高二数学 86抛物线的几何性质第一课时大纲人教版必修Word文档格式.docx

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第二张：

例题（记作§

8.6.1B）

第三张：

练习题（记作§

8.6.1C）

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］前面我们已经学过椭圆与双曲线的几何性质，它们都是通过标准方程的形式研究的.现在需要大家想想抛物线的标准方程.

［生］共四种形式，分别是y2=2px（p＞0）,y2=-2px（p＞0）,x2=2py（p＞0）,x2=-2py（p＞0）.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们根据第一种抛物线的标准方程，也就是y2=2px（p＞0）来研究其几何性质：

1.范围

因为p＞0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

2.对称性

可根据求椭圆与双曲线对称性的方法得到，在y2=2px（p＞0），以-y代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.

3.顶点

抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当y=0时x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点.这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.

4.离心率

抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知e=1.

抛物线的几何性质是从以上四方面来体现的，下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质.

（打出投影片§

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

y2=2px

（p>

0）

（0,0）

x轴

（,0）

x=-

e=1

y2=-2px

（-,0）

x=

x2=2px

y轴

（0,）

y=-

x2=-2px

（0,-）

y=

［师］结合椭圆与双曲线的几何性质对抛物线进行小结：

（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；

（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；

（3）抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；

（4）抛物线的离心率是确定的，为1.

下面开始讲例题，（打出投影片§

［例1］已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（2，-2），求它的标准方程，并用描点法画出图形.

分析：

根据抛物线关于x轴对称，其顶点在坐标原点，可知抛物线标准方程为y2=2px或y2=-2px，又M点横坐标为2，是大于0的数，所以方程只能是y2=2px的这种.

解：

由题意可设标准方程形式为y2=2py

∵过点M（2，-2）

∴（-2）2=2p·

２

则p=2

因此所求方程是y2=4x.

将方程变形为y=±

2，根据y=2计算抛物线在x≥0的范围内几个点的坐标，得

x

1

2

3

4

…

y

2.8

3.5

如图描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分.

在抛物线的标准方程y2=2px中，令x=,则y=±

p.这就是说，通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为（,p）、（,-p）.连结这两点的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p，这就是标准方程中2p的几何意义.利用通径可画抛物线的草图.

［例2］探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置.

该题虽然是求抛物线的标准方程，但是没有直角坐标系，所以首先得建立一适当的坐标系，使反光镜的顶点做为坐标原点，接着再选择一坐标轴，才能用待定系数法求抛物线的标准方程.

如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于灯口直径.

设抛物线的标准方程是y2=2px（p＞0），由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程得

302=2p×

40

∴p=

则所求抛物线的标准方程是y2=x，焦点坐标是（，0）.

Ⅲ.课堂练习

1.顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，一条直角边OA所在的直线方程为y=2x，斜边AB的长为5，求抛物线方程.

可先设出抛物线方程，然后用待定系数法求p，其中还要用到两点间距离公式.

如图所示，设抛物线方程为y2=2px（p＞0）

由得：

A（,p）

∵OA⊥OB

∴直线OB的方程为y=-x

由

得：

B（8p,-4p）

∵|AB|=5

∴|AB|=

所求抛物线方程为y2=.

2.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若点A（-1，0）和点B（0，8）关于直线l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.

可先设出直线方程与抛物线方程，由点A、B关于直线l对称，可求出对称点坐标，分别代入抛物线方程.

由题可设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），直线l的方程为y=kx（k≠0）.

设点A（-1，0），点B（0，8）关于直线l的对称点A′（x1,y1）、B′（x2,y2）.

∵A′、B′在抛物线上

∴

两式相除，消去p，整理得：

k2-k-1=0

∴k=

∵当k=时，x1==-[SX（）[KF（）5[KF]][]5[SX]]＜0

∴k=不合题意，应舍去.

把k=代入得p=.

∴直线l的方程为y=x，抛物线C的方程为y2=x.

Ⅳ.课时小结

抛物线标准方程的形式较多，它们的几何性质一定不能混淆，所以应用时应注意抛物线的形式.而根据性质求抛物线方程时，一般是采用待定系数法.

Ⅴ.课后作业

课本P123习题8.61、2、3

●板书设计

抛物线的例题练习课时小结

几何性质

2019-2020年高二数学8.6抛物线的几何性质（第二课时）大纲人教版必修

1.抛物线的性质的运用.

2.与抛物线有关的轨迹的求法.

3.直线与抛物线的位置关系.

1.灵活运用抛物线的性质

2.掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系.

训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力.

抛物线几何性质的运用，与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系.

抛物线几何性质的综合运用

启发式.

题组训练一（记作§

8.6.2A）

题组训练二（记作§

8.6.2B）

题组训练三（记作§

8.6.2C）

第四张：

课堂练习（记作§

8.6.2D）

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节课我们学习了抛物线的简单几何性质，这一节课将运用抛物线的性质解决相关的抛物线问题，下面我们通过题组训练来回顾抛物线的简单几何性质.（打出幻灯片§

题组训练一

［例1］

（1）己知点A（-2，3）与抛物线y2=2px（p>

0）的焦点的距离是5，则P=.

（2）抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=4，则焦点到AB的距离为.

（3）己知直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是.

[师]大家通过题组训练一的解答可以回顾抛物线的相关性质，下面请同学们思考后谈思路.

[生甲]

（1）题中，由抛物线y2=2px可得焦点坐标F（），由两点间距离公式得P的方程，从而解出P值.

[生乙]

（2）题用到抛物线的对称性，由抛物线的对称性可设A（a,2）,求出a值即可求得点到AB的距离.

[生丙]（3）题可利用直线方程与抛物线方程组成的方程组，并结合韦达定理求出AB的中点坐标，

[师]好的，下面请三位同学板演，其余同学抓紧时间独立完成.

（1）解：

由抛物线方程y2=2px可得焦点坐标F（）.

由题设得

又由P>

0,可解得p=4.

（2）解：

由抛物线对称性，不妨设A（a,2）.

∴

（2）2=4a.

∴a=3.又抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），

∴焦点到AB的距离为d=a-1=2.

①

②

（3）解：

列方程组

由①得x=2+y.　③

将③代入②，可得y2-4y-8=0.④

设A（x1,y1）、B（x2,y2），AB中点为M（x,y），根据韦达定理，由④得y1+y2=4.

∴y==2,代入③得x=y+2=4.

∴AB的中点坐标为（4，2）.

题组训练二

［例2］正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，求这个正三角形的边长.

[师]在熟悉题意之后，可以尝谈出自己的解题思路，并注意与抛物线性质的联系.

[生甲]因为正三角形与抛物线都是轴对称图形，所以我觉得A、B两点应该关于x轴对称，从而得到A、B的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而求出三角形边长.

[生乙]甲同学刚才提到了A、B两点关于x轴对称，但不经过证明的推理过程是不充分的，对于这一点，我证明如下：

设正三角形另外两个顶点A（x1,y1）,B（x2,y2）.则y12=2px1,y22=2px2.

∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22,

即x12-x22+2px1-2px2=0.

化简整理得（x1-x2）（x1+x2+2p）=0.

由x1>

0,x2>

0,2p>

0,可得x1+x2+2p≠0.故x1=x2,y1=-y2,　

即A、B两点关于x轴对称.

[师]前面两位同学谈得很好，甲同学提出了解题的设想，乙同学对关键的对称问题给予了证明，下面再请一位同学在此基础上说出边长的求解思路.

[生乙]设边长为a，只需根据题意及A、B关于x轴对称得到关于a的一个方程即可，这还要用到正三角形一边上的高h与边长a的关系，即h=a,所以x1=,y1=.又A（x1,y1）在抛物线上，所以y12=2px1，则（）2=2p·

a.

解得a=4p.

[师]接下来，我们抓紧时间完善此题的解答过程.（要求一位同学主动板演）

如图所示，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.则y12=2px1,y22=2px2

又∵|OA|=|OB|

∴x12+y12=x22+y22

即x12-x22+2px1-2px2=0

（x1-x2）（x1+x2）+2p（x1-x2）=0

∴（x1-x2）（x1+x2+2p）=0

∵x1＞0,x2＞0,2p＞0

∴x1+x2+2p≠0

则x1=x2

∴y1=-y2

即A、B两点关于x轴对称

则∠AOx=30°

∵AB⊥x轴

∴tan30°

=

∵x1=

∴y1=2p

而|AB|=2y1=4p即为所求边长.

［例3］如图所示，P为抛物线y=x2上的一个动点，连接原点O与P，以OP为边作一个正方形OPQR，求动点R的轨迹.

[师]在完成例2解答之后，我们一起来看例3，并尝试寻求解题思路.

[生丁]先设出动点P（x0,y0）、R（x,y），可以表示出直线OP，再结合KOR·

kOP=-1，可表示直线PQ，并求出点Q坐标，再由=，可得到用x、y表示的x0、y0,再代入抛物线方程，从而求出动点R的轨变.

[生戊]我的思路不需要求出Q点坐标，设出点P（x0,y0），点R（x,y），由|OP|=|OR|，kOR·

kOP=-1，可以得到用x,y表示的x0,y0再代入抛物线方程即可.

[生己]过P、R分别向x轴作垂线PM、RN，垂足分别为M、N，可以证明Rt△ORN≌△ORM.设R（x,y），则P点坐标为（y,-x）或（-y，x）,再将P点坐标代入抛物线方程即可求出R点轨迹.

[生庚]设出P、R坐标后，利用向量建立方程，即·

=0，||=||，而且这一思路实质上与戊同学思路一致，但角度有所不同.

[师]很好，接下来大家在上述思路中选择适合自己的进行解答，并注意书写的条理与规范.

解法一：

设动点P及动点R的坐标分别为P（x0,y0）、R（x,y）

则kOP=

∵kOP·

kOR=-1

∴x0·

=-1

又∵|OP|=|OR|

∴x2+y2=x02+y02=x02+x04

解x04+x02-（x2+y2）=0得：

x02=

x02·

=·

=1

∴1+4x2+4y2=（+1）2

化简整理得：

y4=x2

即y2=x或y2=-x

则动点R的轨迹是两支抛物线（不包括原点）

解法二：

利用△ORN≌△OPM的条件，用转移法求动点R的轨迹.

设动点R的坐标为（x,y），则P点的坐标是（y,-x）或P（-y,x）

又∵P点在抛物线上

∴P点坐标适合其方程

∴（-x）=y2或x=（-y）2

即动点的轨迹方程为：

y2=±

故动点R的轨迹是两支抛物线（不包括原点）.

[师]下面我们通过题组训练三进一步熟悉抛物线的性质及其运用.

题组训练三

［例4］直线l:

y=kx+1，抛物线C：

y2=4x,当k为何值时l与C相切、相交、相离.

[师]直线与圆锥曲线的关系是圆锥曲线的一部分重点内容，我们在研究方法上注意和直线与圆的位置关系的判断方法的联系，同时关注它们的区别.

[生辛]老师，我有一个问题，直线与抛物线相切，是否等价于直线与抛物线有一个交点呢？

[师]在研究直线与圆的位置关系时，我们知道，直线与圆相切确实等价于直线与圆有一个交点，而这一性质是否同样适用于直线与抛物线呢？

希望大家先畅谈自己的想法.

[生乙]我认为可以适用，因为直线与抛物线相切时，直线与抛物线的确仅一个交点.

[生甲]我认为不适用，因为当k=0时，直线y=1与抛物线仅一个交点，而直线与抛物线并非相切，而是相交.

[师]甲同学说得很正确，这个问题实际上牵涉到曲线的切线定义，是我们将来在高三才具体涉及的内容，但从这一题中，我们也能认识到直线与圆相切等价于直线与圆有且仅有一个交点对我们造成概念上的误解.实际上对圆锥曲线而言，直线与其相切并不一定等价于直线与其有且仅有一个交点.

既然对直线与抛物线相切有了具体的认识，那么此题应该从何入手呢？

[生壬]由于有y=1的特殊情形存在，我认为可以对k是否为0进行分类讨论，然后通过直线L方程与抛物线方程联立方程组，消元后，再利用判别式进行判断.

[师]很好，那么大家就按照这一思路进行解答（请一位同学板演）.

将l与C的方程联立，得

化简得：

k2x2+（2k-4）x+1=0

当k≠0时，是一个一元二次方程.

∴Δ=（2k-4）2-4k2=16-16k

①Δ=0即k=1时，l与C相切

②Δ＞0即k＜1且k≠0时，l与C相交

③Δ＜0即k＞1时，l与C相离

当k=0时，直线l:

y=1与C：

y2=4x相交.

综上所述：

k=1时，l与C相切；

k＜1时，l与C相交；

k＞1时，l与C相离.

［例5］设P为抛物线y=x2上一动点，定点A（a,0）关于点P的对称点是Q（a≠0）.

（1）求点Q的轨迹方程

（2）设

（1）中的轨迹与y=x2交于B、C，当AB⊥AC时，求a的值.

[师]在前面几例中，我们掌握了一定的分析问题的方法，对于例5，我们同样先请大家谈思路，然后快速规范求解.

[生丙]设出点坐标Q（x,y）、P（x0,y0）,由A、Q关于点P对称可以表示出x0,y0，再代入抛物线y=x2可得到Q的轨迹方程.

[生丁]求a值只需找到含有a的一个方程即可.而题中AB⊥AC可得出一个充要条件，也就是含有a的一个关系式.

[师]这两位同学给大家提供了一定的思路，但具体的求解过程中可能还要遇到新的问题，下面大家就动手尝试求解.

（1）设Q（x,y）,P（x1,y1）

∵P、Q关于A（a,0）对称

又∵（x1,y1）在抛物线y=x2上

∴=（）2

即Q点的轨迹方程是：

y=（x+a）2.

（2）设抛物线y=（x+a）2与y=x2交于点B（b,b2）,C（c,c2）,且AB⊥AC

∴b2c2=-bc+a（b+c）-a2①

又∵B、C是两抛物线的交点

∴x2=（x+a）2即x2-2ax-a2=0

∴b、c是这个方程的两个根

③

则

把②、③代入①得：

a4=a2+a·

2a-a2

∵a≠0∴a2=2,a=±

∴当AB⊥AC时，a的值为±

.

[师]在上述解答

（2）问的过程中，大家要注意体会在有关相交问题中，根与系数关系（韦达定理）所发挥的作用，即设交点但不具体求出交点坐标，达到了简化解答层次，提高解题效率的目的.

过抛物线y=ax2（a＞0）的顶点任作两条垂直的弦OA、OB.

（1）求证直线AB恒过一定点；

（2）求AB中点M的轨迹方程.

设A、B两点坐标.再利用OA⊥OB，可写出AB的直线方程，从而证明它过一定点.接着利用中点坐标公式及斜率关系，可求出AB中点M的轨迹方程.

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）

∵A、B是抛物线y=ax2（a＞0）上的点

∴y1=ax12,y2=ax22

则kAB==a（x1+x2）

∴直线AB方程为：

y-ax12=a（x1+x2）（x-x1）

即y-a（x1+x2）x+ax1x2=0

∴,即x1x2=-y1y2

则有a2x1x2=-1

∴AB的方程为：

y-a（x1+x2）x-=0

令x=0,则y=

∴直线AB恒过定点（0，）.

（2）设AB中点M（x,y），则2x=x1+x2

将两式y1=ax12,y2=ax22相减，得

y1-y2=a（x1-x2）（x1+x2）即

=a（x1+x2）

∵直线AB恒过一定点（0,）

∴直线AB的斜率k=,即=2ax

化简得点M的轨迹方程为y=2ax2+.

抛物线是一种常见的圆锥曲线，要掌握它的定义、标准方程及几何性质，并能灵活运用它们解决综合问题.

课本P123习题8.64、5、6

8.6.2抛物线的简单几何性质

（二）

例题练习题课时小结