七年级数学下册45利用三角形全等测距离习题新版北师大版Word文档格式.docx

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（2）理由：

12．小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°

，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°

，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？

13．如图所示，在铁路线CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．

14．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：

（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

15．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线．一轮船离开码头，计划沿∠ADB的角平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：

轮船航行是否偏离指定航线？

请说明理由．

参考答案

1．答案：

B

解析：

【解答】∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠ABC=∠EDC=90°

，

在△EDC和△ABC中，

∴△EDC≌△ABC（ASA）．

故选B．

【分析】结合图形根据三角形全等的判定方法解答．

2．答案：

D

【解答】在△ADC和△ABC中，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

故选：

D．

【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．

3．答案：

C

【解答】∵先从B处出发与AB成90°

角方向，

∴∠ABC=90°

在△ABC和△EDC中，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB=DE，

∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17

∴AB=17．

C．

【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．

4．答案：

【解答】连接AC，

在△ADC和△ABC中

∴C到l1与C到l2的距离相等，都为4km．

B．

【分析】利用已知得出△ADC≌△ABC（SSS），进而利用角平分线的性质得出答案．

5．答案：

【解答】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，

【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长，据此可以得到答案．

6．答案：

A

【解答】∵O是AA′、BB′的中点，

∴AO=A′O，BO=B′O，

在△OAB和△OA′B′中，

∴△OAB≌△OA′B′（SAS），

A．

【分析】由O是AA′、BB′的中点，可得AO=A′O，BO=B′O，再有∠AOA′=∠BOB′，可以根据全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA′B′．

7．答案：

20米

【解答】∵点C是AD的中点，也是BE的中点，

∴AC=DC，BC=EC，

∵在△ACB和△DCE中，

∴△ACB≌△DCE（SAS），

∴DE=AB=20米

【分析】根据题目中的条件可证明△ACB≌△DCE，再根据全等三角形的性质可得AB=DE，进而得到答案．

8．答案：

12

【解答】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，

在Rt△AEC中，CE2=AE2+AC2=x2+242，

在Rt△BED中，DE2=BE2+BD2=（36﹣x）2+122，

∵CE=ED，

∴x2+242=（36﹣x）2+122，解得x=12，

所以E站应建在距A站12千米的地方，能使蔬菜基地C、D到E的距离相等．

【分析】设AE=x千米，则BE=（36﹣x）千米，分别在Rt△AEC和Rt△BED中，利用勾股定理表示出CE和ED，然后通过CE=ED建立方程，解方程即可．

9．答案：

SSS．

【解答】证明：

∵在△DEH和△DFH中，

∴△DEH≌△DFH（SSS），

∴∠DEH=∠DFH

【分析】根据题目中的条件DE=DF，EH=FH，再加上公共边DH=DH，可利用SSS证明△DEH≌△DFH，再根据全等三角形的性质可得∠DEH=∠DFH．

10．答案：

全等三角形对应边相等.

【解答】∵O是AB、CD的中点，

∴OA=OB，OC=OD，

在△AOD和△BOC中，，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴CB=AD，

∵AD=30cm，

∴CB=30cm．

所以，依据是全等三角形对应边相等．

【分析】根据中点定义求出OA=OB，OC=OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．

11．答案：

见解答过程．

【解答】

先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

∴△EDC≌△ABC（SAS），

∴ED=AB（全等三角形对应边相等），

即DE的距离即为AB的长．

【分析】

（1）先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至E，BC至D，使EC=AC，DC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；

（2）利用SAS证明△EDC≌△ABC，根据全等三角形的对应边相等得到ED=AB．

12．答案：

楼高AB是26米．

【解答】∵∠CPD=36°

，∠APB=54°

，∠CDP=∠ABP=90°

∴∠DCP=∠APB=54°

在△CPD和△PAB中

∵，

∴△CPD≌△PAB（ASA），

∴DP=AB，

∵DB=36，PB=10，

∴AB=36﹣10=26（m），

答：

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．

13．答案：

E点在距离C点10km处．

【解答】设CE=xkm，则DE=（25﹣x）km，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，

∴△ACE和△BDE都是直角三角形，

在Rt△ACE中，AE2=152+x2，

在Rt△BDE中，BE2=102+（25﹣x）2，

∵AE=BE，

∴152+x2=102+（25﹣x）2，

解得：

x=10，

∴E点在距离C点10km处

【分析】产品收购站E，使得A、B两村到E站的距离相等，在Rt△DBE和Rt△CAE中，设出CE的长，可将AE和BE的长表示出来，列出等式进行求解．

14．答案：

（1）解：

河的宽度是5m；

（2）证明：

由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB=ED，

即他们的做法是正确的．

（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；

（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．

15．答案：

此时轮船没有偏离航线.

【解答】此时轮船没有偏离航线．

理由：

由题意知：

DA=DB，AC=BC，

在△ADC和△BDC中，

∴△ADC≌△BDC（SSS），

∴∠ADC=∠BDC，

即DC为∠ADB的角平分线，

∴此时轮船没有偏离航线．

【分析】只要证明轮船与D点的连线平分∠ADB就说明轮船没有偏离航线，也就是证明∠ADC=∠BDC，证角相等，常常通过把角放到两个三角形中，利用题目条件证明这两个三角形全等，从而得出对应角相等．

2019-2020年七年级数学下册4.5利用三角形全等测距离教案新版北师大版

教学目标

一、知识与技能

1．能利用三角形的全等解决“测量不可到达的两点间的距离”的实际问题；

2．能在解决实际问题的过程中进行有条理的思考和说理表达；

二、过程与方法

1．经历探索设计构造全等三角形测距离的过程中，培养学生思维的逻辑性和发散性；

2．掌握利用三角形全等“测距离”的延长全等法、垂直全等法；

三、情感态度和价值观

1．通过故事，激发学生的积极性，感受数学与生活的密切联系；

在小组合作交流；

2．解决问题的过程中，培养学生的合作精神；

教学重点

能利用三角形的全等解决实际问题；

教学难点

如何灵活多样地构造全等三角形；

教学方法

引导发现法、启发猜想

课前准备

教师准备

课件、多媒体；

学生准备

练习本；

课时安排

1课时

教学过程

一、导入

请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，比比看谁快！

二、新课

一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：

在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离．在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：

为成功炸毁碉堡立了一功.

这位聪明的八路军战士的方法如下：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；

然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；

接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离．

（1）战士所讲述的方法中，已知条件是什么？

由战士所讲述的方法可知：

战士的身高AH不变,战士与地面是垂直的（AH⊥BC）;

视角∠HAC=∠HAB，战士要测的是敌碉堡（B）与我军阵地（H）的距离,战士的结论是只要按要求

（如图）测得HC的长度即可.（即BH=HC）

让学生说明“战士的测量方法”，并演示了“利用战士的方法”在教室中找到了与自己距离相等的两个点（他用书本当作简易的帽檐演示了一番），并说明：

这一过程中，人的身高没变、人与地面垂直没变、俯视角没变。

满足“角边角”条件，所以战士是利用三角形全等，根据“全等三角形的对应边相等”解决问题.战士很聪明，我要向他学习，碰到问题要多动脑，总会找到解决的办法.

教师总结：

用数学知识解决实际问题一定要从实际出发，将其构造为确实可行的全等三角形，而不能脱离实际，穿墙测量.

想一想

如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：

先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；

连接

BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离.

小明是这样想的：

在△ABC和△DEC中，

因为AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，

所以△ABC≌△DEC，

所以AB=DE.

针对池塘问题：

各组竞争展示了以下五种设计方案，其他组对其方案过程，说理进行评价，补充.

三、习题

1．如图，小明家有一个玻璃容器，他想测量一下它的内径是多少？

但是他无法将刻度尺伸进去直接测量，于是他把两根长度相等的小木条AB，CD的中点连在一起，木条可以绕中点O自由转动，这样只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径，你知道其中的道理吗？

请说明理由．

解：

如图所示：

连接AC，BD，

在△ODB和△OCA中，AO=BO，∠AOC=∠BOD，CO=DO

∴△ODB≌△OCA（SAS），

∴BD=AC．

故只要测量A，C的距离，就可以知道玻璃容器的内径．

四、拓展

课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图，

求证：

△ADC≌△CEB．

证明：

由题意得：

AC=BC，∠ACB=90°

，

AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90°

∴∠ACD+∠BCE=90°

，∠ACD+∠DAC=90°

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

∵∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

五、小结

通过本节课的内容，你有哪些收获？

1.知识

利用三角形全等测距离的目的：

变不可测距离为可测距离.

依据：

全等三角形的性质.

关键：

构造全等三角形.

2.方法

（1）延长法构造全等三角形；

（2）垂直法构造全等三角形.