上学期经典等腰三角形3.docx

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上学期经典等腰三角形3

一．选择题（共5小题）

1．如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=13cm，则AC的长是（　　）

A．

13cm

B．

6.5cm

C．

30cm

D．

6

cm

2．一个等腰三角形的周长是24cm，腰长是xcm，则x的取值范围是（　　）

A．

0＜x＜12

B．

0＜x＜10

C．

6＜x＜12

D．

5＜x＜10

3．如图，在△ABC中，AB=AC，点F在AC上，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E．若∠AFD=155°，则∠EDF的度数等于（　　）

（第1题）（第2题）（第3题）

A．

45°

B．

55°

C．

65°

D．

75°

4．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　）

A．

50°

B．

45°

C．

30°

D．

20°

5．如图，三角形纸片ABC，AB=12cm，BC=7cm，AC=8cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）

A．

8cm

B．

9cm

C．

11cm

D．

13cm

二．填空题（共11小题）

6．等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是　_________　．

7．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管　_________　根．

（第7题）（第8题）

8．已知如图，BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，则三角形OEF的周长为　_________　．

9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=　_________　度．

10．如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在D′、C′位置上．若∠EFG=50°，那么∠EGB=　_________　°．

11．（2013•莆田质检）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为　_________　．

（第11题）（第12题）（第13题）

12．如图：

将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=　_________　度．

13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为　_________　．

14．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AD与CE交于F，且BD=AE．则∠DFC=　_________　度．

15．如图所示，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D为AC上一点，若∠CBD=20°，BD=ED，则∠CED等于　_________　．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于　_________　°．

三．解答题（共7小题）

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠BCA的平分线，AD、CD交于点D，若∠B=70°，则∠ADC=　_________　．

18．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，后一个图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

（1）求证：

△ABE≌△ACD

（2）试猜想DC与BE的位置关系，并说明理由．

19．（2007•自贡）已知：

三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，

（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：

△DEF为等腰直角三角形；

（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？

证明你的结论．

20．如图，在直角坐标系中，B点的坐标为（a，b），且a、b满足

．

（1）求B点的坐标；

（2）点A为y轴上一动点，过B点作BC⊥AB交x轴正半轴于点C，求证：

BA=BC．

21．如图1，已知：

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

（1）△ABD与△CAE全等吗？

BD与AE、AD与CE相等吗？

为什么？

（2）BD、DE、CE之间有什么样的等量关系（写出关系式即可）

（3）若直线AE绕A点旋转，如图2，其它条件不变，那么BD与DE、CE的关系如何？

说明理由．

22．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

（1）试说明：

BD+CE=DE．

（2）若直线AE绕点A旋转，使B、C在AE的两侧，如图2、3，其他条件不变，则BD，DE与CE的并系如何？

请分别写出结论，并说明理由．

23．（2007•乐山）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：

AD=CE；

（2）求∠DFC的度数．

一．选择题（共5小题）

1．如图，在Rt△ABC中，已知，∠ACB=90°，∠B=15°，AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，且BD=13cm，则AC的长是（　　）

A．

13cm

B．

6.5cm

C．

30cm

D．

6

cm

考点：

含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．2979270

分析：

利用线段垂直平分线的性质得AD=BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm，再利用外角的性质得∠ADC=30°，解直角三角形即可得AC的值．

解答：

解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D（已知）

∴AD=BD（线段垂直平分线的性质）

∴∠DAE=∠B=15°且AD=BD=13cm（等腰三角形的性质）

∴∠ADC=30°（外角性质）

∴AC=

AD=6.5cm．

故选B．

点评：

本题主要考查了线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质等知识；得到∠ADC=30°是正确解答本题的关键．

2．一个等腰三角形的周长是24cm，腰长是xcm，则x的取值范围是（　　）

A．

0＜x＜12

B．

0＜x＜10

C．

6＜x＜12

D．

5＜x＜10

考点：

等腰三角形的性质；三角形三边关系．2979270

分析：

等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则底边长为24﹣2x，根据三边关系可以求出x的取值范围．

解答：

解：

等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则底边长为24﹣2x，

根据三边关系，x+x＞24﹣2x，解得，x＞6；

x﹣x＜24﹣2x，解得，x＜12，

所x的取值范围是6＜x＜12．

故选C．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系．在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，点F在AC上，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E．若∠AFD=155°，则∠EDF的度数等于（　　）

A．

45°

B．

55°

C．

65°

D．

75°

考点：

等腰三角形的性质；三角形的外角性质．2979270

分析：

先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．

解答：

解：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，

∴∠BED=∠FDC=90°，

∵∠AFD=155°，

∴∠EDB=∠CFD=180°﹣155°=25°，

∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣25°=65°．

故选C．

点评：

本题综合考查等腰三角形，三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．

4．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　）

A．

50°

B．

45°

C．

30°

D．

20°

考点：

线段垂直平分线的性质．2979270

分析：

从已知条件进行思考，由∠BAC=100°得∠B+∠C=80°，根据垂直平分线的性质，得∠BAD+∠EAC=80°于是答案可得．

解答：

解：

根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=GE．

故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD．

因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°﹣100°=80°，

∴∠DAE=100°﹣∠BAD﹣∠EAC=20°．

故选D

点评：

本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线垂直且平分其所在线段），难度一般．求得∠BAD+∠EAC=80°是正确解答本题的关键．

5．如图，三角形纸片ABC，AB=12cm，BC=7cm，AC=8cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）

A．

8cm

B．

9cm

C．

11cm

D．

13cm

考点：

翻折变换（折叠问题）．2979270

分析：

先根据图形反折不变性的性质得出△DEB≌△DCB，故DE=CD，EB=BC，故可得出结论．

解答：

解：

∵△DEB由△DCB反折而成，

∴△DEB≌△DCB，

∴DE=CD，BE=BC，

∵AB=12cm，BC=7cm，AC=8cm，

∴△AED的周长=AD+DE+AE=（AD+CD）+（AB﹣BE）=AC+AB﹣BC=8+12﹣7=13cm．

故选D．

点评：

本题考查的是反折变换，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．

二．填空题（共11小题）

6．等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是　6＜x＜12　．

考点：

等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系．2979270

分析：

由已知条件根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可求解．

解答：

解：

底边是24﹣2x，根据三角形的三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．得：

0＜24﹣2x＜2x．

解得6＜x＜12．

故填6＜x＜12．

点评：

考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系．列出并解出不等式是解决本题的关键．

7．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管　8　根．

考点：

等腰三角形的性质．2979270

专题：

应用题；压轴题．

分析：

根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．

解答：

解：

∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，

∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，

即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．

故答案为：

8．

点评：

此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．

8．已知如图，BC=3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，则三角形OEF的周长为　3　．

考点：

平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．2979270

专题：

计算题．

分析：

先根据角平分线的性质求出∠1=∠2，∠4=∠5，再根据平行线的性质求出∠1=∠3，∠4=∠6，通过等量代换可得，∠2=∠3，∠5=∠6，根据等腰三角形的判定定理及性质可得BE=OE，OF=FC，即可解答．

解答：

解：

∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠1=∠2，∠4=∠5，

∵OE∥AB，OF∥AC，

∴∠1=∠3，∠4=∠6，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∴BE=OE，OF=FC，

∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF，

∵BC=3，

∴OF+OE+EF=3

∴△OEF的周长=OF+OE+EF=3．

点评：

本题涉及到角平分线及平行线的性质，属中档题目．

9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C﹑D分别落在点C′、D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG=55°，那么∠BEG=　70　度．

考点：

翻折变换（折叠问题）．2979270

专题：

计算题．

分析：

由矩形的性质可知AD∥BC，可得∠CEF=∠EFG=55°，由折叠的性质可知∠GEF=∠CEF，再由邻补角的性质求∠BEG．

解答：

解：

∵AD∥BC，

∴∠CEF=∠EFG=55°，

由折叠的性质，得∠GEF=∠CEF=55°，

∴∠BEG=180°﹣∠GEF﹣∠CEF=70°．

故答案为：

70．

点评：

本题考查了翻折变换（折叠问题）．关键是明确折叠前后，对应角相等，两直线平行，内错角相等的性质．

10．如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在D′、C′位置上．若∠EFG=50°，那么∠EGB=　100　°．

考点：

翻折变换（折叠问题）．2979270

分析：

根据纸片是长方形，找到图中的平行线，再根据平行线的性质和翻折不变性解题．

解答：

解：

∵四边形纸片ABCD是矩形纸片，

∴AD∥BC（矩形的对边相互平行），

∴∠DEF=∠EFG（两直线平行，内错角相等）；

又∵∠EFG=50°（已知），

∴∠DEF=50°，

根据图形的翻折不变性，∠GEF=∠DEF=50°，

∴∠EGB=50°+50°=100°（外角定理）．

故答案是：

100．

点评：

本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，只是上的位置变化．

11．（2013•莆田质检）如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为　13　．

考点：

线段垂直平分线的性质．2979270

分析：

由于△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，由此求出AC=AB=8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，由此得到△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．

解答：

解：

∵△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，

∴AC=AB=8，

又∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB=13，

∴△BEC的周长为13．

点评：

此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

12．如图：

将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=　50　度．

考点：

翻折变换（折叠问题）．2979270

分析：

根据折叠的性质可知∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，利用平角是180°，求出∠ADE与∠AED的和，然后利用三角形内角和定理求出∠A的度数．

解答：

解：

∵将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，

∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，

∴∠1+2∠ADE+∠2+2∠AED=180°+180°，

∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）=360°，

又∵∠1+∠2=100°，

∴∠ADE+∠AED=130°，

∴∠A=180°﹣（∠ADE+∠AED）=50°．

故答案是：

50

点评：

本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：

三角形内角和是180°、平角的度数也是180°．

13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为　4　．

考点：

全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．2979270

分析：

求出∠ADB=∠AEC，∠DBA=∠CAE，根据AAS证△ABD≌△CAE，推出BD=AE，AD=CE求出AE和AD即可．

解答：

解：

∵BD⊥AE，CE⊥AE，∠BAC=90°，

∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，

∴∠DBA=∠CAE，

在△ABD和△CAE中

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵CE=2，BD=6，

∴AE=6，AD=2，

∴DE=AE﹣AD=4，

故答案为：

4．

点评：

本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，关键是求出AE=BD，CE=AD．

14．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AD与CE交于F，且BD=AE．则∠DFC=　60　度．

考点：

等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．2979270

专题：

探究型．

分析：

因为△ABC为等边三角形，所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC，根据SAS易证△ABD≌△CAE，则∠BAD=∠ACE，再根据三角形内角和定理求得∠DFC的度数．

解答：

解：

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，

∴AB=BC=AC．

在△ABD和△CAE中，

∵BD=AE，∠ABD=∠CAE，AB=AC，

∴△ABD≌△CAE，

∴∠BAD=∠ACE，

又∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，

∴∠ACE+∠DAC=60°，

∵∠ACE+∠DAC+∠AFC=180°，

∴∠AFC=120°，

∵∠AFC+∠DFC=180°，

∴∠DFC=60°．

故答案为：

60．

点评：

本题考查了全等三角形的判定、等边三角形性质、三角形内角和定理及外角的性质，综合性强，考查学生综合运用数学知识的能力．

15．如图所示，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D为AC上一点，若∠CBD=20°，BD=ED，则∠CED等于　10°　．

考点：

角平分线的定义；等腰三角形的判定与性质．2979270

分析：

根据∠ACB=20°和∠CBD=20°，得BD=CD，结合BD=ED，得ED=CD，则∠CED=∠DCE，根据角平分线定义即可求解．

解答：

解：

∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，

∴BD=CD，

又∵BD=ED，

∴ED=CD，

∴∠CED=∠DCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠CED=∠DCE=

∠ACB=10°．

点评：

此题综合运用了等腰三角形的判定和性质．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于　30　°．

考点：

等腰三角形的性质．2979270

分析：

根据翻折的性质得∠CBD=∠ABD，又△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A等于30°．

解答：

解：

根据题意，∠CBD=∠ABD，

∵△ABD是等腰三角形，

∴∠ABD=∠A，

∴∠ABD=∠A=∠CBD，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠ABC=3∠A=90°，

解得∠A=30°．

故答案为：

30．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质；解题中主要运用翻折前后的两个图形全等，等角对等边的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质得到∠ABD=∠A=∠CBD角之间的关系是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

17．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠BCA的平分线，AD、CD交于点D，若∠B=70°，则∠ADC=　125°　．

考点：

等腰三角形的性质．2979270

专题：

应用题．

分析：

根据三角形内角和以及∠B的度数，先求出（∠BAC+∠BCA），然后根据角平分线的性质求出（∠DAC+∠ACD），从而再次利用三角形内角和求出∠ADC．

解答：

解：

∵AD、CD是∠BAC与∠BCA的平分线，

∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠ACD），

=180°﹣

（∠BAC+∠BCA），

=180°﹣

（180°﹣∠B），

=90°+

∠B=125°．

故答案为：

125°．

点评：

本题主要考查了三角形的内角和是180°．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．

18．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，后一个图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

（1）求证：

△ABE≌△ACD

（2）试猜想DC与BE的位置关系，并说明理由．

考点：

等腰直角三角形；垂线；全等三角形的判定与性质．2979270

分析：

（1）根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定即可得出△ABE≌△ACD；

（2）利用全等三角形的性质得出∠B=∠ACB=∠ACD=45°，进而得出∠DCB=90°，即可得出答案．

解答：

（1）证明：

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AC=AB，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，

即∠BAE=∠CAD，

在△ABE和△ACD中，

∴

，

∴△ABE≌△ACD（SAS），

（2）解：

DC与BE的位置关系是垂直关系．

证明：

∵△ABE≌△ACD，

∴BE=CD，∠B=∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠DCB=90°，

∴DC与BE的位置关系是垂直关系．

点评：

此题主要考查了