创新杯数学建模竞赛题.docx
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创新杯数学建模竞赛题
2011年天津工业大学“创新杯”数学建模竞赛赛题
要求：
1.在A、B、C题中选择一题；
2.按以下格式加封面，在答卷中不得出现班级、姓名等；
3.如不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛的必须在封面声明，不愿自费参加竞赛的同学也请在封面声明；
4.参赛选手务必于2011年6月13日11时之前将纸质版论文上交，老校区同学交到主楼A座606，新校区同学交到第一公共教学楼B区314。
编号：
（同学不得填写）
-------------------------------------------------------------------
编号：
队员姓名：
队员一：
__________________班级：
___________学号：
___________
队员二：
___________________班级：
___________学号：
___________
队员三：
___________________班级：
___________学号：
___________
（附：
不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛）
A题：
一种汽车比赛的最优策略
汽车运动是当前世界上一项重要的体育项目。
这项运动比传统的体育项目更具综合性，尤其涉及科学技术的各个方面。
数学物理科学在这个项目中自然十分重要。
当然，汽车运动的比赛项目也十分丰富。
其中的速度赛和节油赛就是两项基本比赛。
有人设计了如下的两个比赛项目：
项目1：
给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。
项目2：
给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下，在确定的比赛路段内，汽车行驶时间最短。
上述两个比赛项目的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略，既是给出定量燃油的消耗速率v（t）,尽量使上述两个项目达到最优效果。
既是得到尽量好的比赛成绩。
请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型，并求出上述两个问题（项目）的最优策略，既是定量燃油的最优消耗律v（t）函数。
当汽车还有能量输入（例如：
太阳能）时，如何修正数学模型。
B题：
中国人口发展趋势对经济社会的影响
人口是影响经济社会发展的关键因素，关系到改革开放和社会主义现代化建设的成功。
中国经济发展和社会管理面临的重大问题与人口数量、素质、结构、分布等密切相关。
“人口问题是发展的中心问题”已成为各国共识。
各国均对提高人口素质、缓解人口老龄化带来的压力等关键问题给予了特别的关注。
20世纪70年代，为了缓解人口过快增长带来的社会压力，中国开始实行计划生育政策。
自那以来，我国的计划生育工作取得了举世瞩目的成就，在经济还不发达的情况下，有效控制了人口的过快增长，实现了人口再生产类型从“高、低、高”的模式向“低、低、低”模式的转变。
与此同时，我国人口发展出现了一些新情况、新变化。
人口总和生育率已低于临界生育率水平，我国部分大中城市老龄化已非常明显。
目前我国正处于人口发生转变的关键时刻，生育率、人口性别结构、人口老龄化等问题日益凸显。
中国人口发展的这些变化将对经济社会发展产生重要影响。
例如，低生育率导致的劳动力老化、劳动力供给总量的下降，会对劳动生产率的提高以及经济竞争优势产生负面影响。
人口年龄结构的改变将影响储蓄和投资的比例，引起社会保障公共支出需求的增加等等。
特别值得注意的是，与西方国家不同，中国未来的人口老龄化问题具有“未富先老”的特点。
这就给社会保障带来一系列问题，其中养老保险受到的冲击最大。
基本养老保险制度的负担系数从1984年的0.185提高到2003年的0.331，增长了近80%。
预计到本世纪30年代，我国人口老龄化将达到高峰。
如果对这个问题没有恰当的应对策略，不仅社会保障制度无法平稳运行，而且将影响社会经济的可持续发展。
尽管社会各界对未来中国人口发展趋势性的判断能够达成较为一致的看法，但具体测算结果仍具有较大差异。
相应地，对当前是否应当调整中国现行的人口政策也存在较多分歧。
一种意见认为，中国人口增速虽然回落，但人口基数依然庞大，国内资源稀缺的矛盾依然较为突出，因而当前及今后一段时期内还应继续坚持现行的计划生育政策。
另一种意见则认为，中国的计划生育政策已经执行了30多年，人口增长率已经呈现明显的下降趋势，而且也产生了一些问题，如人口结构失衡、低生育率、男女比例失调问题，甚至于民族性格的改变等。
认为目前已到了重新审视计划生育政策的时候，目前中国人口的主要矛盾已经是老龄化问题。
这两种意见各有其理论和实践基础，但又均没有充分的科学依据。
到底如何来评估现行人口政策的影响，人口政策是否有必要调整？
人口政策调整与否，在不同的情景下，未来我国的人口发展趋势及其对社会经济的影响如何？
如何解决人口增长与经济、资源、环境和社会等诸多约束之间的矛盾？
不同的人口政策和发展趋势对我国就业问题、教育问题和住房问题会产生什么样的影响？
这些问题均需要进行深入的研究，不仅仅是定性分析，还要结合定量测算，科学地评估当前我国的人口政策，以及未来调整人口政策的可行性及如何调整，在此基础上得出可行的政策建议。
目前我国一些部门和学者对人口问题，包括人口战略等开展了许多研究，但也存在一些值得改善的地方。
例如，研究对象的片面性问题。
如人口部门的研究主要关注人口自身的增长问题，对其他影响人口增长的因素考虑较少。
实际上人口增长脱离不了复杂的社会经济系统，它有众多的制约因素，如经济发展水平、资源环境约束、社会保障状况等。
要深入考察人口问题和人口政策，需要从复杂系统的角度出发。
又如人口的数据问题。
由于与人口相关的数据很多是通过估算得到的，因此在准确性方面就大打折扣。
刚刚完成的全国第六次人口普查为下一步的研究奠定很好的数据基础。
中共中央政治局2011年4月26日就世界人口发展和全面做好新形势下我国人口工作进行第二十八次集体学习。
中共中央总书记胡锦涛在主持学习时强调，要充分认识我国人口问题的长期性、复杂性、艰巨性，不断增强做好人口工作的自觉性和主动性，加强战略研究，加强政策统筹，加强工作协调，加强任务落实，不断开创人口工作新局面，为“十二五”时期经济社会发展创造更加有利的人口环境。
问题一：
试建立数学模型分析我国人口发展趋势对经济社会发展某一方面的影响，如考虑我国人口发展趋势对经济发展的影响：
对经济增长速度、消费结构、产业结构、进出口等的影响，以及人口因素对劳动力市场的影响（劳动力短缺和工资成本持续上升等）；人口发展趋势对社会发展的影响：
人口结构老龄化的社会影响、从业人口的养老负担系数等。
（具体相关数据请自行查找，并务必在参考文献中注明出处）
问题二：
考虑人口发展趋势及其经济社会发展某一方面影响基础上，并就该方面提出调整和完善人口政策的具体政策建议，并分析其可行性和正负作用。
注：
论文电子版请提交到：
ch8683897@
C题：
组合投资的收益和风险问
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、…）可供公司作投资选择。
其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。
试根据实验数据确定5年内如何安排投资？
使得第五年末所得利润最大？
二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：
在具体对这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
8个项目独立投资的往年数据见表2。
同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。
（注：
同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目）
试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。
对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。
项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。
各投资项目的投资上限见表4。
在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？
使得第五年末所得利润最大？
四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。
如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？
五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司应该如何对5年的投资进行决策?
附：
表1. 投资项目预计到期利润率及投资上限
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
预计到期利润率（%）
0.1
0.11
0.25
0.27
0.45
0.5
0.8
0.55
上限（万元）
60000
30000
40000
30000
30000
20000
40000
30000
注：
到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。
表2.各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
1986
投资额
3003
5741
4307
5755
4352
3015
6977
4993
到期利润
479
126
1338
910
-7955
5586
22591
8987
1987
投资额
7232
6886
5070
7929
7480
5463
3041
4830
到期利润
1211
164
2210
1539
5044
-1158
6386
9398
1988
投资额
3345
5659
6665
7513
5978
4558
5055
4501
到期利润
507
629
2540
1233
-3608
-6112
36832
10355
1989
投资额
5308
6272
6333
6749
4034
7392
6442
4092
到期利润
787
602
836
1616
8081
4946
16834
-7266
1990
投资额
4597
5294
5148
5384
6220
6068
6095
5270
到期利润
711
365
2765
1099
22300
8319
-19618
-2697
1991
投资额
4378
5095
5973
7294
6916
6276
7763
6335
到期利润
756
621
2549
1559
5130
-9028
22230
2733
1992
投资额
6486
7821
4449
5586
5812
6577
6276
5848
到期利润
846
935
1078
1006
9358
1318
-59901
24709
1993
投资额
6974
3393
4268
5414
5589
4472
6863
3570
到期利润
1489
593
1955
1740
9207
4237
38552
14511
1994
投资额
4116
4618
5474
6473
5073
6345
6866
3044
到期利润
353
749
2041
1548
7044
-2291
-39691
4570
1995
投资额
7403
5033
6859
6707
5377
4783
5202
6355
到期利润
1117
911
1392
1168
7488
1464
70314
19245
1996
投资额
4237
4996
5603
5597
5231
4181
6830
5018
到期利润
571
964
3077
1881
7209
5721
-21568
5075
1997
投资额
3051
5707
4877
3844
7434
4222
5370
5960
到期利润
449
868
1138
1131
5196
3173
99069
14864
1998
投资额
7574
5052
5460
3681
7936
7745
6391
3861
到期利润
1396
958
1372
1221
5849
10740
-27334
-4626
1999
投资额
3510
5870
5697
5701
3898
7216
5135
4218
到期利润
364
1089
1456
1757
-629
10770
-24878
-5786
2000
投资额
6879
7396
5516
5623
7471
5501
3174
4210
到期利润
994
1558
2864
1461
7769
7151
8981
21833
2001
投资额
3511
4780
6255
6925
6598
6043
4862
7988
到期利润
638
1175
3230
2223
8020
7916
-46712
21357
2002
投资额
3660
7741
4315
4379
7120
6131
3661
5393
到期利润
538
1527
1155
1494
4616
6411
64239
-11538
2003
投资额
4486
4756
3871
5529
5807
5576
3029
到期利润
466
862
1022
2046
5395
6178
11819
2004
投资额
7280
7312
6471
7760
到期利润
1389
1319
2060
3227
2005
投资额
3082
5083
到期利润
403
787
表3.一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）
项目
同时投资项目1、2
同时投资项目5、6
同时投资项目5、6、8
3
4
5
6
5
6
8
1986
投资额
4307
5755
4352
3015
4352
3015
4993
到期利润
1026
2686
1442
2634
6678
2542
-3145
1987
投资额
5070
7929
7480
5463
7480
5463
4830
到期利润
2188
3558
3009
2935
-3861
15120
13270
1988
投资额
6665
7513
5978
4558
5978
4558
4501
到期利润
3272
3222
443
14400
4794
1884
-3356
1989
投资额
6333
6749
4034
7392
4034
7392
4092
到期利润
2050
2778
344
4473
3002
1549
10820
1990
投资额
5148
5384
6220
6068
6220
6068
5270
到期利润
1513
2533
601
-6448
-852
-4651
-1593
1991
投资额
5973
7294
6916
6276
6916
6276
6335
到期利润
2733
3542
10300
9217
20610
5595
7283
1992
投资额
4449
5586
5812
6577
5812
6577
5848
到期利润
3005
2448
318
1087
4750
-179
14000
1993
投资额
4268
5414
5589
4472
5589
4472
3570
到期利润
2015
2609
5168
-2930
3170
-235
14460
1994
投资额
5474
6473
5073
6345
5073
6345
3044
到期利润
1782
2969
-981
2413
7304
19090
7065
1995
投资额
6859
6707
5377
4783
5377
4783
6355
到期利润
3701
2636
6695
52
3795
2029
10510
1996
投资额
5603
5597
5231
4181
5231
4181
5018
到期利润
3581
1809
952
844
-2671
6334
12970
1997
投资额
4877
3844
7434
4222
7434
4222
5960
到期利润
1510
1724
-124
8984
-4299
3307
10170
1998
投资额
5460
3681
7936
7745
7936
7745
3861
到期利润
3996
1450
7717
2803
8062
6753
10050
1999
投资额
5697
5701
3898
7216
3898
7216
4218
到期利润
3204
2488
7598
-4722
-968
14900
-2294
2000
投资额
5516
5623
7471
5501
7471
5501
4210
到期利润
1454
2199
7518
9321
6580
2131
10060
2001
投资额
6255
6925
6598
6043
6598
6043
7988
到期利润
3258
2646
8671
-6551
11460
-4521
-8039
2002
投资额
4315
4379
7120
6131
7120
6131
5393
到期利润
2661
1984
2029
20300
4379
1035
4456
2003
投资额
3871
5529
5807
5576
5807
5576
3029
到期利润
1800
2443
7424
8639
12680
5112
2154
2004
投资额
6471
7760
到期利润
3047
3682
2005
投资额
到期利润
表4. 各投资项目的投资上限
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
上限（万元）
60000
60000
35000
30000
30000
40000
30000
30000
注：
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ch8683897@
我们的答案：
（附：
不愿意参加假期培训（7.9—7.23）和全国大学生数学建模竞赛）
二、
到期利润率
同时投资项目3、4
独立投资项目3、4
3
4
3
4
1986
0.238
0.467
0.311
0.158
1987
0.432
0.449
0.436
0.194
1988
0.491
0.429
0.381
0.164
1989
0.324
0.412
0.132
0.239
1990
0.294
0.47
0.537
0.204
1991
0.456
0.486
0.427
0.214
1992
0.675
0.438
0.242
0.180
1993
0.472
0.482
0.458
0.321
1994
0.326
0.459
0.373
0.239
1995
0.54
0.393
0.203
0.174
1996
0.639
0.323
0.549
0.336
1997
0.31
0.448
0.233
0.294
1998
0.732
0.394
0.251
0.332
1999
0.562
0.436
0.256
0.308
2000
0.264
0.391
0.519
0.260
2001
0.521
0.382
0.516
0.321
2002
0.617
0.453
0.268
0.341
2003
0.465
0.442
0.264
0.370
2004
0.471
0.474
0.318
0.416
0.465
0.433
0.351
0.267
同理，根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率，如下表。
项目
同时投资项目3、4
独立投资项目3、4
3
4
3
4
到期利润率（%）
0.465
0.433
0.351
0.267
项目
同时投资项目5、6、8
独立投资项目5、6、8
5
6
8
5
6
8
到期利润率（%）
0.780
0.760
1.364
0.950
0.653
1.532
项目
3
4
5
6
8
风险损失率（%）
1.534
1.776
0.821
1.164
0.89
四、考虑到投资分散，总的风险减少。
因此，对于这8个项目，应该进行分散投资，同时考虑到风险损失率和项目同时投资盈利多的因素，因此，投资不应只在第3、4和第5、6、8项目上，也应该考虑第2和第7项目。
五、
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