八年级数学下册第9章二次根式91二次根式和它的性质教案新版青岛版Word文件下载.docx

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教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：

已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：

如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°

，那么AB边的长是__________．

老师点评：

横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标为（，）．

由勾股定理，得AB=

二、探索新知

很明显、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<

0，有意义吗？

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>

0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

分析：

二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“”；

第二，被开方数是正数或0．

解：

二次根式有：

、（x>

0）、、-、（x≥0，y≥0）；

不是二次根式的有：

、、、．

例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

由3x-1≥0，得：

x≥

当x≥时，在实数范围内有意义．

三、应用拓展

例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．

依题意，得

由①，得x≥-

由②，得x≠-1

当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

例4

（1）已知y=++5，求的值．（答案:

2）

（2）若+=0，求a2004+b2004的值．（答案:

）

四、归纳小结

本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

五、布置作业

一、选择题

1．下列式子，是二次根式的是（）

A．-B．C．D．x

2．下列式子，不是二次根式的是（）

A．B．C．D．

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）

A．5B．C．D．以上皆不对

二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式．

2．面积为a的正方形的边长为________．

3．负数________平方根．

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问：

底面边长应是多少？

2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

3．若+有意义，则=_______．

4.使式子有意义的未知数x有（）．

A．0个．B．1个．C．2个D．无数个

5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

答案:

一、1．A2．D3．B二、1．（a≥0）2．3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：

x=．2．依题意得：

，

∴当x>

-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．

3.4．B5．a=5，b=-4

板书设计：

§

16.1.1.二次根式

（1）

情境引入例2学生板演

二次根式的定义例3

例1例4小结

9.1二次根式和它的性质

（2）

1．（a≥0）是一个非负数；

2.（）2=a（a≥0）．

理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；

最后运用结论严谨解题．

（a≥0）是一个非负数；

（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：

用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；

用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

　2、讲练结合法:

在例题教学中，引导学生阅读、类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

1、类比的方法通过观察、类比，使学生理解（a≥0）是一个非负数和（）2=

a（a≥0），形成有效的学习策略。

一、复习引入

（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？

当a<

0时，有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

（a≥0）是一个什么数呢？

（a≥0）是一个非负数．

做一做：

根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；

（）2=______；

（）2=_______．

是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

同理可得：

（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以

（）2=a（a≥0）

例1、计算

1．（）22．（3）23．（）24．（）2

我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

（）2=，（3）2=32·

（）2=32·

5=45，

（）2=，（）2=．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（）2（）2（）2（）2（4）2

四、应用拓展

例2、计算

1．（）2（x≥0）2．（）23．（）2

4．（）2

（1）因为x≥0，所以x+1>

0；

（2）a2≥0；

（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·

2x·

3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

0，（）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·

3+32=（2x-3）2

又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3、在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3

（2）x4-4（3）2x2-3

（略）

五、归纳小结

本节课应掌握：

2．（）2=a（a≥0）;

反之:

a=（）2（a≥0）．

六、布置作业

1．下列各式：

、、、、、，二次根式的个数是（）．

A．4B．3C．2D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．

A．a>

0B．a≥0C．a<

0D．a=0

1．（-）2=________．

2．已知有意义，那么是一个_______数．

1．计算

（1）（）2

（2）-（）2（3）（）2（4）（-3）2

（5）

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5

（2）3.4（3）（4）x（x≥0）

3．已知+=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2

（2）x4-93x2-5

一、1．B2．C；

二、1．32．非负数；

三、1．

（1）（）2=9

（2）-（）2=-3（3）（）2=×

6=；

（4）（-3）2=9×

=6（5）-6

2．

（1）5=（）2；

（2）3.4=（）2；

（3）=（）2；

（4）x=（）2（x≥0）

3．xy=34=81；

4.

（1）x2-2=（x+）（x-）

（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-）；

（3）略

16.1.二次根式

（2）

情境引入例1学生板演

例2

a=（）2（a≥0）．例3小结

9.1二次根式和它的性质（3）

教学内容:

＝a（a≥0）

理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

＝a（a≥0）．

2．难点：

探究结论．

3.关键：

讲清a≥0时，＝a才成立．

在例题教学中，引导学生阅读类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。

1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟＝a（a≥0），形成有效的学习策略。

教学过程:

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．（a≥0）是一个非负数；

3．（）2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？

下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

填空：

=_______；

=_______；

=______；

=________；

=________；

=_______．

（老师点评）：

根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2；

=0.01；

=；

=0；

=．

因此，一般地：

=a（a≥0）

例1、化简

（1）

（2）（3）（4）

因为

（1）9=-32，

（2）（-4）2=42，（3）25=52，

（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）去化简．

（1）==3

（2）==4

（3）==5（4）==3

三、应用拓展

例2、填空：

当a≥0时，=_____；

0时，=_______，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？

（2）若=-a，则a可以是什么数？

（3）>

a，则a可以是什么数？

∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；

（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；

（3）根据

（1）、

（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？

a<

0．

（1）因为=a，所以a≥0；

（2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使>

a，即使a>

a，所以a不存在；

0时，=-a，要使>

a，即使-a>

a，a<

0，综上，a<

例3、当x>

2，化简-．

=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<

0时，＝－a的应用拓展．

1．的值是（）．

A．0B．C．4D．以上都不对

2．上a≥0时，、、-，比较它们的结果，正确的是（）．

A．=≥-B．>

>

-

C．<

<

-D．->

=

1．-=________．

2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

1．先化简再求值：

当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：

原式=a+=a+（1-a）=1；

乙的解答为：

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

在两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．

（提示：

先由a-2000≥0，判断1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3.若-3≤x≤2时，试化简：

│x-2│++。

一、1．C2．A；

二、1．-0．022．5；

三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数

2．由已知得a-2000≥0，a≥2000

所以a-1995+=a，=1995，a-2000=19952，

所以a-19952=2000．

3.10-x

16.1.二次根式（3）

＝a（a≥0）．例3

例1练习小结