五年级奥数题因数与倍数Word格式文档下载.docx
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（例如:
a=12、b=300、c=300，与a=300、b=12、c=300是不同的两个
自然数组）
答案
答案：
1.56
28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2.4
因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是
105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3.64
因为28=227,所以28的因数有6个:
1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2,8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4.28
因为667=2329,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因
数:
1,23,29,667.显然每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时，全班人数应是23-1=22，但22不能被4整除不可能.
当每人种23棵树时，全班人数应是29-仁28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种1棵树时，全班人数应是667-仁666,但666不能被4整除,不可能.
所以，一班共有28名学生.
5.40或20
两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和
35,它们的差分别为（45-5=）40,（35-15=）20,所以应填40或20.
［注］这里的关键是依最大公因数是5的条件，将50分拆为两数之和：
50=5+45=15+35.
6.36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友，可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨：
3636=1（只）
每个小朋友可分得桔子：
10836=3（只）
所以，最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只，桔子3只.
7.56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米，所以它是48与42的公因数，题目又要求剪出的正方形最大，故正方形的边长是48与42的最大公因数.
因为48=22223,42=237,所以48与42的最大公因数是6.这样,
最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪：
长边每排剪8块，宽边可剪7块,共可剪（486）（426）=87=56（块）正方形布片.
8.200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除，即正方体
的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大，正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样，长180厘米可公成20段，宽45厘米可分成5段，高18厘米可分成2段.这根木料共分割成（1809）（459）（189）=200块棱长是9厘米的
正方体.
9.150
根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果，又以6元钱卖出15个苹果，这样，他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
10.16
含有6个因数的数，它的质因数有以下两种情况：
一是有5个相同的质因数连乘；
二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M表示含有6个因数的数，用a和b表示M的质因数，那么
Ma5或Ma2b
因为M是两位数，所以M=a5只有一种可能M=25，而M=a2b就有以
下15种情况：
M
22
3,M
5,M
7，
11,M
13,M
17，
19,M
23,M
322，
32
7,M
11，
52
2,M
72
2.
所以,含有6个因数的两位数共有
15+1=16（个）
11.三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公因数只
能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12.四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和，也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解，得
1111=11101
最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,1012,1013,1015,
它们的和恰好是
101（1+2+3+5）=10111=1111,
它们的最大公因数为101.
所以101为所求.
3399
13.黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是2-与12-的“最小公倍数”99,
484
991113
即跳了99口=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是4丄和123的
4428
99999
“最小公倍数”99，即跳了99-=11次掉进陷井.
222
1
经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是4丄9=40.5（米）.
14.先将12、300分别进行质因数分解：
12=223
300=22352
（1）确定a的值依题意a只能取12或125（=60）或1225（=300）.
（2）确定b的值.
当a=12时,b可取12,或125,或1225；
当a=60,300时，b都只能取12.
a=300
所以，满足条件的a、b共有5组：
b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.
（3）确定a,b,c的组数.
对于上面a、b的每种取值，依题意，c均有6个不同的值：
52，522，5222，523，5223，52223，即25，50，100，75，
150，300.
所以满足条件的自然数a、b、c共有56=30（组）
因数与倍数相关习题
（2）
1.把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还
缺2个，一共有小朋友.
2.幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；
结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有人.
3.用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用
这样的木板块.
4.用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，
至少需要这种长方体木块块.
5.一个公共汽车站，发出五路车，这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分
钟发一次，第一次同时发车以后，钟又同时发第二次车•
6.动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12
粒；
如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；
如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子，每只可得粒.
7.这样的自然数是有的：
它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍
数加4是5的倍数，加5是6的倍数加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是.
8.能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是.
9.把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最
大公因数是1,那么至少要分成组.
10.210与330的最小公倍数是最大公因数的倍.
二、解答题
11•公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:
00三条路线同时发出第一辆车•该总站发出最后一辆车是20:
00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.
12.甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是12.如果甲乙两数
的差是18,则甲数是多少？
乙数是多少？
5151
13.用—、兰、1丄分别去除某一个分数，所得的商都是整数•这个分数最
285620
小是几？
14.有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：
“这个数能被2整除”3号说：
“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验：
只有编号连续的二位同学说得不对，其余同学都对，问：
（1）说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？
（2）如果告诉你,1号写的数是五位数，请找出这个数.
1.9
若梨减少2个，则有20-2=18（个）;
若将苹果增加2个，则有25+2=27（个），这
样都被小朋友刚巧分完•由此可知小朋友人数是18与27的最大公因数.所以最多
有9个小朋友.
2.36
根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是
115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公因数.
所以，这个大班的小朋友最多有36人.
3.56
所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数，也就是长方
形木板的长和宽的公倍数，又要求最少需要多少块，所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.
先求14与16的最小公倍数.
21614
故14与16的最小公倍数是287=112.
因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板
8=56（块）
112112「=7
1614
4.5292
与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9,6,7的最小公倍数，9,6,7的最小公倍数是126.所以，至少需要这种长方体木块
126126126
967
=142118=5292（块）
［注］上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，
后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广•将平面问题推广为空间问题
是数学家喜欢的研究问题的方式之一•希望引起小朋友们注意•
5.90
依题意知，从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最
小公倍数.
因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.
6.5
依题意得
花生总粒数=12第一群猴子只数
=15第二群猴子只数
=20第三群猴子只数
由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数，其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么
第一群猴子只数是5,10,15,……
第二群猴子只数是4,8,12,……
第三群猴子只数是3,6,9,……
所以，三群猴子的总只数是12,24,36,…….因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒.
7.421
依题意知，这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.
8.999768
由题意知，最大的六位数是3,7,8,11的公倍数，而3,7,8,11的最小公倍数是1848.
因为9999991848=541••…231,由商数和余数可知符合条件的最大六位
数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以符合条件的六位数是999999-23仁999768.
9.3
根据题目要求，有相同质因数的数不能分在一
组,26=213,91=713,143=1113,所以，所分组数不会小于3.下面给出一种分
组方案：
（1）26,33,35;
（2）34,91;
（3）63,85,143.
因此，至少要分成3组.
［注］所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=35,2仁37,
35=57，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组
除了上述分法之外，还有多种分组法，下面再给出三种：
（1）26,35；
33，85，91；
34，63，143.
⑵85,143,63；
26，33，35；
34，91.
（3）26,85,63；
91，34，33；
143，35.
10.77
根据“甲乙的最小公倍数甲乙的最大公因数=甲数乙数”将210330
分解质因数，再进行组合有
210330=235723511
=223252711
=（235）（235711）
因此，它们的最小公倍数是最大公因数的71仁77（倍）.
11.根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后，每隔80分钟又同时发车.
从早上6:
00至20:
00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.
601480=10…40分钟
由此可知,20:
00前40分钟，即19:
20为最后一次三车同时发车的时刻.
12.甲乙两数分别除以它们的最大公因数，所得的两个商是互质数.而这两
个互质数的乘积，恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数所得的商
——12.这一结论的根据是：
（我们以“约”代表两数的最大公因数，以“倍”代表两数的最小公倍数）
甲数乙数=倍约
甲数乙数倍约比
甲数
乙数二倍药=约,
乙数
=12
约约约约，所
将12变成互质的两个数的乘积:
①12=43，②12=112
先看①，说明甲乙两数：
一个是它们最大公因数的4倍，一个是它们最大公
因数的3倍.
甲乙两数的差除以上述互质的两数（即4和3）之差,所得的商,即甲乙两数的最大公因数.
18（4-3）=18甲乙两数,一个是:
183=54，另一个是：
184=72.再看②,18（12-1）=1—,不符合题意，舍去.
11
13.依题意，设所求最小分数为M，则
N
5
15u
M彳
=a
=b
=c
28
56
20
56-
即
15
21
其中a,b,c为整数.
因为M是最小值且a,b,c是整数所以M是5,15,21的最小公倍数,N是N
M1051
28,56,20的最大公因数，因此，符合条件的最小分数：
M=^=26-
N44
14.
（1）根据2号~15号同学所述结论将合数4,6,…，15分解质因数后,
由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.
4=22,6=23,8=23,9=32,10=25,12=223,14=27,15=35
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数（可逐次
排除，只有8与9满足要求）.
（2）1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整
除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是
223571113=60060
因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的五位数是60060.
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