中考初三数学冲刺拔高专题训练讲座含答案Word文件下载.docx
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图Z1－4
A．－a＜0＜－bB．0＜－a＜－b
C．－b＜0＜－aD．0＜－b＜－a
【解析】∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a.
4．[2017·
余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为（ B ）
图Z1－5
A．0B．1C．2D．3
【解析】根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1.
5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－2，3），以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ A ）
图Z1－6
A．－4和－3之间B．3和4之间
C．－5和－4之间D．4和5之间
【解析】∵点P的坐标为（－2，3），
∴OP＝＝.
∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA＝OP＝，
∵9＜13＜16，∴3＜＜4.
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.
6．[2017·
成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是__－__．
图Z1－7
【中考预测】
如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是（ C ）
图Z1－8
A．a＞bB．|a|＞|b|
C．－a＜bD．a＋b＜0
【解析】由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.
类型之二 实数的混合运算
计算：
2×
（3＋）＋4－2×
.
解：
＝2×
3＋2×
＋4－2×
＝6＋4＋2×
－2×
＝10.
1．[2016·
台州]计算：
－＋2－1.
原式＝2－＋＝2.
2．[2017·
临沂]计算：
|1－|＋2cos45°
－＋.
－＋＝－1＋2×
－2＋2＝－1＋－2＋2＝1.
3．[2017·
泸州]计算：
（－3）2＋20170－×
sin45°
＝9＋1－3×
＝10－3＝7.
计算：
－3tan30°
＋（π－4）0－.
＋（π－4）0－＝2－3×
＋1－2＝－1.
专题提升
（二） 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值
已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？
（x－y）2呢？
x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝32－2×
1＝7；
（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝32－4×
1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．
完全平方公式的一些主要变形有：
（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2），（a＋b）2－（a－b）2＝4ab，a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，能求出（整体代换）其余的两个量．
1．已知（m－n）2＝8，（m＋n）2＝2，则m2＋n2的值为（ C ）
A．10B．6C．5D．3
2．已知实数a满足a－＝3，则a2＋的值为__11__.
【解析】将a－＝3两边平方，可得a2－2＋＝9，即a2＋＝11.
重庆B卷]计算：
（x＋y）2－x（2y－x）．
原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.
4．[2016·
漳州]先化简（a＋1）（a－1）＋a（1－a）－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系（不必说明理由）?
原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1.
故该代数式的值与a的取值没有关系．
先化简，再求值：
（a－b）2＋a（2b－a），其中a＝－，
b＝3.
原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－a2＝b2.
当a＝－，b＝3时，原式＝32＝9.
类型之二 分式的化简与求值
（1）－－；
（2）·
（1）原式＝－＝＝－；
（2）原式＝·
＝·
＝2x＋8.
【思想方法】
（1）进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；
（2）注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；
（3）分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；
（4）要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
重庆A卷]计算：
÷
原式＝÷
＝
攀枝花]先化简，再求值：
，其中x＝2.
原式＝·
＝.
当x＝2时，原式＝＝.
，其中x＝4.
原式＝
＝x－2.当x＝4时，原式＝x－2＝2.
类型之三 二次根式的化简与求值
已知a＝＋，b＝－，求a2－ab＋b2的值．
∵a＝＋，b＝－，∴a＋b＝2，ab＝1，
∴a2－ab＋b2＝（a＋b）2－3ab＝
（2）2－3＝9.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．
1．已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为（ C ）
A．9B．±
3
C．3D．5
仁寿二模]先化简，再求值：
，其中a＝＋1，b＝－1.
＝－，
当a＝＋1，b＝－1时，原式＝－＝－.
绵阳]先化简，再求值：
，其中x＝2，y＝.
＝÷
＝－.
当x＝2，y＝时，原式＝－＝－＝－.
＋＋，其中a＝，b＝.
原式＝＝＝，
∵a＋b＝＋＝，ab＝×
＝1，
∴原式＝.
专题提升（三） 数式规律型问题
观察下列各式：
52＝25；
152＝225；
252＝625；
352＝1225；
…
你能口算末位数是5的两位数的平方吗？
请用完全平方公式说明理由．
把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式，其中a为自然数，
则（10a＋5）2＝100a2＋100a＋25＝100a（a＋1）＋25，
因此在计算末位数是5的自然数的平方时，只要把100a与a＋1相乘，并在积的后面加上25即可得到结果．
【思想方法】 模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛，是热点考题之一．
1．小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3－2＝1；
8＋7－6－5＝4；
15＋14＋13－12－11－10＝9；
24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16；
根据以上规律可知第10行左起第1个数是（ C ）
A．100B．121C．120D．82
【解析】根据规律可知第10行等式的右边是102＝100，等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，∴左起第1个数是120.
邵阳]如图Z3－1，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（ B ）
图Z3－1
A．y＝2n＋1B．y＝2n＋n
C．y＝2n＋1＋nD．y＝2n＋n＋1
【解析】∵观察可知：
左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.
3．[2018·
中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律，从2017到2018再到2019，箭头的方向是下列选项中的（ D ）
图Z3－2
【解析】由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，
2017÷
4＝504……1，
∴2017是第505个循环组的第2个数，
∴从2017到2018再到2019，箭头的方向是
故选D.
图Z3－3
4．挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：
当一根棒条没有被其他棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图Z3－3中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…则第6次应拿走
（ D ）
A．②号棒B．⑦号棒
C．⑧号棒D．⑩号棒
【解析】仔细观察图形，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒．
5．[2017·
烟台]用棋子摆出下列一组图形（如图Z3－4）：
图Z3－4
按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为（ D ）
A．3nB．6n
C．3n＋6D.3n＋3
【解析】∵第1个图需棋子3＋3＝6；
第2个图需棋子3×
2＋3＝9；
第3个图需棋子3×
3＋3＝12；
…∴第n个图需棋子（3n＋3）个．
6．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第1个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…以此类推，那么第9个三角形数是__45__，2016是第__63__个三角形数．
【解析】根据所给的数据发现：
第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n，则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；
由1＋2＋3＋4＋…＋n＝
2016，得＝2016，解得n＝63（负数舍去）．
7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏，规则是：
每位同学依次报自己的顺序数的倒数加1.如：
第1位同学报，第2位同学报，第3位同学报，…这样得到的100个数的积为__101__.
【解析】∵第1位同学报的数为＋1＝，第2位同学报的数为＋1＝，第3位同学报的数为＋1＝，…
∴第100位同学报的数为＋1＝，
∴这样得到的100个数的积＝×
×
…×
＝101.
8．[2017·
潍坊]如图Z3－5，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；
第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；
第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；
…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．
图Z3－5
【解析】∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3；
∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×
2＋3；
∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×
3＋3，…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3.
9．观察下列等式：
第一个等式：
a1＝＝－1；
第二个等式：
a2＝＝－；
第三个等式：
a3＝＝2－；
第四个等式：
a4＝＝－2；
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：
an＝＝－；
（2）a1＋a2＋a3＋…＋an＝__－1__
【解析】a1＋a2＋a3＋…＋an＝（－1）＋（－）＋（2－）＋（－2）＋…＋（－）＝－1.
10．[2016·
山西]如图Z3－6是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．
图Z3－6
【解析】由图可知，涂有阴影的小正方形有5＋4（n－1）＝4n＋1（个）．
11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．
图Z3－7
【解析】∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有6＋5×
1＝11根小棒，第3个图案中有6＋5×
2＝16根小棒，…∴第n个图案中有6＋5（n－1）＝5n＋1根小棒．
12．《庄子·
天下篇》中写道：
“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：
一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图Z3－8所示．
由图易得＋＋＋…＋＝__1－__.
图Z3－8
13．[2016·
安徽]
（1）观察图Z3－9中的图形与等式的关系，并填空：
图Z3－9
【解析】1＋3＋5＋7＝16＝42，观察，发现规律：
1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…∴1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2.
（2）观察图Z3－10，根据
（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
图Z3－10
1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋__2n＋1__＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．
【解析】观察图形发现：
图中黑球可分为三部分，1到n行，第n＋1行，n＋2行到2n＋1行，即1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋[2（n＋1）－1]＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋（2n＋1）＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．
（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
（2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？
图Z3－11
（1）把4张餐桌拼起来能坐4×
4＋2＝18（人）；
把8张餐桌拼起来能坐4×
8＋2＝34（人）；
（2）设这样的餐桌需要x张，由题意，得4x＋2＝90，
解得x＝22.
答：
这样的餐桌需要22张．
专题提升（四） 整式方程（组）的应用
类型之一 一元一次方程的应用
汽车队运送一批货物．若每辆车装4t，还剩下8t未装；
若每辆车装4.5t，恰好装完．这个车队有多少辆车？
设这个车队有x辆车，依题意，得
4x＋8＝4.5x，解得x＝16.
这个车队有16辆车．
【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（组）等的基础，是课标要求，也是热门考点．
1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（ C ）
A．25台B．50台
C．75台D．100台
【解析】设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100－x）台，根据题意可得x＝3（100－x），解得x＝75.
盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：
“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说：
“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”．小明说：
爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？
请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价（单位：
元/斤）．
设上月萝卜的单价是x元/斤，则排骨的单价元/斤，根据题意，得3（1＋50%）x＋2（1＋20%）＝45，
解得x＝2，则＝＝15.
∴这天萝卜的单价是（1＋50%）×
2＝3（元/斤），
这天排骨的单价是（1＋20%）×
15＝18（元/斤）．
这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
[2016·
株洲模拟]根据如图Z4－1的对话，分别求小红所买的笔和笔记本的价格．
图Z4－1
设笔的价格为x元/支，则笔记本的价格为3x元/本，
由题意，得10x＋5×
3x＝30，
解得x＝1.2，∴3x＝3.6.
笔的价格为1.2元/支，笔记本的价格为3.6元/本．
类型之二 二元一次方程组的应用
用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
图Z4－2
设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸板用完．
根据题意，得解得
竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的纸板用完．
【思想方法】 利用方程（组）解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．
1．小华写信给老家的爷爷，问候“八·
一”建军节．折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：
若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时宽绰3.8cm；
若将信纸按图②三等分折叠后，同样方法装入时宽绰1.4cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．
①
②
图Z4－3
设信纸的纸长为xcm，信封口的宽为ycm.
由题意，得解得
信纸的纸长为28.8cm，信封的口宽为11cm.
2．某中学新建了一栋四层的教学楼，每层楼有10间教室，进出这栋教学楼共有4个门，其中两个正门大小相同，两个侧门大小也相同．安全检查中，对4个门进行了测试，当同时开启一个正门和两个侧门时，2min内可以通过560名学生；
当同时开启一个正门和一个侧门时，4min内可以通过800名学生．
（1）求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，出现紧急情况时，因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定：
在紧急情况下全楼的学生应在5min内通过这4个门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：
该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？
请说明理由．
（1）设一个正门平均每分钟通过x名学生，一个侧门平均每分钟通过y名学生，由题意，得
解得
一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生；
（2）由题意得共有学生45×
10×
4＝1800（人），
学生通过的时间为1800÷
[（120＋80）×
0.8×
2]＝（min）．
∵5＜，∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定．
随着“互联网＋”时代的到来，一种新型的手机打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/km计算，耗时费按q元/min计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如下表：
速度y（km/h）
里程数s（km）里程数s（km）
车费（元）
小明
60
8
12
小刚
50
10
16
（1）求p，q的值；
（2）如果小华也用该打车方式，车速55km/h，行驶了11km，那么小华的打车总费用为多少？
（1）小明的里程数是8km，时间为8min；
小刚的里程数为10km，时间为12min.
由题意得解得
（2）小华的里程数是11km，时间为12min.
则总费用是11p＋12q＝17（元）．
类型之三 一元二次方程的应用
某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元，未租出的车每辆每月只需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
（1）100－＝88（辆）．
当每辆车的月租金定为3600元时，能租出88辆．
（2）设每辆车的月租金定为（3000＋x）元，则
[（3000＋x）－150]－×
50＝306600，
解得x1＝900，x2＝1200，
∴3000＋900＝3900（元），3000＋1200＝4200（元）．
当每辆车的月租金为3900元或4200元时，月收益可达到306600元．
【思想方法】利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费．
眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：
生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高
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