高中数学通用模型解题.docx

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高中数学通用模型解题

高中数学解题方法

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：

集合Ax|ylgx，By|ylgx，C（x,y）|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？

A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

2如：

集合Ax|x2x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为

（答：

1，0，）

13

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。

故B只能是-1或者3。

根据条件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3.注意下列性质：

（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2n；

要知道它的来历：

若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。

同样，对于元素a2,a3,„„an,都有2种选择，所以，总共有2种选择，即集合A有2个子集。

当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21，非空真子集个数为22nnnnn

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

ABAB,ABAB

4.你会用补集思想解决问题吗？

（排除法、间接法）

如：

已知关于x的不等式

的取值范围。

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数a2xa

（∵3M，∴a·35023a

a·55025a5a1，9，25）3∵5M，∴

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过；如告诉你函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）在（,1）上单调递减，在（1,）上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程的2个根

5、熟悉命题的几种形式、

可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（），“且”（）和“非”（）.若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。

）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）

A{x|x满足条件p}，B{x|x满足条件q}，

若；则p是q的充分非必要条件A_____B；

若；则p是q的必要非充分条件A_____B；

若；则p是q的充要条件A_____B；

若；则p是q的既非充分又非必要条件___________；

7.对映射的概念了解吗？

映射f：

A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。

）

注意映射个数的求法。

如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B

的映射个数有nm个。

如：

若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}；问：

A到B的映射有个，B到A的映射有个；A到B的函数有个，若A{1,2,3}，则A到B的一一映射有个。

函数y（x）的图象与直线xa交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？

如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：

①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：

函数yx4xlgx32的定义域是

（答：

0，22，33，4）

函数定义域求法：

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数ytanxxR,且xk

k2

余切函数ycotxxR,且xk,k

反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

如：

函数f（x）的定义域是a，b，ba0，则函数F（x）f（x）f（x）的定义域是_____________。

（答：

a，a）

复合函数定义域的求法：

已知yf（x）的定义域为m,n，求yfg（x）的定义域，

可由mg（x）n解出x的范围，即为yfg（x）的定义域。

例若函数yf（x）的定义域为,2，则f（log2x）的定义域为2

分析：

由函数yf（x）的定义域为,2可知：

x2；所以yf（log2x）中有22111

1log2x2。

2

解：

依题意知：

解之，得

∴f（log2x）的定义域为x|1log2x222x42x4

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=1的值域x

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=x-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂2

b型：

直接用不等式性质k+x2

bxb.y2型,先化简，再用均值不等式xmxn

x11例：

y121+x2

x+x

x2mxnc..y2型通常用判别式xmxn

x2mxnd.y型xn

法一：

用判别式a.y

法二：

用换元法，把分母替换掉

2x2x1（x+1）（x+1）+11例：

y（x+1）1211x1x1x1

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数y=3x4值域。

5x6

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

2sin12sin1ex1例求函数y=x，y，y的值域。

1sin1cose1

ex11yyxex01ye1

2sin11yy|sin|||1,1sin2y

2sin1y2sin1y（1cos）1cos

2sinycos1y

x）1y,即sin（x）

又由sin（x）11

解不等式，求出y，就是要求的答案

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个x2（x2）2+（x8）2的值域。

解：

原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8

∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：

[10，+∞）

例求函数y=x26x13+x

24x5的值域2解：

原函数可变形为：

y=（x3）（02）+2（x2）2（01）2

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=∣AB∣=（32）（21）

x222=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。

例求函数y=x26x13-4x5的值域

2解：

将函数变形为：

y=（x3）（02）2-（x

2）（01）22

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。

即：

y=∣AP∣-∣BP∣由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣=

即：

-26＜y＜26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26。

综上所述，可知函数的值域为：

（-26，-26）。

注：

求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x

轴的同侧。

9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥33abc（a，b，c∈

32）（21）22=26R），求函数的最值，其题型特征解析式

是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例：

22xx（x0）

=x2113xx（应用公式a+b+c3者的乘积变成常数）

x2（3-2x）（0<x<1.5）

xx+3-2x3=xx（3-2x）（）13

abc3（应用公式abc（）时，应注意使3者之和变成常数）3

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

例求函数y=x2的值域

x3

x20时，

1yy

x20时，y=0

0y1

220y12

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：

做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不

要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

如：

fx1exx，求f（x）.

令tx1，则t0

2∴xt1

∴f（t）et

21t21

∴f（x）ex21x21x0

13.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

如：

求函数f（x）1x

2xx0的反函数x0

x1x1（答：

f（x））xx01

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。

请看这个例题：

（2004.全国理）函数y

A．y=x2－2x+2（x<1）C．y=x2－2x（x<1）x11（x1）的反函数是（B）B．y=x2－2x+2（x≥1）D．y=x2－2x（x≥1）

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。

可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。

下面请看一下我的思路：

原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>=1.排除选项C,D.现在看值域。

原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.

我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。

思路能不能明白呢？

14.反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线

y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf（x）的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f（a）=bf（b）af11f（a）f1（b）a，ff1（b）f（a）b

42），则方程f1（x）4的解x由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数f（x）log3（

x__________.1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。

已知反函数的y,不就是原函数的x吗？

那

代进去阿，答案是不是已经出来了呢？

（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。

自己想想，不懂再问我

15.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

（1）定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系

可以变形为求

f（x1）f（x2）f（x1）

的正负号或者与1的关系

x1x2f（x2）

（2）参照图象：

①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：

奇函数）

②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。

（特例：

偶函数）（3）利用单调函数的性质：

①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的

②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）

④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1

（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f（x）与

1f（x）

在f（x）的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。

（同增异减）⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它

ylog1x2x的单调区间如：

求

2

2

（设ux2x，由u0则0x2

2

且log1u，ux11，如图：

22

当x（0，1]时，u，又log1u，∴y

2

当x[1，2）时，u，又log1u，∴y

2

∴„„）

16.如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b）

A.03B.1

2C.2D.3aax0（令f’（x）3xa3x33

则xaa或x33

a1，即a33由已知f（x）在[1，）上为增函数，则

∴a的最大值为3）

17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f（x）定义域关于原点对称）

若f（x）f（x）总成立f（x）为奇函数函数图象关于原点对称若f（x）f（x）总成立f（x）为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域如：

若f（x）x21

（∵f（x）为奇函数，xR，又0R，∴f（0）0

a·20a20，∴a1）即021

2x

，又如：

f（x）为定义在（1，1）上的奇函数，当x（0，1）时，f（x）x41

求f（x）在1，1上的解析式。

2x

（令x1，0，则x0，1，f（x）x41

2x2x

又f（x）为奇函数，∴f（x）x4114x

2x

x41又f（0）0，∴f（x）x2

4x1

判断函数奇偶性的方法x（1，0）x0x0，1）

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f（x），然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f（x）+f（-x）=0奇函数f（x）-f（-x）=0偶函数f（x）

1偶函数f（-x）f（x）

1奇函数f（-x）

三、复合函数奇偶性

18.你熟悉周期函数的定义吗？

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf（x），则f（x）为周期函数，T是一个周期。

）

如：

若fxaf（x），则

（答：

f（x）是周期函数，T2a为f（x）的一个周期）

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：

告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，

f（x）f（xt）0

这时说这个函数周期2t.推导：

f（xt）f（x2t）0f（x）f（x2t），

同时可能也会遇到这种样子：

f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：

函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。

比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。

又如：

若f（x）图象有两条对称轴xa，xb即f（ax）f（ax），f（bx）f（bx）

f（x）f（2ax）f（2ax）f（2bx）f（x）f（2bx）

令t2ax,则2bxt2b2a,f（t）f（t2b2a）即f（x）f（x2b2a）

所以,函数f（x）以2|ba|为周期（因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值

如：

19.你掌握常用的图象变换了吗？

f（x）与f（x）的图象关于y轴对称联想点（x,y）,（-x,y）

f（x）与f（x）的图象关于x轴对称联想点（x,y）,（x,-y）

f（x）与f（x）的图象关于原点对称联想点（x,y）,（-x,-y）

f（x）与f1（x）的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,（y,x）

f（x）与f（2ax）的图象关于直线xa对称联想点（x,y）,（2a-x,y）

f（x）与f（2ax）的图象关于点（a，0）对称联想点（x,y）,（2a-x,0）

将yf（x）图象左移a（a0）个单位

右移a（a0）个单位yf（xa）yf（xa）

上移b（b0）个单位yf（xa）b下移b（b0）个单位yf（xa）b

（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。

对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。

你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。

看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。

）

注意如下“翻折”变换：

f（x）|f（x把）|轴下方的图像翻到上面x

f（x）f（|x把|）轴右方的图像翻到上面y

如：

f（x）log2x1

作出ylog2x1及ylog2x的图象