浙江版高考数学二轮复习练习专题限时集训15 函数与方程及答案.docx

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浙江版高考数学二轮复习练习专题限时集训15函数与方程及答案

专题限时集训（十五）　函数与方程

（对应学生用书第147页）

[建议A、B组各用时：

45分钟]

[A组　高考达标]

一、选择题

1．函数f（x）＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为（　　）

A．（0,1）　B．（1,2）

C．（2,3）D．（3,4）

C　[由于函数f（x）＝lnx＋x3－9在（0，＋∞）上是增函数，f

（2）＝ln2－1＜0，f（3）＝ln3＋18＞0，故函数f（x）＝lnx＋x3－9在区间（2,3）上有唯一的零点．]

2．已知函数f（x）＝ex＋x，g（x）＝lnx＋x，h（x）＝x－的零点依次为a，b，c，则（　　）

A．c＜b＜aB．a＜b＜c

C．c＜a＜bD．b＜a＜c

B　[由f（x）＝0得ex＝－x，由g（x）＝0得lnx＝－x.由h（x）＝0得x＝1，即c＝1.

在坐标系中，分别作出函数y＝ex，y＝－x，y＝lnx的图象，

由图象可知a＜0,0＜b＜1，所以a＜b＜c.]

3．已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f（1－x）－1的零点个数为（　　）

A．1　　　　B．2

C．3　　　　D．4

C　[g（x）＝f（1－x）－1

＝

＝

当x≥1时，函数g（x）有1个零点；当x＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]

4．（2017·浙江五校联考）已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－∞，0）

C．（－1,0）D．[－1,0）

D　[当x＞0时，f（x）＝3x－1有一个零点x＝，所以只需要当x≤0时，ex＋a＝0有一个根即可，即ex＝－a.当x≤0时，ex∈（0,1]，所以－a∈（0,1]，即a∈[－1,0），故选D.]

5．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－k仅有一个零点，则k的取值范围是（　　）

A.

B．（－∞，0）∪

C．（－∞，0）

D．（－∞，0）∪

D　[函数f（x）＝

函数g（x）＝f（x）－k仅有一个零点，即f（x）＝k只有一个解，在平面直角坐标系中画出y＝f（x）的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈（－∞，0）∪，故选D.]

二、填空题

6．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3）时，f（x）＝.若函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．

　[当x∈[0,3）时，f（x）＝＝，由f（x）是周期为3的函数，作出f（x）在[－3,4]上的图象，如图．

由题意知方程a＝f（x）在[－3,4]上有10个不同的根．

由图可知a∈.]

7．函数f（x）＝|x－1|＋2cosπx（－4≤x≤6）的所有零点之和为________．

10　[问题可转化为y＝|x－1|与y＝－2cosπx在－4≤x≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象（图略），易知x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]

8．已知函数f（x）＝若f（0）＝－2，f（－1）＝1，则函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为________．

【导学号：

68334143】

3　[依题意得解得令g（x）＝0，得f（x）＋x＝0，该方程等价于①或②解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2，因此，函数g（x）＝f（x）＋x的零点个数为3.]

三、解答题

9．已知f（x）＝|2x－1|＋ax－5（a是常数，a∈R）．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）如果函数y＝f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝1时，

f（x）＝|2x－1|＋x－5＝2分

由解得x≥2；由解得x≤－4.

所以f（x）≥0的解集为{x|x≥2或x≤－4}.6分

（2）由f（x）＝0，

得|2x－1|＝－ax＋5.

作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分

观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f（x）有两个不同的零点．

故a的取值范围是（－2,2）.15分

10．（2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考）设函数f（x）＝－x2＋ax＋lnx（a∈R）．

（1）若a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）设函数f（x）在有两个零点，求实数a的取值范围（其中e是自然对数的底数）.【导学号：

68334144】

[解]　

（1）定义域x∈（0，＋∞），

当a＝1时，f（x）＝－x2＋x＋lnx，3分

令f′（x）＝－2x＋1＋＝＞0，

即2x2－x－1＜0，即0＜x＜1.

∴f（x）的单调递增区间为（0,1），

单调递减区间为（1，＋∞）.7分

（2）f（x）＝－x2＋ax＋lnx＝0，即a＝x－，

令g（x）＝x－，其中x∈，9分

g′（x）＝1－＝＞0，即x＞1，

∴g（x）的单调递减区间为，

单调递增区间为（1，e]，

∴g（x）min＝g

（1）＝1，13分

又g＝e＋，g（e）＝e－，

因为函数f（x）在有两个零点，

所以a的取值范围是.15分

[B组　名校冲刺]

一、选择题

1．若函数f（x）满足f（x）＋1＝，当x∈[0,1]时，f（x）＝x.若在区间（－1,1]内，g（x）＝f（x）－mx－2m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）

A．0＜m＜B．0＜m≤

C.＜m＜1D.＜m≤1

B　[当－1＜x＜0时，0＜x＋1＜1，

所以f（x＋1）＝x＋1，

从而f（x）＝－1＝－1，

于是f（x）＝

f（x）－mx－2m＝0⇔f（x）＝m（x＋2），由图象可知0＜m≤kAB＝.]

2．（2017·诸暨期末考试）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（x＋4）＝16，当x∈（0,4]时，f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在[－4,2016]上的零点个数是（　　）

A．504B．505

C．1008D．1009

B　[∵f（x）＋f（x＋4）＝16，∴f（x＋4）＋f（x＋8）＝16，

∴f（x）＝f（x＋8），∴函数f（x）是R上周期为8的函数．又f

（2）＝f（4）＝0,2020＝8×252＋4，f

（2）＝f（10）＝f（18）＝…＝f（8×251＋2），f（－4）＝f（4）＝f（8×251＋4），故函数f（x）在[－4,2016]上的零点个数是251＋1＋251＋2＝505，故选B.]

3．函数f（x）＝若方程f（x）＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（　　）【导学号：

68334145】

A．（－∞，0）B．[0,1）

C．（－∞，1）D．[0，＋∞）

C　[函数f（x）＝的图象如图所示，

作出直线l：

y＝a－x，向左平移直线l，观察可得函数y＝f（x）的图象与直线l：

y＝－x＋a有两个交点，则方程f（x）＝－x＋a有且只有两个不相等的实数根时，a＜1，故选C.]

4．（2017·宁波镇海中学模拟）已知函数f（x）＝的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

D　[由题意知当x<0时函数f（x）的图象关于原点的对称图象与当x>0的图象必有三个公共点．当a<0时，f（x）＝此时当x<0时，函数f（x）的图象关于原点的对称图象与当x>0时的图象只有一个公共点，不满足条件；当a>0时，作出当x<0时，函数f（x）关于原点对称的函数为g（x）＝3|x－a|－a，如图所示．

设与直线y＝3x平行且与函数y＝x2－2（x>0）相切的直线的切点坐标为（x0，y0），则由y′＝2x得2x0＝3，即x0＝，切点坐标为，切线方程为y－＝3，即y＝3x－，则由图象可知要使g（x）＝3|x－a|－a与函数y＝x2－2（x>0）的图象有三个公共点，则必须满足解得1

二、填空题

5．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝则关于x的函数F（x）＝f（x）－a（0＜a＜1）的所有零点之和为________．

1－3a　[函数f（x）和y＝a的图象如图所示，

由图可知，f（x）的图象与直线y＝a有5个交点，

所以函数F（x）＝f（x）－a有5个零点．从小到大依次设为x1，x2，x3，x4，x5，

则x1＋x2＝－8，x4＋x5＝8.

当－2≤x＜0时，0＜－x≤2，所以f（－x）＝log（－x＋1）＝－log3（1－x），

即f（x）＝log3（1－x），－2≤x＜0，由f（x）＝log3（1－x）＝a，解得x＝1－3a，即x3＝1－3a，所以函数F（x）＝f（x）－a（0＜a＜1）的所有零点之和为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－3a.]

6．已知函数y＝|x2－1|的图象与函数y＝kx2－（k＋2）x＋2的图象恰有两个不同的公共点，则实数k的取值范围为________.【导学号：

68334146】

k≥4或k≤0或k＝1　[由题意知|x2－1|＝kx2－（k＋2）x＋2＝（kx－2）（x－1）有两个不同的根，所以x＝1是其中的一个根，当x＝－1时，k＝－2，符合题意；当|x|>1时，x＋1＝kx－2，即（k－1）x＝3，当|x|<1时，－x－1＝kx－2，即（k＋1）x＝1，此时当k＝1时，两解为x＝，x＝1符合题意，当k＝－1时，两解为x＝－，x＝1符合题意，当k≠±1时，只需（k－1）x＝3在|x|>1上有解，（k＋1）x＝1在|x|<1上无解或（k－1）x＝3在|x|>1上无解，（k＋1）x＝1在|x|<1上有解，即或解得k≥4或－1

三、解答题

7．已知函数f（x）＝log4（4x＋1）＋kx（k∈R）是偶函数．

（1）求k的值；

（2）设g（x）＝log4，若方程f（x）＝g（x）有且仅有一解，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）由函数f（x）是偶函数可知，f（x）＝f（－x），所以log4（4x＋1）＋kx＝

log4（4－x＋1）－kx，

所以log4＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，所以k＝－.4分

（2）由已知f（x）＝g（x），有且仅有一解，即方程log4（4x＋1）－x＝log4（a·2x－a）有且只有一个实根，即方程2x＋＝a·2x－a有且只有一个实根．

令t＝2x＞0，则方程（a－1）t2－at－1＝0有且只有一个正根.8分

①当a＝1时，则t＝－不合题意；

②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝或－3.

若a＝，则t＝－2，不合题意；

若a＝－3，则t＝；

③若方程有一个正根与一个负根，即＜0，解得a＞1.

综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪（1，＋∞）.15分

8．已知f（x）＝x2－a|x－b|，其中a>0，b>0.

（1）若a＝b＝1，求f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）恰有三个不同的零点，且这些零点之和为－2，求a，b的值；

（3）若函数f（x）在[－2,2]上有四个不同零点x1，x2，x3，x4，求|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|的最大值．

[解]　

（1）f（x）＝x2－|x－1|＝2分

由函数f（x）的图象知单调递增区间为，单调递减区间为.4分

（2）原函数有三个零点等价于