3．解决应用问题的基本步骤：
（1）实际应用题→明确题意，找出题设与结论的数学关系——数量关系和空间位置关系；
（2）在分析联想的基础上，转化为数学问题，抽象构建成一个或几个数学模型来解；
（3）阅读、分析、联想、转化、抽象；
（4）建立数学模型；
（5）运用数学知识作为工具；
（6）解答数学问题；
（7）解决实际问题（作答）．
函数零点的判断
1．函数零点存在性定理：
若函数y＝f（x）的零点在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点．
2．求曲线和x轴的交点的横坐标，就是求函数的零点，即求方程的根．
已知函数f（x）＝3x－x2，问方程f（x）＝0在区间[－1,0]内有没有实数根？
为什么？
解析：
∵f（－1）＝3－1－（－1）2＝－＜0，
f（0）＝30－0＝1＞0，函数f（x）＝3x－x2的图象是连续曲线，所以f（x）在区间[－1,0]内有实数根．
►跟踪训练
1．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）
A．（0,1） B．（1,2）
C．（2,3）D．（3,4）
解析：
令g（x）＝x3－22－x，则有g（0）＜0，g
（1）＜0，g
（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0.故函数g（x）的零点所在区间为（1,2）．选B.
答案：
B
2．已知f＝2＋log3x，判断函数g＝f2＋f有无零点，并说明理由．
解析：
∵log3x在区间[1,9]上为增函数，且g（x）＝f2（x）＋f（x2）．
∴1≤x2≤9.
∴1≤x≤3.故g（x）的定义域为[1,3]．
g（x）＝f2（x）＋f（x2）
＝4＋4log3x＋（log3x）2＋2＋log3x2
＝6＋6log3x＋（log3x）2.
在区间[1,3]上，g（x）也为增函数．
所以g（x）＞g
（1）＝6，所以g（x）无零点．
二分法的应用
1．对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f（a）·f（b）<0的函数
y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：
（1）确定初始区间[a，b]，验证f（a）·f（b）<0，给定精确度ε.
（2）求区间（a，b）的中点x1（将称为区间[a，b]的中点）．
（3）计算f（x1）：
①若f（x1）＝0，则x1是函数的零点；
②若f（a）·f（x1）<0，则令b＝x1[此时零点x0∈（a，x1）]；
③若f（x1）·f（b）<0，则令a＝x1[此时零点x0∈（x1，b）]．
（4）判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复
（2）～（4）步骤．
用二分法求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点（精确度0.1）.
解析：
由于f
（1）＝1－1－1＝－1<0，f（1.5）＝3.375－1.5－1＝0.875>0，
∴f（x）在区间[1,1.5]上存在零点，
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算列表如下：
端（中）点
坐标
中点函数值
符号
零点所
在区间
|an－bn|
0.5
1.25
f（1.25）＜0
0.25
1.375
f（1.375）＞0
0.125
1.3125
f（1.3125）＜0
0.0625
∵|1.375－1.3125|＝0.0625<0.1，
∴函数的零点落在区间长度小于0.1的区间[1.3125，1.375]内，故函数零点的近似值为1.3.
►跟踪训练
3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列区间的（ ）
A．（0.6,1.0）B．（1.4,1.8）
C．（1.8,2.2）D．（2.6,3.0）
解析：
由f（0.6）＝1.516－0.36＞0，f（1.0）＝2.0－1.0＞0，故排除A；
由f（1.4）＝2.639－1.96＞0，f（1.8）＝3.482－3.24＞0，故排除B；
由f（1.8）＝3.482－3.24＞0，f（2.2）＝4.595－4.84＜0，故可确定方程2x＝x2的一个根位于下列区间（1.8,2.2），选C.
答案：
C
利用散点图、函数拟合建立函数模型
在没有给出具体模型的问题中，要根据题目中的有关数据描绘出基本草图，然后根据直观性，去和已学过的有关函数图象对照、比较，由此猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．
某县2005—2010年财政收入情况如下：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
收入/万元
25899
30504
37997
48898
66800
85000
（1）请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况；
（2）计算该县财政收入的平均增长率，并结合
（1）分别预测2011年该县财政收入，并讨论哪一种预测结果更具有可行性．
解析：
（1）利用描点法，过A（1,2.59），B（2，3.05），C（3,3.80），D（4,4.89），E（5,6.68），F（6，8.50）画一条光滑的曲线，如下图所示，其中年份第一年为2005年，第二年为2006年，其他依次类推．
通过直观判断函数图象，它可以和前面已学过的两种函数模型进行比较：
模型一：
设f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1），
将A、B、C三点的坐标代入，得
⇒
∴f（x）＝1.35x＋1.25.
计算得f（4）≈4.57，f（5）≈5.73，f（6）≈7.30，它们与实际的误差分别为0.32,0.95,1.20.
模型二：
设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0，x≥1），
将A、B、C三点的坐标代入，得
⇒
∴g（x）＝0.145x2＋0.025x＋2.42.
计算得g（4）≈4.84，g（5）≈6.17，g（6）≈7.79，
它们与实际的误差分别为0.05,0.51,0.71.
对两个函数模型进行对比，发现g（x）与实际的误差较小，
所以用函数模型g（x）＝0.145x2＋0.025x＋2.42（x≥1）较好．
（2）设年财政收入平均增长率为a，由2005年和2010年财政收入，则有
2．59（1＋a）5＝8.5，解得a≈26.83%.
从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型：
h（x）＝2.59（1＋26.83%）x－1.
用g（x）和h（x）分别预测2011年的财政收入是：
g（7）＝9.7（亿元），h（7）＝10.78（亿元）．
从该县经济发展趋势看，两种预测都有可能，但是选择g（x）模型比较稳妥．
升级会员 