几何最值之费马点巩固练2文档格式.docx

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∴P为三角形的内心，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝2，∠PBD＝30°

（2）∵∠PAB＋∠PBA＝180°

－∠APB＝60°

∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120°

∴△ABP∽△BCP，

，即

（3）证明：

在BB'

上取点P，使∠BPC＝120°

，连接AP，再在PB'

上截取PE＝PC，连接CE，如图所示：

∵∠BPC＝120°

，∴∠EPC＝60°

∴△PCE为正三角形

∴PC＝CE，∠PCE＝60°

，∠CEB'

＝120°

∵△ACB'

为正三角形，

∴AC＝B'

C，∠ACB'

＝60°

∴∠PCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB'

，∠PCA＝∠ECB'

∴△ACP≌△B'

CE，

∴∠APC＝∠B'

EC＝120°

，PA＝EB'

∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°

∴P为△ABC的费马点，

∴BB'

2.如图1，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°

，则点P叫做△ABC的费马点：

（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点；

（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°

，求证：

△ABP∽△BCP；

（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点，如图2，

①求∠CPD的度数；

②求证：

P点为△ABC的费马点.

（1）是；

（2）见解析；

（3）①∠CPD＝60º

，②见解析

（1）延长AP与BC交于点N，延长BP交AC于点M，如图所示：

∵AB＝BC，BM是AC的中线，

∴MB平分∠ABC，

同理：

AN平分∠BAC，PC平分∠BCA，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABP＝30°

，∠BAP＝30°

∴∠APB＝120°

∠APC＝120°

，∠BPC＝120°

∴P是△ABC的费马点；

（2）∵∠PAB＋∠PBA＝180－∠APB＝60°

，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°

∴△ABP∽△BCP；

（3）如图所示，

①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，

∴∠BAE＝∠CAD＝60°

，AE＝AB，AC＝AD，

∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，

在△ACE与△ABD中，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝∠4，

∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°

②证明：

∵△ADF∽△CFP，

∴AF·

PF＝DF·

CF，

∵∠AFP＝∠CFD，

∴△AFP∽△CDF

∴∠APF＝∠ACD＝60°

∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°

∴∠BPC＝120°

∴∠APB＝360°

－∠BPC－∠APC＝120°

∴P点为△ABC的费马点.

3.如图，在平面直角坐标系

中，△ABC三个顶点的坐标分别为

，延长AC到点D，使CD＝

，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过B点的直线

将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线

与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．

（3）

（1）∵

设DE与

轴交于点M，由DE∥AB可得△DMC∽△AOC，

又∵

，同理可得EM＝3，

（2）由

（1）可得

，由DE∥AB，EM＝MD可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线，

∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上，∴ED与CF互相垂直平分，

∴CD＝DF＝FE＝EC，

∴四边形CDFE是菱形，且点M为对称中心，

作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、T，如图所示：

易证△FTM≌△CSM，∴FT＝CS，

∵FE＝CD，∴TE＝SD，

∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS，

∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，

由点B（6，0），点

在直线

上，∴直线BM的解析式为

（3）设点P在直线AG上的运动速度为

，点P在y轴上的运动速度为2

则点P到达点A的时间为

过点G作GH⊥BM于点H，如图所示：

易证△MGH∽△MBO，则

.

要使t最小，则GH＋GA最小，即当点G、A、H三点一线时，t有最小值，

确定G点位置的方法：

过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点，

由OB＝6，

，可得∠OBM＝60°

，∴∠BAH＝30°

在Rt△OAG中，

∴G点的坐标为

（或G点的位置为线段OM的靠近O点的三等分点）.

4.如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到，连接EN.

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM＋BM＋CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点。

若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数.

（1）见解析；

（2）AMB、∠BMC、∠CMA都等于120º

（1）证明：

∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°

而∠MBN＝60°

∴∠ABM＝∠EBN，

在△AMB与△ENB中，

，∴△MB＝△ENB（SAS）

（2）连接MN，如图所示：

由

（1）知，AM＝EN，

∵∠MBN＝60°

，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形，

∴BM＝MN，∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，

当E、N、M、C四点共线时，AM＋BM＋CM的值最小，

此时，∠BMC＝180°

－∠NMB＝120°

∠AMB＝∠ENB＝180°

－∠BNM＝120°

∠AMC＝360°

－∠BMC－∠AMB＝120°

5.已知锐角△ABC，∠ACB＝60°

，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等.

【解答】S△ABC＋S△ABD＝S△BCE＋S△ACF

【解析】证明：

过点A作AM∥FC交BC于点M，连接DM、EM，如图所示：

∵∠ACB＝60°

，∠CAF＝60°

∴∠ACB＝∠CAF，

∴AF∥MC，

四边形AMCF是平行四边形，

又∵FA＝FC，

∴四边形AMCF是菱形，

∴AC＝CM＝AM，且∠MAC＝60°

∵在△BAC与△EMC中，

CA＝CM，∠ACB＝∠MCE，CB＝CE，

∴△BAC≌△EMC，

∵∠DAM＝∠DAB＋∠BAM＝60°

＋∠BAM，

∠BAC＝∠MAC＋∠BAM＝60°

∴∠BAC＝∠DAM，

在△ABC和△ADM中，

AB＝AD，∠BAC＝∠DAM，AC＝AM，

∴△ABC≌△ADM（SAS），

故△ABC≌△MEC≌△ADM，

在B上截取CM，使CM＝CA，

再连接AM、DM、EM（辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便），

易证△AMC为等边三角形，

在△ABC与△MEC中，

∴△ABC≌△MEC（SAS），

∴AB＝ME，∠BC＝∠MEC，

又∵DB＝AB，

∴DB＝ME，

∵∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°

＋∠ABC，

∠BME＝∠BCE＋∠MEC＝60°

＋∠MEC，

∴∠DBC＝∠BME，

∴DB∥ME，

即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，

∴四边形DBEM是平行四边形，

∴S△BDM＋S△DAM＋S△MAC＝S△BEM＋S△EMC＋S△ACF，

即S△ABC＋S△ABD＝S△BCE＋S△ACF.