大学物理 静电场练习题及答案.docx

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大学物理静电场练习题及答案

练习题

7-1两个点电荷所带电荷之和为Q，它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大?

解:

这是一个条件极值问题。

设其中一个点电荷带电q，则另一个点电荷带电，两点电荷之间的库仑力为

由极值条件，得

又因为

<0

这表明两电荷平分电荷Q时，它们之间的相互作用力最大。

7-2两个相同的小球，质量都是m，带等值同号的电荷q，各用长为l的细线挂在同一点，如图7-43所示。

设平衡时两线间夹角2很小。

（1）试证平衡时有下列的近似等式成立：

式中x为两球平衡时的距离。

（2）如果l=m，m=10g，x=cm，则每个小球上的电荷量q是多少?

（3）如果每个球以的变化率失去电图7-43练习题7-2图

荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率dx/dt是多少?

解：

（1）带电小球受力分析如图解所示。

小球平衡时，有

由此二式可得

因为很小，可有，再考虑到

可解得

（2）由上式解出

（3）由于

带入数据解得

合力的大小为

令，即有

由此解得粒子受力最大的位置为

7-4由相距较近的等量异号电荷组成的体系称电偶极子，生物细胞膜及土壤颗粒表面的双电层可视为许多电偶极子的集合。

因此，电偶极子是一个十分重要的物理模型。

图7-45所示的电荷体系称电四极子，它由两个电偶极子组合而成，其中的和均为已知，对图7-44中的点（平行于正方形的一边），证明当x»l时

其中，p=ql称电偶极矩。

解：

电四极子可看成两个电偶极子的组合。

设左边和右边两个电偶极子在P点产生的场强分别为E左和E右，由教材例题7-3可知

其中，p=ql。

点处的合场强为

由于

x»l

上式可简化为

证毕。

7-5如图7-46所示，长为l的细直线OA带电线密度为，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点O点为b的P点的电场强度：

（1）为常量，且>0；

（2）=kx，k为大于零的常量，（0≤x≤1）。

b

x

A

O

P

图7-46练习题7-5用图

解：

（1）将带电直线分割成无数个长度元dx，dx的坐标是x。

它所带的电荷元dq=dx，dq在P点产生的电场强度的大小为

因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的矢量叠加可用代数方法

相加。

于是带电直线在P点产生的电场强度为

方向沿x轴的负方向。

（2）同样取电荷微元dq=dx=kxdx

同理

方向沿x轴的负方向。

7-6一个半径为R的半圆细环上均匀地分布电荷Q，求环心处的电场强度。

解：

分析在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。

现将其抽象为带电半圆弧线．在弧线上取线元dl，其电荷，此电荷元可视为点电荷，它在O点的电场强度为

因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有

点O的合电场强度为习题7-6用图

其中，负号表示场强方向与y方向相反。

将，，带入上式，积分得

负号表示场强方向与y方向相反

7-7一个半径为R的带电圆盘，电荷面密度为，求：

（1）圆盘轴线上距盘心为x处的任一点的电场强度；

（2）当R→∞时，P点的电场强度为多少?

（3）当x»R时，P点的电场强度又为多少?

练习题7-7用图

解：

（1）在半径为R的带电圆盘上取内半径为r、外半径为r+dr的细圆环，如图所示。

利用教材中例题7-5的结果可知，该细圆环上的电荷在P点产生的场强为

于是，整个圆盘上的电荷在P点产生的场强为

（1）当时，R»x。

此时，上式可化为

即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面。

（3）当x»R时，可将带电圆盘看作点电荷，此时P点电场强度为

7-8图7-47为两个分别带有电荷的同心球壳系统。

设半径为和的球壳上分别带有电荷和，求：

（1）I、II、III三个区域中的场强；

（2）若=－，各区域的电场强度又为多少？

画出此时的电场强度分布曲线（即－关系曲线）。

解：

（1）在区域I，做半径为r﹤R1的球形高斯面。

因为高斯面内无电荷，根据高斯定理

=

即

可得区域I中的电场强度为

E1=0

在区域II，以为半径做球形高斯面。

因为此高斯面内的电荷为Q1，由高斯定理得

=

由此可解得区域II的电场强度为

在区域III，做半径r﹥R2的球形高斯面。

由于该高斯面内的电荷为Q1+Q2，由高斯定理可得

=

E3=

（2）当=－时，根据以上结果易知

区域I的场强为

E1=0

区域II的场强为

区域III的场强为

E3=0

根据上述结果可画出如图所示关系曲线。

7-12水分子的电偶极矩为，如果这个电偶极矩是由一对点电荷±e引起的（e为电子电量），那么，它们的距离是多少?

如果电偶极矩的取向与强度为的电场方向一致，要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方向需要多少能量（用eV表示）?

解：

（1）由电偶极矩的定义

得

（2）若使电偶极矩倒转需要能量为A，则

7-13计算练习题7-8中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电势。

解：

（1）根据题7-8所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域中的电场分布，

;;

可得区域I的电势为

由此解得

区域Ⅱ的电势分布为

区域Ⅲ的电势分布为

（2）若，则区域Ⅰ的电势为

区域Ⅱ的电势为

区域Ⅲ的电势为

7-14“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，单位长度上带电量为+。

试求其电势分布。

（提示：

选取距带电圆柱面轴线为的点为电势零点）

解：

由于电荷分布具有轴对称性，所以应用高斯定理很容易求出电场强度分布为

0（＜R）

E=

（＞R）

电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向。

选某一距带电直线为的点为电势零点，

如本题解图所示。

当＜R时

这个结果可以一般地表示为

当＞R时

7-16同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属圆柱体构成，如图7－49所示。

设内圆柱体的电势为，半径为；外圆柱体的电势为，外圆柱体的内半径为，两圆柱体之间为空气。

求内圆柱体的λ

解：

（1）设内圆柱体单位长度的电量为。

在内外圆柱体之间做半径（），长度为l的圆柱闭合高斯面，应用高斯定理可得距轴心为处场强为

①

于是，两圆柱间电压为

②

即