第十三章轴对称教案Word下载.docx
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几幅图片(出示图片),观察它们都有些什么共同特征.
强调:
对称现象无处不在,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,人们都可以找到对称的例子.
练习:
从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子.
2.观察:
如图13.1-2,把一张纸对折,剪出一个图案(折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸,就剪出了美丽的窗花.
你能发现它们有什么共同的特点吗?
3.如果一个图形沿一直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
4.动手操作:
取一张质地较硬的纸,将纸对折,并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案,将纸打开后铺平,你得到两个成轴对称的图案了吗?
与同伴进行交流.
归纳小结:
由此我们进一步了解了轴对称图形的特征:
一个图形沿一条直线折叠后,折痕两侧的图形完全重合.
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题.有些轴对称图形的对称轴只有一条,但有的轴对称图形的对称轴却不止一条,有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。
下列各图,你能找出它们的对称轴吗?
结果:
图
(1)有四条对称轴;
图
(2)有四条对称轴;
图(3)有无数条对称轴;
图(4)有两条对称轴;
图(5)有七条对称轴.
展示挂图,大家想一想,你发现了什么?
像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
成轴对称的两个图形全等吗?
如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?
这两个图形对称吗?
过程:
在硬纸板上画两个成轴对称的图形,再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合.再在硬纸板上画出一个轴对称图形,然后将该图形剪下来,再沿对称轴剪开,看两部分是否能够完全重合.结论:
成轴对称的两个图形全等.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形全等,并且也是成轴对称的.
轴对称是说两个图形的位置关系,而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形.
轴对称的两个图形和轴对称图形,都要沿某一条直线折叠后重合;
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称;
反过来,如果把两个成轴对称的图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.
8、议一议在图形
(1)中对应线段(对折后重合的线段)、对应角(对折后重合的角)有什么关系?
练习:
1、请同学们细心观察,下列轴对称图形各有多少条对称轴?
【课堂小结】
这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.
【课后作业】课本习题13.1─1、2、7、8题.
【板书设计】13.1.1轴对称
1.定义4.例题
2.探究15.小结
3.探究2
【教学反思】
13.1.2线段的垂直平分线的性质
(一)
了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质.探究线段垂直平分线的性质.
经历探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察.探索线段垂直平分线的性质,培养学生认真探究、积极思考的能力.
通过对轴对称图形性质的探索,促使学生对轴对称有了更进一步的认识,活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,并使学生具有一些初步研究问题的能力.
探索轴对称的性质,并总结出线段垂直平分线的性质
探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的几何问题.
教学方法:
探索、归纳、交流、练习.
【教学情景导入】:
1.什么样的图形是轴对称图形呢?
2.轴对称图形有哪些性质,从图形中能得到结论?
1.如下图,△ABC和△A/B/C/关于直线MN对称,点A/、B/、C/分别是点A、B、C对称点,线段AA/、BB/、CC′与直线MN有什么关系?
为什么?
对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
2.画一个轴对称图形,并找出两对称点,看对称轴和两对称点连线的关系.
3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.(归纳得出)
归纳图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
下面我们来探究线段垂直平分线的性质.
[探究1]
如下图.木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P,P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?
学生活动:
1.学生用平面图将上述问题进行转化,先作出线段AB,过AB中点作AB的垂直平分线L,在L上取P、P1、P2、P3…,连结AP、AP1、AP2、AP3;
BP、BP1、BP2、BP3…
2.作好图后,用直尺量出AP、AP1、AP2、AP3;
BP、BP1、BP2、BP3…讨论发现什么样的规律.
探究结果:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.即AP=BP、AP1=BP1,AP2=BP2,AP3=BP3,…
[师]能用我们已有的知识来证明这个结论吗?
学生讨论给出证明.
证法一:
利用判定两个三角形全等.
如下图,在△APC和△BPC中,
△APC≌△BPC
PA=PB.
证法二:
利用轴对称性质.
由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.
带着探究1的结论我们来看下面的问题.
[探究2]
如下图.用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?
1.学生用平面图形将上述问题进行转化.作线段AB,取其中点P,过P作L,在L上取点P1、P2,连结AP1、AP2、BP1、BP2.会有以下两种可能.
2.讨论:
要使L与AB垂直,AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件?
探究过程:
1.如上图甲,若AP1≠BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B不可能重合,也就是∠APP1≠∠BPP1,即L与AB不垂直.
2.如上图乙,若AP1=BP1,那么沿L将图形折叠后,A与B恰好重合,就有∠APP1=∠BPP1,即L与AB重合.当AP2=BP2时,亦然.
探究结论:
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.也就是说在[探究2]图中,只要使箭端到弓两端的端点的距离相等,就能保持射出箭的方向与木棒垂直.上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;
反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.
活动与探究
如图甲,△ABC和△A/B/C/关于直线L对称,延长对应线段AB和A/B/,两条延长线相交吗?
交点与对称轴L有什么关系?
延长其他对应线段呢?
在图乙中,AC与A/C/又如何呢?
再找几个成轴对称的图形观察一下,能发现什么规律吗?
在图甲中,AB与A/B/不平行,所以它们肯定会相交.下面来研究交点与对称轴L的关系.
问题1:
点和直线有几种位置关系?
有两种.一种是点不在直线上,另一种是点在直线上.
问题2:
先来假设一下交点不在对称轴L上,看是否成立.
如果交点(P)不在对称轴L上,那么在L的另一侧一定有另外一点(P/)与交点(P)关于直线L对称,且该点(P/)也是两延长线的交点.但是由于两条直线相交只可能有一个交点,所以这两点是重合的.即交点(P)只能在对称轴L上.所以交点一定在对称轴上.延长其他的对应线段,结果也一样.
再看图乙,我们来讨论下一个问题.
AC与A′C′是平行的,它们的两条延长线也不会相交.
结论:
成轴对称的两个图形,对应线段的延长线如果相交,交点一定在对称轴上;
对应线段的延长线如果不相交,也就是对应线段所在的直线平行,那么它们也与对称轴平行.
这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.
【课后作业】课本习题13.1─3、4、5题.
【板书设计】
13.1.2线段的垂直平分线的性质
(二)
教学目的
知识与技能目标:
会画轴对称图形的对称轴,加深对图形对称性的理解.
过程与方法目标:
通过动手操作,掌握线段垂直平分线的画法;
通过对比,加深对线段垂直平分线性质与角平分线性质的理解.
情感与态度目标:
通过动手操作,培养学生的操作能力及勇于探索的精神.
教学重点
作线段的垂直平分线;
线段垂直平分线性质与角平分线性质的对比.
知识难点
线段垂直平分线性质与角平分线性质的对比及应用.
教学过程
教学方法
和手段
引入
思考:
有时我们感觉两个平面图形是轴对称的,如何验证呢?
(折叠重合)
不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗?
提问引入,学生积极思考.
讲授
新课
活动一:
通过前面知识的学习,我们知道:
如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴.
例1:
如图13.1-9,点A和点B关于某条直线成轴对称,请作出这条直线.
分析:
我们只要连接点A和点B,画出线段AB的垂直平分线,就可以得到点A和点B的对称轴.而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质,只要作出点A,B距离相等的两点即可.
作法:
(1)分别以点A,B为圆心,以大于
AB的长为半径作弧(想一想为什么),两弧相交于C,D两点;
(2)作直线CD.
CD即为所求直线.
同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点,作出对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.
例如,对于图12.1-10的五角星,我们可以找出它的一对对应点A和A'
,连接AA'
,作出线段AA'
的垂直平分线l,则l就是这个五角星的一条对称轴.
类似地,你能作出这个五角星的其它对称轴吗?
练习:
P64/练习1
活动二:
前面我们学习了两种最简单的轴对称图形线段与角,现在我们通过对称性对比这两种基本图形的异同.
图形
对称性
对称轴
性质
判定
线段
是
线段垂直平分线
线段垂直平分线性质(点到点的距离相等)
判定点在线段垂直平分线上
角
角平分线所在的直线
角平分线的性质
(点到边的距离相等)
判定点在角平分线上
通过对比,有助于我们线段与角各自性质与判定的理解.
例2数学知识的应用与拓展
如图,两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动,现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应站P,使P到两条道路的距离相等且使PM=PN,P点应该设在何处?
思路分析:
作∠BAC的平分线AD,以及线段MN的垂直平分线EF.射线AD与直线EF的交点即为所求.
课堂
练习
P64 练习2、3
小结与作业
小结
本课主要解决了以下两方面的问题:
⑴如何作已知线段的垂直平分线?
⑵线段与角在对称性上的异同?
本课
作业
P64习题13.1第2、10题
板书设计
教学反思
13.2画轴对称图形
第一课时
通过实际操作,了解什么叫做轴对称变换.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形.
经历实际操作、认真体验的过程,发展学生的思维空间,并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用.
鼓励学生积极参与数学活动,培养学生的数学兴趣.初步认识数学和人类生活的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的应用意识.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教学重点:
作轴对称图形
用轴对称知识解决相应的数学问题
操作、归纳、交流、练习
设置情境,引入新课
1.同学们思考一种作轴对称图形的方法?
.
(1)将一张纸对折后,用针尖在纸上扎出一个图案,将纸打开后铺平,得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形.
(2)准备一张质地较软,吸水性能好的纸或报纸,在纸的一侧上滴上一滴墨水,将纸迅速对折,压平,并且手指压出清晰的折痕.再将纸打开后铺平,位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的.
上述方法,行吗?
【教学过程】:
导入新课
1.连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.类似地,我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形,重复这个过程,可以得到美丽的图案.
2.同学们自己动手在一张纸上画一个图形,将这张纸折叠描图,再打开看看,得到了什么?
改变折痕的位置并重复几次,又得到了什么?
同学们互相交流一下.
结论:
由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形,这个图形与原图形的形状、大小完全相同;
3.新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线L的对称点;
连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
4.我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换扩展而成的.
5.练习:
取一张长30厘米,宽6厘米的纸条,将它每3厘米一段,一正一反像“手风琴”那样折叠起来,并在折叠好的纸上画上字母E,用小刀把画出的字母E挖去,拉开“手风琴”,你就可以得到以字母E为图案的花边.回答下列问题.
(1)在你所得的花边中,相邻两个图案有什么关系?
相间的两个图案又有什么关系?
说说你的理由.
(2)如果以相邻两个图案为一组,每一组图案之间有什么关系?
三个图案为一组呢?
(3)在上面的活动中,如果先将纸条纵向对折,再折成“手风琴”,然后继续上面的步骤,此时会得到怎样的花边?
它是轴对称图形吗?
先猜一猜,再做一做.
投影仪演示学生的作品.
随堂练习
(课件演示)
(一)如图
(1),将一张正六边形纸沿虚线对折折3次,得到一个多层的60°
角形纸,用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线,如图
(2).
(1)猜一猜,将纸打开后,你会得到怎样的图形?
(2)这个图形有几条对称轴?
(3)如果想得到一个含有5条对称轴的图形,你应取什么形状的纸?
应如何折叠?
例:
(课件演示)
(一)如下图所示,取一张薄的正方形纸,沿对角线对折后,得到一个等腰直角三角形,再沿斜边上的高线对折,将得到的角形沿黑色线剪开,去掉含90°
角的部分,拆开折叠的纸,并将其铺平.
(1)你会得怎样的图案?
(2)你能说明为什么会得到这样的图案吗?
应用学过的轴对称的知识试一试.
(3)如果将正方形纸按上面方式折3次,然后再沿圆弧剪开,去掉较小部分,展开后结果又会怎样?
(4)当纸对折2次后,剪出的图案至少有几条对称轴?
3次呢?
(二)自己设计并制作一个花边.
(三)收集并欣赏1~2个对称的中国民间剪纸图案,你能找出对称轴吗?
如何作一个图形经过轴对称后的图形呢?
我们知道:
任何一个图形都是由点组成的.因为我们来作一个点关于一条直线的对称点.由已经学过的知识知道:
对应点的连线被对称轴垂直平分.所以,已知对称轴L和一个点A,要画出点A关于L的对应点A/,可采取如下方法:
(1)过点A作对称轴L的垂线,垂足为B;
(2)在垂线上截取BA/,使BA/=AB.
点A′就是点A关于直线L的对应点.
2.现在我们会画一点关于已知直线的对称点,那么一个图形呢?
大家请看大屏幕.
[例1]如图
(1),已知△ABC和直线L,作出与△ABC关于直线L对称的图形.
作法:
如图
(2).
(1)过点A作直线L的垂线,垂足为点O,在垂线上截取OA/=OA,点A/就是点A关于直线L的对称点;
(2)类似地,作出点B、C关于直线L的对称点B/、C/;
(3)连结A/B/、B/C/、C/A/,得到△A′B/C/即为所求.
【课堂小结】
几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点,再连结这些对应点,就可得到原图形的轴对称图形;
对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对应点,连结这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形.
【课堂作业】习题13.21题4题
【板书设计】
13.2画轴对称图形
(二)
在平面直角坐标系中,探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律.利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律,能作出关于x轴、y轴对称的图形.
在探索关于x轴,y轴对称的点的坐标的规律时,发展学生数形结合的思维意识.在同一坐标系中,感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.
在探索规律的过程中,提高学生的求知欲和强烈的好奇心.
能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形.
应用轴对称解决实际问题.
讲练结合法.
教具准备:
多媒体课件,方格纸数张.
【教学情景】:
提出问题,创设情境
1.如图:
(1)观察上图中两个圆脸有什么关系?
(2)已知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,1).
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗?
2.在平面直角坐标系中,将坐标为(2,2),(4,2),(4,4),(2,4),(2,2)的点用线段依次连结起来形成一个图案.
(1)纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用线段依次连结起来,所得的图案与原图案相比有何变化?
(2)横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,再将所得的各个点用线段依次连结起来,所得的图案又与原图案相比有何变化?
2.在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图.A(2,2),B(4,2),C(4,4),D(2,4).
(1)纵坐标不变,横坐标乘以-1,得到相应四个点为A1(-2,2),B1(-4,2),C1(-4,4),D1(-2,4).顺次连结所得到的图案和原图案比较,不难发现它们是关于y轴对称的.
(2)横坐标不变,纵坐标乘以-1,得到相应的四个点为A2(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4),D2(2,-4).顺次连结所得到的图案和原图案比较,可得它们是关于x轴对称的.
[师]A(2,2)与A1(-2,2)关于y轴对称,
B(4,2)与B1(-4,2)关于y轴对称,
C(4,4)与C1(-4,4)关于y轴对称,
D(2,4)与D1(-2,4)关于y轴对称.
那么关于y轴对称的点具有什么规律呢?
A(2,2)与A2(2,-2)关于x轴对称,
B(4,2)与B2(4,-2)关于x轴对称,
C(4,4)与C2(4,-4)关于x轴对称,
D(2,4)与D2(2,-4)关于x轴对称.
那么关于x轴对称的点有何规律呢?
这节课我们就来研究关于x轴,y轴对称的每对对称点坐标的规律.
在如图所示的平面坐标系中,画出下列已知点及其对称点,并把坐标填入表格中.看看每对对称点的坐标有怎样的规律.再和同学讨论一下.
1.已知点A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(
,1),E(4,0).
关于x轴的对称点A/(____,____)B/(_____,______)C/(_____,_____)D/(____,_____)E/(_____,_____).
关于y轴的对称点A//(_____,____)B//(_____,______)C//(_____,_____)D//(____,_____)E//(_____,_____).
教师引导,学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律.
关于x轴对称的每对对称点的坐标:
横坐标相同,纵坐标互为相反数.
2.作出A,B,C,D,E关于y轴的对称点,并求出它们的坐标.
观察结论并对照已知点的坐标,比较每对关于y轴的对称点坐标,你能发现什么规律?
强调:
关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同,横坐标互为相反数.
随堂练习
1.分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标:
(-2,6),(1,-2),(-1,3),(-4,-2),(1,0).
2.如图,△ABC关于x轴对称,点A的坐标为(1,-2),标出点B的坐标.
3.如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形.学生练习,教师巡视,师生共评.
补充练习:
1.将下图中的点(2,1),(5,1),(2,5)做如下变化:
(1)纵坐标不变,横坐标分别加2.
(2)横坐标不变,纵坐标分别加1.
(3)纵坐标不变,横坐标分别变为原来的2倍.
(4)横坐标不变,纵坐标分别变为原来的2倍.
(5)纵坐标不变,横坐标分别乘以-1.
(6)横坐标不变,纵坐标分别乘以-1.
(7)纵坐标、横都分别乘以-1,观察变化后的三角形与原三角形有什么变化?
学生练习,教师指导.
精析:
行根据变化,把每次变化后的三个顶点坐标求出,在平面直角坐标系中描出它们,连结成新三角形,然后与原有的三角形进