使图①花圃面积为最大时R-r的值为,以及此时花圃面积为,其中R、r分别为大圆和小圆的半径;
(2)若L=160m,r=10m,使图面积为最大时的θ值为.
6.如图所示,已知△ABC的面积,
在图(a)中,若,则;
在图(b)中,若,则;
在图(c),若,则.
…
按此规律,若,则________.
三、解答题
7.如图所示,∠ABM为直角,C为线段BA的中点,D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连接AD,作BE⊥AD,垂足为E,连接CE,过点E作EF⊥CE,交BD于F.
(1)求证:
BF=FD;
(2)∠A在什么范围内变化时,四边形ACFE是梯形?
并说明理由;
(3)∠A在什么范围内变化时,线段DE上存在点G,满足条件?
并说明理由.
8.如图(a)、(b)、(c),在△ABC中,分别以AB,AC为边,向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形,BE,CD相交于点O.
(1)①如图(a),求证:
△ADC≌△ABE;
②探究:
图(a)中,∠BOC=________;
图(b)中,∠BOC=________;
图(c)中,∠BOC=________;
(2)如图(d),已知:
AB,AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边;AC,AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边.BE,CD的延长相交于点O.
①猜想:
图(d)中,∠BOC=________________;(用含n的式子表示)
②根据图(d)证明你的猜想.
9.如图(a),梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=a,在线段BC上任取一点P(P不与B,C重合),连接DP,作射线.PE⊥DP,PE与直线AB交于点E.
(1)试确定CP=3时,点E的位置;
(2)若设CP=x(x>0),BE=y(y>0),试写出y关于自变量x的函数关系式;
(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1,P2,使按上述作法得到的点E都与点A重合,试求出此时a的取值范围.
10.点A,B分别是两条平行线m,n上任意两点,在直线n上找一点C,使BC=k·AB.连接AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.
(1)如图(a),当k=1时,探究线段EF与EB的关系,并加以说明;
说明:
①如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少写三步);
②在完成①之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角),在图(b)中补全图形,完成证明.
(2)如图(c),若∠ABC=90°,k≠l,探究线段EF与EB的关系,并说明理由.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C;
【解析】找出规律:
∵图②平行四边形有5个=1+2+2,图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3,
图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4,∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41.
故选C.
2.【答案】A;
【解析】由题意得,AD=BC=,AD1=AD﹣DD1=,AD2=,AD3=,ADn=,
故AP1=,AP2=,AP3=…APn=,
故可得AP6=.
故选A.
3.【答案】A;
【解析】根据题意,当第1位数字是3时,按操作要求得到的数字是3624862486248…,从第2位数字起每隔四位数重复一次6248,因为(100-1)被4整除得24余3,所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24=495,答案选A.
二、填空题
4.【答案】4或7或9或12或15;
【解析】一个5×3的矩形可以有下面几种分割方式,如图所示.
5.【答案】
(1)R-r的值为,以及此时花圃面积为;
(2)θ值为.
【解析】要使花圃面积最大,则必定要求扇环面积最大.
设扇环的圆心角为θ,面积为S,根据题意得:
,
∴
∴
.
∵,
∴S在时取最大值为.
∴花圃面积最大时R-r的值为,最大面积为.
(2)∵当时,S取大值,
∴(m),
(m),
∴.
6.【答案】.
【解析】
…
三、解答题
7.【答案与解析】
解:
(1)Rt△AEB中,∵AC=BC,∴CE=AB.
∴CB=CE.∴∠CEB=∠CBE.
∵∠CEF=∠CBF=90°,
∴∠BEF=∠EBF.
∴EF=BF.
∵∠BEF+∠FED=90°,
∠EBD+∠EDB=90°.
∴∠FED=∠EDF.
∴EF=FD.
∴BF=FD.
(2)由
(1)得BF=FD,而BC=CA,
∴CF∥AD,即AE∥CF.
若AC∥EF,则AC=EF,∴BC=BF.
∴BA=BD,∠A=45°.
∴当0°<∠A<45°或45°<∠A<90°时,四边形ACFE为梯形.
(3)作GH⊥BD,垂足为H,则GH∥AB.
∵DG=DA,∴DH=DB.
又F为BD的中点,∴H为DF的中点.
∴GH为DF的中垂线.
∴∠GDF=∠GFD.
∵点G在ED上,∴∠EFD≥∠GFD.
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°,
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180°.
∴3∠EDF≤180°.
∴∠EDF≤60°.
又∠A+∠EDF=90°,
∴30°≤∠A<90°.
∴30°≤∠A<90°时,DE上存在点G,满足条件DG=DA,
8.【答案与解析】
(1)证法一:
∵△ABD与△ACE均为等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,且∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE.
∴△ADC≌△ABE.
证法二:
∵△ABD与△ACE均为等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,
且∠BAD=∠CAE=60°.
∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到.
∴△ABE≌△ADC.
②120°,90°,72°.
(2)①.
②证法一:
依题意,知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角,AB=AD,AE=AC,
∴∠BAD=∠CAE=.
∴∠BAD-∠DAE=∠CAE-∠DAE,
即∠BAE=∠DAC.
∴△ABE≌△ADC.
∴∠ABE=∠ADC.
∵∠ADC+∠ODA=180°,
∴∠ABO+∠ODA=180°.
∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC=360°.
∴∠BOC+∠DAB=180°.
∴∠BOC=180°-∠DAB=.
证法二:
延长BA交CO于F,证∠BOC=∠DAF=180°-∠BAD.
证法三:
连接CE.证∠BOC=180°-∠CAE.
9.【答案与解析】
解:
(1)作DF⊥BC,F为垂足.
当CP=3时,四边形ADFB是矩形,则CF=3.
∴点P与点F重合.
又∵BF⊥FD,
∴此时点E与点B重合.
(2)(i)当点P在BF上(不与B,F重合)时,(见图(a))
∵∠EPB+∠DPF=90°,∠EPB+∠PEB=90°,
∴∠DPF=∠PEB.
∴Rt△PEB∽△ARt△DPF.
∴.①
又∵BE=y,BP=12-x,FP=x-3,FD=a,代入①式,得
∴,整理,
得②
(ii)当点P在CF上(不与C,F重合)时,(见上图(b))同理可求得.
由FP=3-x得.
∴
(3)解法一:
当点E与A重合时,y=EB=a,此时点P在线段BF上.
由②式得.
整理得.③
∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,
∴方程③有两个不相等的正实根.
∴△=(-15)2-4×(36+a2)>0.
解得.
又∵a>0,
∴.
解法二:
当点E与A重合时,
∵∠APD=90°,
∴点P在以AD为直径的圆上.设圆心为M,则M为AD的中点.
∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件,
∴线段BC与⊙M相交.即圆心M到BC的距离d满足.④
又∵AD∥BC,
∴d=a.
∴由④式得.
10.【答案与解析】
解:
(1)EF=EB.
证明:
如图(d),以E为圆心,EA为半径画弧交直线m于点M,连接EM.
∴EM=EA,∴∠EMA=∠EAM.
∵BC=k·AB,k=1,
∴BC=AB.
∴∠CAB=∠ACB.
∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB,∠FAB=∠ABC.
∴∠MAC=∠CAB.
∴∠CAB=∠EMA.
∵∠BEF=∠ABC,
∴∠BEF=∠FAB.
∵∠AHF=∠EHB,
∴∠AFE=∠ABE.
∴△AEB≌△MEF.
∴EF=EB.
探索思路:
如上图(a),∵BC=k·AB,k=1,
∴BC=AB.
∴∠CAB=∠ACB.
∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB.
添加条件:
∠ABC=90°.
证明:
如图(e),在直线m上截取AM=AB,连接ME.
∵BC=k·AB,k=1,
∴BC=AB.
∵∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°.
∵m∥n,
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,∠FAB=90°.
∵AE=AE,∴△MAE∽△BAE.
∴EM=EB,∠AME=∠ABE.
∵∠BEF=∠ABC=90°,
∴∠FAB+∠BEF=180°.
又∵∠ABE+∠EFA=180°,
∴∠EMF=∠EFA.
∴EM=EF.
∴EF=EB.
(2)EF=EB.
说明:
如图(f),过点E作EM⊥m,EN⊥AB,垂足为M,N.
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°.
∵m∥n