讲义分式方程与实际应用Word格式.docx
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知识点1:
分式方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
知识点2:
分式方程的解法
1去分母：
即方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程
2解这个整式方程
3验根
二、同步题型分析
题型1：
分式方程的概念
例1、
下列关于X的方程中，是分式方程的是（
）
x3
x亠5
x
a
xb
A.
4二
B.
—
——
=—+—
3
5
b
ba
C.
（x-1）21
x1二1
D.
n
X1
m
解答：
选C
小结：
考查分式方程的概念，即分母中有未知数的方程为分式方程。
例2、将分式方程2y5*1=4-3y化为整式方程时，方程两边应同乘（）
2y—624-2y
A.（2y—6）（4-2y）
2（y—3）
C.4（y—2）（y—3）
2（y—3）（y—2）
解答:
小结:
考查最简公分母。
题型
2:
解分式方程
分式方程
2亠—6的解是（
x-2xx（x-2）
B.2
D.无解
分式方程分母为0时方程没有意义。
方程1-1的解是
x=0
=1
-3
（1）去分母：
即方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程.
（2）
解这个整式方程
（3）验根
2（x-3）x2=x（x-3）
化简得,
5x=6
经检验x=6是原方程的根。
-2
x-22—X
分析：
经过观察，我们发现两边的分母互为相反数，改变一边的符号就可把分母化为一样，然后再去分母化整。
解:
将原方程变形得,
xX
x—2x—2
方程两边都乘以（x-2）得,
x（x-2）x=2
化简得，X2-x-2=0
解得，=2,X?
--1
经检验xi=2是增根，X2--1是原方程的根。
所以，方程的解为x--1
眉uX2+13（x+1）
例5、亠一24
x+1x+1
直接解这道方程会有难度，通过观察，我们不难发现前后两个分式分子分母其实是互
为倒数的，那么我们可以运用换元法去解方程。
o
去分母，化简得，y-4y=0
解得，y1=1，y2=3
解得,
3+717
x^1，
X4
2
所以,
经检验，它们都是原方程的根
总结：
（1）用去分母法；
（2）题用化整法；
（3）题用换元法.
题型3:
其他应用
例1、若分式方程一3x—+—a—=1的解是x=0,则a=
2x-77-2x
把x=0代入方程中解出a,得a=7.
11
例2、已知a=1…—,b=1--,用a表示c的代数式为（）
bc
111-a
A.cB.aC.cD
1-b1-ca
D
三、课堂达标检测
1、
F列关于x的方程中，不是分式方程的是
2、
A.1+x=1
方程x一1=X_3的解是（
x+2x+4
3x
一2
x3x—+•
16
3、
4、
A.x=—4
方程
1
——2
x=3
x=1
A.0
将公式
RR2
A.R^R2-R
C.R1二
4二X的解是
x—3
R2
（R
R,
艮均不为零,
RmRO变形成求
R的式子，正确的是（
rr1亠rr2
RRz
DR1二r_r2
1xx-1
厶-1
6、
方程x
x一2的解是
x-5
x-6
7、
当x=
时，分式
3上
亍2
的值互为相反数
6-x
&
当m=
时，方程
-1=3
的解为1.
5、
F列每小题中的两个方程的解是否相同?
9、
mx
12
分式方程+—
若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是
（1）
x23
与x+2=3（
x-2x-2
x_i2二4与x+2=4（
（3）
x+2+=3+
x-1x-1
——与x+2=3
10、解分式方程
（1）7x-2=0
x+2
7
x2x
_6x2-1
x2-4x
x2-1
2x
x1
528x/x—jx—1
x-16x44-x
参考答案
1、C2、B3、D4、A5、（x-1）（x+1）6、x=107、188、
9、
（1）是
（2）不是（3）不是10、略
、专题精讲
题型1:
工程问题
例1、某水泵厂在一定天数内生产4000台水泵，工人为支援四化建设，每天比原计划增产25%，
可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？
本题的等量关系是：
工作时间=工作总量十工作效率，由题意原计划用的时间-实际用的
时间=10天.
解：
设原计划日产筈个零件,
解得:
x=80■
经检噓，80是原方程的根*
苔：
原计划日宇80个零件•
本题考查分式方程在工程问题中的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键•工程问题常用的等量关系为：
工作时间=工作总量十工作效率.
例2、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍,
结果共用了3天完成任务。
求原来每天装配的机器数•
丹忻：
本题先很堀题意谒出等量关乘即总的工作时间为3天・从而列出方程--^=3,鶴出方理,最后检验弁作替.
I2x
解罟：
騎：
设厘来毎天装即机器X台，依题意谆：
6JO-6-.
解退个方程得：
k=6-
嵯检验：
買二方是原方程的辭，
昔：
原来画天装母机器&
台.
点评：
菇题主要考叠分式方程的应用，解题的关镣是栈岀题中的等重关枭，辻意：
京出的结果必须检验目还要看是杏存合题意.
例3、某工人计划在一定时间内完成48个零件的加工任务，完成一半后，改进了操作方法，使
加工的速度提高到原来的1.5倍，这样提前2天完成了任务，求该工人原计划每天加工多少个零件.
设原计划每天加工x个零件，根据改进技术后加工24个零件用的时间比原来用的时间少
2天为等量关系，列出方程，再解这个方程就可以求出其值.
解吾：
设原计划每天加工龙个寒件，谀进技术后馬天加工1-5龙个窸件，由题意，得
48-24S-2_48_
x=4・
经榆验！
沪4是原方程的根*
答：
该工人原计划每天加工4个零件.
本题考查了列分式方程解决生活中的实际问题的运用，分式方程的解法•在解答中分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键•在解答中容易忽略的问题是不验根.
题型2:
行程问题
例1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36
千米所用时间相等，求这个人骑自行车每小时走多少千米？
甘折：
先设她输自行车的鬼度每小时走x干米・根葩也歩行12千米斯用的时胃与轎自行车北干輩斯用的时回相等，列出方程，求出方程的解即词解答：
常：
谀他喑自行车的傀度闰小的走*干米』抿据题意得：
1236
jFs'
T
萊得：
K=12-
轻楹骏：
x=l2是原分式方程的斛・
答；
他嵋自行车的歪匿是12二米F小时，
臣评：
上E题者査了曲戒方理的应用*关飪是读临強至*找到关程須述语，战到合迢的等虽关為，列出方禮求幫，
例2、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速
度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少
本题的等量養素再豁程二谨度X时间.由题意司知先的旳间+1•昌小时二尢饥用的时冃!
•解暂：
设大臥的谨度是船千米/时，先谴肽的連度是i.2x=F米/■时，
由题意得占一-0.5二空*
1.2jcx
解得］<
=5，
经检聽！
炸5是原方穫的解！
■■-1.2^.-6>
箸：
先适臥和大駅的速度分别是E千米/时*5千米/时・
|点评：
|別幷式方程韶应用题与所有列方程第应用题一样，査点在于准确地拔出相等关系，这是列方程的依据.
例3、夏季里某一天，离供电局30千米远的郊区发生供电故障，抢修队接到通知后，立即前去
抢修.维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果两车同时到达抢修点.已
知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度.
为忙设金托车的iSIE加干米曲愿抢储车的世虫如亦米曲很1B时司之司的等更关采列出方眉学二晋嚅'
求出坦箔进司.
解言：
窮；
设匡托车罰匣度药h千米/时，划抢懐车的產歴対1,显千米/曲.根摇題总*得
30^30
J'
―l.5jf60'
辭这伞方程■得e=40^
经箱酣，x=4。
是原方程的很.
故枪幄车的遁度为］1.5z=l.5X40-6D■
霑；
區梅车闵匣度药40千議川力推假车的逮度为牝千米/时.
点押：
本題是一谊丢于行程冋題的应用癒，式方趕在留决英歸河陋中的运用，別方思财腿的矢建是质到等車丢弟，要注意的是舟式方程必顶螯
其他问题
例1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知轮船在静水中的速
度是每小时18千米，求水流速度.
关系式拘：
枪船顺水航行阮千米所用时间=逆水航行翻千米的时间，把相关数值代入计莫即可.
解薈：
设水流的谨度为朮千米/时.
4S
18+x~18-x'
解得斫话，经检验孟=罟是原方程的解-
—一54
普：
水流速度为二千米/时.
例2、乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅,
前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%勺价格全部售出，前后一共获利750元，求小
李所进乌梅的数量.
分析；
先设小李所进马将的埶皇为xk.很拥前启_共获利ted元，列出方程，求出氏的值，冉退行检验即可.
解簷：
鯛：
设小李所进乌梅的教里向孟k即很拥趣意得：
5000”\3000
4035U50-（k-150）2C%=750-
XX
解得二x=200，
经检^k=200是原方程的解，
小李所港乌枸的教蛍対页Qks
电评：
此駆者査了分式方程的应用，解题的黄键呈读憤题意，携出之间的等卑養系・列出方程・領分式方程时要注意检验-
、专题过关
1某班学生军训打靶，有m人各中靶a环，n人各中靶b环，那么所有中靶学生的平均环数是（）
A.ab
ambn
mn
c.1（ab）
一（am亠bn）
2mn
2.某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖
20米，结果提前4天完成任务，若设
原计划每天挖x米，那么下列方程正确的是（
人480480,
480
480"
A....4
■20
xx+20
x4
C4804804
480-20
x—20x
x—4
3•仓库贮存水果a吨，原计划每天供应市场m吨，若每天多供应2吨，则要少供应天.
4•某人上山，下山的路程都是s，上山速度vi,下山速度V2,则这个人上山和下山的平均速度是
5•若一个分数的分子、分母同时加1,得1;
若分子、分母同时减2,则得丄，这个分数是•
6•—辆汽车先以一定速度行驶120千米，后因临时有任务，每小时加5千米，又行驶135千米，结
果行驶这两段路程所用时间相等，求汽车先后行驶的速度.
7.—个工厂接了一个订单，加工生产720吨产品，预计每天生产48吨，就能按期交货，后来，由
于市场行情变化，订货方要求提前5天完成，问：
工厂每天应该生产多少吨？
甲、乙两同学学习电脑打字，甲打一篇3000字的文章与乙打一篇2400字的文章所用的时间相同,
已知甲每分钟比乙多打12个字，问甲、乙两人每分钟各打字多少个？
9.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨煤，已知现在采33000吨煤所需的时间和原计划采23100
吨煤的时间相同•问现在平均每天采煤多少吨？
10.某一工程招标时，接到甲、乙两工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元,乙工程队工程款1.1万元.目前有三种施工方案：
方案一：
甲队单独完成此项工程刚好如期完成；
方案二：
乙队单独完成此项工程比规定日期多5天；
方案三：
若甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
1、B2、A3
2a
m（m2）
2V|V2
v1v2
11
哪一种方案既能如期完工又最节省工程款？
6解：
设汽车之前的速度是xkm/h,则之后的速度是（x5）km/h,由题意，得
120_135
xx5
120（x5）=135x
120x600=135x
x=40
经检验：
x=40是原分式方程的解
x+5=45（km/h）
汽车之前的速度是40km/h，之后的速度是45km/h。
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