整理专题阿氏圆与线段和最值问题含答案.docx

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整理专题阿氏圆与线段和最值问题含答案

专题：

阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完整）

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专题:

阿氏圆与线段和最值问题（含答案）（推荐完整）

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张嬗雒老师

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专题：

阿氏圆与线段和最值问题

以阿氏圆（阿波罗尼斯圆）为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.

具体内容如下：

阿氏圆定理（全称:

阿波罗尼斯圆定理）,具体的描述:

一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比（≠1），则P点的轨迹，是以定比内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．

定理读起来和理解起来比较枯燥,阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB，（k≠1）P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.

PA+kPB,（k≠1）P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型

阿氏圆基本解法：

构造母子三角形相似

例题1、问题提出：

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4,CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP,求AP+BP的最小值．

（1）尝试解决：

为了解决这个问题，下面给出一种解题思路:

如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP,∴AP+BP＝AP+PD．

请你完成余下的思考,并直接写出答案：

AP+BP的最小值为　　．

（2）自主探索：

在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为　　．

（3）拓展延伸：

已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6,OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．

【分析】

（1）利用勾股定理即可求出,最小值为AD＝；

（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即:

AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；

（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2PA，得到2PA+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时,得到最小值．

【解答】解:

（1）如图1，

连结AD,

∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小,当点A,P,D在同一条直线时，AP+AD最小，

即:

AP+BP最小值为AD，

在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，

∴AD＝＝，

AP+BP的最小值为，故答案为：

;

（2）如图2，

连接CP，在CA上取点D，使CD＝，

∴，

∵∠PCD＝∠ACP,

∴△PCD∽△ACP，

∴，

∴PD＝AP，

∴AP+BP＝BP+PD，

∴同

（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．

故答案为:

；

（3）如图3，

延长OA到点E,使CE＝6，

∴OE＝OC+CE＝12，

连接PE、OP，

∵OA＝3，

∴，

∵∠AOP＝∠AOP，

∴△OAP∽△OPE，

∴，

∴EP＝2PA，

∴2PA+PB＝EP+PB，

∴当E、P、B三点共线时,取得最小值为：

BE＝＝13．

【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理,相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．

例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．

问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：

AB＝　　，AC＝　　．

问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B,交BC的延长线于点D,求CD的长．

问题解决求△ABC的面积的最大值．

【分析】问题初探：

设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案;

问题再探：

设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知,解之可得；

问题解决：

设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m,由余弦定理可得cosC，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：

问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，

∵BC＝4，

∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，

解得：

＜x＜4，

取x＝3，则AC＝3、AB＝6，

故答案为：

6、3;

问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，

∴△DAC∽△DBA，

则＝＝,

设CD＝a、AD＝b，

∴，

解得:

即CD＝；

问题解决,设AC＝m、则AB＝2m，

根据面积公式可得S△ABC＝AC•BCsinC＝2msinC＝2m，

由余弦定理可得cosC＝,

∴S△ABC＝2m

＝2m

＝

＝

＝

由三角形三边关系知＜m＜4，

所以当m＝时,S△ABC取得最大值．

【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．

例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接AD，

BD，则的最小值为_________

【解答】

例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是⊙A上的动点，

连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________

【解答】21

练习

1．如图,在平面直角坐标系中，点A（4,0）,B（4,4），点P在半径为2的圆O上运动,则AP+BP的最小值是　　．

【分析】如图,取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+PA＝PB+PK的最小值为BK的长．

【解答】解：

如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．

∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，

∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，

∴△POK∽△AOP，

∴＝＝，

∴PK＝PA,

∴PB+PA＝PB+PK，

在△PBK中，PB+PK≥BK，

∴PB+PA＝PB+PK的最小值为BK的长，

∵B（4，4），K（1，0）,

∴BK＝＝5．

故答案为5．

【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

2．如图,正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于　　．

【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD,BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP,可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值,

【解答】解:

如图，在BC上截取BE＝1,连接BP,PE，

∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，

∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3

∵，且∠PBE＝∠PBE

∴△PBE∽△CBP

∴

∴PE＝PC

∴PD+PC＝PD+PE

∴当点D，点P，点E三点共线时,PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，

∴PD+PC最小值为DE＝＝5

故答案为：

5

【点评】本题考查了正方形的性质,圆的有关知识，相似三角形的判定和性质,添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．

3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2,P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为　　;PD+4PC的最小值为　　．

【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题;

②连接DB，PB,在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝,推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC）,根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；

【解答】解:

①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．

∵PB2＝4，BE•BC＝4，

∴PB2＝BE•BC，

∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，

∴△PBE∽△CBP，

∴＝＝，

∴PD+PC＝PD+PE，

∵PE+PD≤DE，

在Rt△DCE中,DE＝＝5，

∴PD+PC的最小值为5．

②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC,作EF⊥BC于F．

∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，

∴BP2＝BE•BD，

∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，

∴△PBE∽△DBP，

∴＝＝，

∴PE＝PD，

∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），

∵PE+PC≥EC，

在Rt△EFC中，EF＝,FC＝,

∴EC＝,

∴PD+4PC的最小值为10．

故答案为5,10．

【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题．

4．如图，半圆的半径为1,AB为直径，AC、BD为切线,AC＝1,BD＝2，P为上一动点,求PC+PD的最小值．

【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小,根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．

【解答】解：

如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．

理由：

连接PB、CO，AD与CO交于点M，

∵AB＝BD＝4，BD是切线，

∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，

∵AB是直径，

∴∠APB＝90°，

∴∠PAB＝∠PBA＝45°,

∴PA＝PB,PO⊥AB，

∵AC＝PO＝2，AC∥PO，

∴四边形AOPC是平行四边形,

∴OA＝OP，∠AOP＝90°，

∴四边形AOPC是正方形，

∴PM＝PC，

∴PC+PD＝PM+PD＝DM，

∵DM⊥CO，

∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．

【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题,找到解题的突破口,属于中考常考题型．

5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心,4为半径作⊙C．

（1）试判断⊙C与AB的位置关系，