高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第三章1第1课时求值问题.docx

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高中数学学年最新北师大版数学必修四教学案第三章1第1课时求值问题

第1课时　求值问题

[核心必知]

同角三角函数基本关系式

关系

公式表达

语言叙述

平方关系

sin2α＋cos2α＝1

同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1

商数关系

＝tan_α

同一个角α（α≠kπ＋（k∈Z））的正弦、余弦的商等于α的正切

[问题思考]

1．如何理解同角三角函数关系中“同角”的含义？

提示：

“同角”有两层含义．一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，与角的表达式无关，如sin22α＋cos22α＝1，sin2＋cos2＝1等．

2．平方关系对任意α∈R均成立，对吗？

商数关系呢？

提示：

正确．因为对任意α∈R，sinα，cosα都有意义，所以sin2α＋cos2α＝1对任意角α∈R都成立．而商数关系，＝tanα则不然，需保证cosα≠0，则tanα有意义，所以商数关系，只对α∈R，且α≠kπ＋（k∈Z）成立．

讲一讲

1．

（1）已知sinα＝，α是第二象限角，求cosα，tanα；

（2）若cosα＝－，试求sinα，tanα的值．

[尝试解答]　

（1）∵sin2α＋cos2α＝1，

∴cos2α＝1－sin2α＝1－（）2＝.

又∵α是第二象限角，

∴cosα<0，cosα＝－.

∴tanα＝＝×（－）＝－.

（2）∵cosα＝－<0，且cosα≠－1，

∴α是第二或第三象限的角．

当α是第二象限角时，sinα>0.

∴sinα＝＝＝，

tanα＝＝×（－）＝－.

当α是第三象限角时，sinα<0，

则sinα＝－，tanα＝.

1．同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”．

2．知弦求值时，一般需用到平方关系，这时涉及开方运算，应注意角的取值范围．当角所在的象限不确定时，要注意就角所在的象限分类讨论．

练一练

1．[多维思考]　若本讲

（2）条件改为“cosα＝m（m≠0）”，结果如何？

解：

当m＝±1时，sinα＝0，tanα＝＝0；

当m≠±1时，由于m≠0，所以角α为象限角．

若α为第一或第二象限角，则sinα＝＝，

∴tanα＝＝.

若α为第三或第四象限角，则

sinα＝－＝－，

∴tanα＝＝－.

讲一讲

2．已知tanα＝2.试求：

（1）sinα的值；

（2）和sinαcosα的值．

[尝试解答]　

（1）∵tan2α＝＝＝－1，

∴＝1＋tan2α.

∴cos2α＝＝＝.

∵tanα＝2>0，

∴α是第一或第三象限角．

当α是第一象限角时，cosα>0，

∴cosα＝，

∴sinα＝cosαtanα＝×2＝.

当α是第三象限角时，cosα<0，

∴cosα＝－，

∴sinα＝cosαtanα＝－.

（2）＝＝＝＝.

sinαcosα＝＝＝

＝＝.

1．已知角α的正切值在求角α的正弦值时，应尽量少用平方关系，一般按以下思路求解：

cos2α＝cosαsinα.

2．本讲

（2）是已知角α的正切值，求关于sinα，cosα的齐次式值的问题．解决该类问题通常是利用商数关系和平方关系，将原式化为关于tanα的表达式，然后整体代入tanα的值求解，体现了“整体化”的思想，可减少运算量并避免讨论．

练一练

2．已知tan（π－α）＝，求：

（1）sinα＋cosα的值；

（2）2sin2α－cos2α的值．

解：

（1）由已知得tanα＝－<0，∴α是第二或第四象限的角，

则cos2α＝＝＝＝.

当α是第二象限角时，cosα＝－，

∴sinα＝tanαcosα＝－×（－）＝，

sinα＋cosα＝－；

当α是第四象限角时，cosα＝，

∴sinα＝tanαcosα＝－，sinα＋cosα＝.

（2）2sin2α－cos2α＝

＝＝＝0.

讲一讲

3．

（1）已知sinα＝cosα，则sin4α－cos4α＝________．

（2）若sinα＋cosα＝，且0<α<π，则tanα＝________.

[尝试解答]　

（1）由sinα＝cosα，得tanα＝.

∴cos2α＝＝＝.

∴sin2α＝1－cos2α＝.

∴sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α）（sin2α－cos2α）

＝sin2α－cos2α＝－＝－.

（2）由sinα＋cosα＝，得1＋2sinαcosα＝.

∴sinαcosα＝－<0.

又0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，

∴sinα－cosα>0，

∴sinα－cosα＝＝

＝＝.　②

可得sinα＝，cosα＝－，

∴tanα＝＝－.

[答案]　

（1）－　

（2）－

1．已知角α的某一个三角函数值，求其他三角函数式的值时，一般先利用公式将其化简，再利用同角三角函数的基本关系求解．

2．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：

（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，利用此关系求sinα＋cosα或sinα－cosα的值时，要注意判断它们的符号．

练一练

3．已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根（a∈R）．

（1）求sin3θ＋cos3θ的值；

（2）求tanθ＋的值．

解：

∵sinθ，cosθ是方程x2－ax＋a＝0的两个根，

∴sinθ＋cosθ＝a，且sinθcosθ＝a，

（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ.

即a2＝1＋2a，解得a＝1±，而当a＝1＋时，

Δ＝（1＋）2－4（1＋）＝－1－2<0，

∴a＝1－，则

（1）sin3θ＋cos3θ＝（sinθ＋cosθ）（1－sinθcosθ）

＝a（1－a）＝（1－）[1－（1－）]＝－2.

（2）tanθ＋＝＋

＝＝＝＝＝－1－.

若sinA＝，且A是三角形的一个内角，求的值．

[错解]　∵sinA＝，

∴cosA＝＝，

∴＝＝6.

[错因]　由sinA＝不能确定A是锐角或钝角，那么cosA就有正、负两个值，此解法中忽视开方运算的符号而出现错误．

[正解]　∵sinA＝，且A是三角形的一个内角，

∴A是锐角或钝角．

当A为锐角时，

cosA＝＝.

∴＝＝6；

当A为钝角时，

cosA＝－＝－.

∴＝＝－.

1．下列各项中可能成立的是（　　）

A．sinα＝且cosα＝

B．sinα＝0且cosα＝－1

C．tanα＝1且cosα＝－1

D．α在第二象限时，tanα＝－

解析：

选B　由平方关系知A不成立；由商数关系知D不成立．对于B，当sinα＝0时，cosα＝±1，所以B可能成立．而对于C，当tanα＝1时，cos2α＝＝，所以C不成立．应选B.

2．已知sinα＝－，α是第三象限角，则tanα等于（　　）

A.　　　　　　　　　　B．－

C.D．－

解析：

选C　∵sinα＝－，且α是第三象限角．

∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝.

3．已知tanφ＝－，且φ为三角形的内角，那么cosφ的值为（　　）

A．－B.

C．－D．－2

解析：

选C　cos2φ＝＝＝.

∵φ为三角形的内角，tanφ<0，

∴φ∈（，π），∴cosφ＝－.

4．已知sinα＝，则sin2α－cos2α的值为________．

解析：

sin2α－cos2α

＝2sin2α－1＝2×（）2－1＝－.

答案：

－

5．已知tanα＝－，则的值是________．

解析：

原式＝

＝

＝＝

＝＝－.

答案：

－

6．已知sinα＝，cosα＝，α是第四象限角，

试求tanα的值．

解：

∵sin2α＋cos2α＝1，

∴（）2＋（）2＝1.

化简，整理得，

m（m－8）＝0，∴m1＝0，m2＝8.

当m＝0时，sinα＝，cosα＝－，不符合α是第四象限角，舍去．

当m＝8时，sinα＝－，cosα＝，∴tanα＝－.

一、选择题

1．已知sin（α＋）＝，α∈（－，0），则tanα的值为（　　）

A．－2　　　　　　　　　B．2

C．－D.

解析：

选A　由已知得cosα＝.∵α∈（－，0），

∴sinα＝－＝－，

∴tanα＝＝－×3＝－2.

2．已知向量a＝（3，4），b＝（sinα，cosα），且a∥b，则tanα＝（　　）

A.B．－

C.D．－

解析：

选A　由a∥b得，＝.

∴＝＝tanα.

3．若sinα，cosα是方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根．则实数m的值为（　　）

A．－B.

C．－或D.

解析：

选A　依题意得

∵（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα，

∴（－2m）2＝1＋（2m＋1），

即12m2－4m－5＝0.

解m＝－或.

m＝时，Δ＝36m2－12（2m＋1）<0，∴m＝－.

4．已知＝5，则sin2α－sinαcosα的值是（　　）

A.B．－

C．－2D．2

解析：

选A　由条件可得＝5.解得tanα＝2.

∴sin2α－sinαcosα＝

＝＝＝.

二、填空题

5．若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝________．

解析：

∵sinθ<0，tanθ>0，∴θ是第三象限角，

∴cosθ＝－＝－.

答案：

－

6．已知α∈（π，），tanα＝2，则cosα＝________．

解析：

依题意得由此解得cos2α＝.

又α∈（π，），因此cosα＝－.

答案：

－

7．已知A为三角形内角，且sinAcosA＝－，则cosA－sinA＝________．

解析：

（cosA－sinA）2＝1－2sinAcosA＝1－2×（－）＝.

∵00，cosA<0.

∴cosA－sinA<0，∴cosA－sinA＝－.

答案：

－

8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，

则sinθcosθ＝________．

解析：

sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ

＝1－2（sinθcosθ）2＝，∴（sinθcosθ）2＝.

∵θ是第三象限角，∴sinθ<0，cosθ<0.

∴sinθcosθ＝.

答案：

三、解答题

9．已知向量a＝（sinθ，cosθ－2sinθ），b＝（1，2）．

（1）若a∥b，求tanθ的值；

（2）若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．

解：

（1）∵a∥b，∴2sinθ－（cosθ－2sinθ）＝0，

即4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.

（2）∵|a|＝|b|，∴sin2θ＋（cosθ－2sinθ）2＝5.

展开得sin2θ＋cos2θ－4sinθcosθ＋4sin2θ＝5.

把sin2θ＝1－cos2θ代入并整理，

得cosθ（sinθ＋cosθ）＝0.

∴cosθ＝0或tanθ＝－1.

又θ∈（0，π），

∴θ＝或θ＝.

10．已知3sinα＋cosα＝0，求下列各式的值：

（