平行四边形必做好题附答案详解Word文档格式.docx
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12.如图1,在^OAB中，ZOAB=90\ZAOB=30\OB二&
以OB为边，在^
OAB外作等边△OBC,D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E.
（i）求证：
四边形ABCE是平行四边形;
（2）如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,
求0G的长•
13.已知：
如图，-ABCD中，ZABC的平分线交AD于E,ZCDA的平分线交BC
于F.
连接EF、BD,求证SEF与BD互相平分・
14.
如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分ZBAC,BN丄AN于点N,延长
BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
15.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AE丄AD交BD于点E,CF丄BC交BD于点
F,且AE=CF.求证.四边形ABCD是平行四边形.
16-如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，
（1）求证；
AE=CF：
（2）求证：
四边形EBFD是平行四边形•
17-如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点6E、F分别是AB、CD
的中点，且AC=BD-
求证：
OM=ON・
18.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与AoB重合），分别过
A,
B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F.
四边形;
角形•
19.在四边形ABCD中，AD〃BC,且AD>
BC,BC=6cm,P、Q分别从A、C同时
长线分别交于点E、F.
出发，P以Icm/s的速度山A向D运动，Q以2cm/s的速度山C出发向B运动,儿秒后四边形ABQP是平行四边形?
点0是AC打BD的交点，过点0的直线与BA、DC的延
（1）求证：
△AOE丝△COF；
（2）证明：
四边形AECF是平行四边形.
21-如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△
ABE,
ZBAC=30\EF丄AB,垂足为F,连接DF.
试说明A8EF；
且AB=6rBC=10,MN=1.5,求△ABC的周长.
23.如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△
ABE.已知ZBAC=30\EF丄AB,垂足为已连接DF.求证：
四边形ADFE是平行四边形•
24.如图，在△ABC中，ZABC=90\ZBAC=60°
AACD是等边三角形，E是AC
的中点，连接BE并延长，交DC于点F,求证:
（1）AABE^ACFE；
（2）四边形ABFD是平行四边形.D
B
25•如图，已知D>
AABC的边AB上一点,CE〃AB,DE交AC于点6且OA=OC.求
证：
四边形ADCE是平行四边形.
E
26.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AD=12cm,BC=15cm,点P自点A向D
以Icm/s的速度运动，到D点即停止•点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止，点P,Q同时出发，设运动时间为t（S）.
（1）用含t的代数式表示:
AP=；
DP=；
BQ=；
CQ=
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形?
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形?
如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中
是平行四边形•
29.如图，ABCD是矩形纸片，翻折ZB、ZD,使BC,AD恰好落在AC上，其中
F,H分别是B,D的落点.求证：
四边形AECG是平行四边形.
30-如图所示，在四边形ABCD中，AD〃BC,AD=24cm,BC=30cm，点P从A向
点D以Icm/s的速度运动，到点D即停止•点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD截得两个四边形，分别为四边形
ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发，儿秒后所截得两个四边形中,
其中一个四边形为平行四边形?
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參考答案与试題解折
一-选择题（共8小题）
1-（2013*淄博）如图，△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,
CA=CD,lli
【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE,
△ABC的周长为26,及BC=10,可得DE=6,利用中位线定理可求出PQ.
【解答】解:
VBQ平分ZABC,BQ丄AE,•••△BAE是等腰三角形,
同理△CAD是等腰三角形,二点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合「•PQ是△ADE的中位线,
VBE+CD=AB*AC=26-BC=26-10=16,
ADE=BE-HCD-BC=6,
故选：
C・
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE.△
CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线・
2.（2016*丹东）如图，在-ABCD中，BF平分ZABC,交AD于点已CE平分Z
BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2r则BC长为（
A.8B.10C-12D・14
【分析】山平行四边形的性质和角平分线得lliZABF=ZAFB,得出AF=AB=6,同
理可证DE=DC=6,再山EF的长，即可求出BC的长.
【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形,
•••AD〃BC,DC=AB=6rAD=BC,
AZAFB=ZFBC,■/BF平分ZABC,
AZABF=ZFBC,
则ZABF=ZAFBr/.AF=AB=6,
同理可证：
DE=DC=6r
■/EF=AF+DE-AD=2,
即6+6-AD=2,
解得：
AD=10；
故选：
B.
【点评】本题主要考査了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；
熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键•
3.（2016*薛城区模拟）如图，在四边形ABCD中，E,F分别为DC、AB的中点,
A.2EF二AD+BCB.2EF>
AD+BCC・2EFVAD+BCD.不确定
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得Eg4aD,FG=iBC,再根拯三角形的任意两边之和大于第三边解答.
TE,F分别为DC、AB的中点，G是AC的中点，
/.EgJ^D,FG=iBC,
在△EFG中，EFVEG+FG,二EFV土（AD+BC）,
2
二2EFVAD+BC.
故选c.
【点评】本题考査了三角形的中位线平行于笫三边并且等于第三边的一半，三角形的三边关系，熟记定理与三边关系是解题的关键•
4・
（2013・无锡）如图，平行四边形ABCD中，AB：
2,ZDAB=60\E在
AB
上，且AE：
EB=1：
2,F是BC的中点，过D分别作DP丄AF于P,DQ丄CE于
A.3：
4B.\/13：
2-75C-a/Ts：
2^6D.zVs：
a/Ts
【分析】连接DE、DF,过F作FN丄ABN,过C作CM一AB于根据三角
形的面积和平行四边形的面积得出Sadec=Sadfa=^S平你妆形ABCD，求出AFXDPCE乙
XDQ,设AB=3“BC=2a,贝ijBF=a,BE=2arBN=ia,BM=a,CM=V3a,
求IllAF=VT3a,CE=2V3a,代入求出即可.
连接DE、DF,过F作FN1AB于N,过C作CM丄AB于
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：
SaDEC=S/.DFA=-^S平你血形ABCD'
乙
即丄AFXDP去:
EXDQ,
/.AFXDP=CEXDQr
T四边形ABCD是平行四边形,
二AD〃BC,7ZDAB=60\
AZCBN=ZDAB=60\/.ZBFN=ZMCB=30\
TAB：
2r
二设AB=3a,BC=2a,
VAE：
2,F是BC的中点,
••BF=a,BE=2a*
BM=a,
山勾股定理得：
FN&
^a,CM=V3a,
AF彳（九+知）2+（誓■&
）
CE=4（3&
）2=2{5a，
P=2V^・DQ
■••DP：
DQ=2V3：
伍.
【点评】本题考査了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求dlAFXDP=CEXDQ和求出AF、CE的值•
5.（2016*湘西州）下列说法错误的是（
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.—组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理进行分析即可•
A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确;
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确;
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确;
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：
等腰
梯形，故本选项说法错误;
D・
【点评】此题主要考査了平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是
平行四边形•
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形・
两组对角分别相等的四边形是平行四边形•
对角线互相平分的四边形是平行四边形•
6-（2015*麒麟区一模）已知S如图，在QABCD中，点E在AD上，连接BE,DF
【分析】由平行四边形的性质得到邻角互补，再根据角平分线的性质得到两锐角互余，得到直角，于是可得结论•
【解答】证明：
在"
BCD中,
TAD〃BC,
AZDAB+ZABC=180\
VAFrBE分别平分ZBAD,ZABC,
AZBAF=ZDAFrZABE=ZCBEr
・•・zfab+zabe=£
（zdab+Zmc）=90°
AZEMF=ZAMB=90°
同理ZMEN=ZMFN=90\
二四边形MFNE是矩形•故选B.
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解题的关键•
1.（2011»
安徽）如图，D是△ABC内一点，BD丄CD,AD=6rBD=4,CD=3,E、
F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周K是（
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG=±
BC=E.
求出EF、HG、EH.FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长.
2=5,
VBD丄DC,BD=4,CD=3,山勾股定理得：
BU低瓦云
TE、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,
AHG=iBC=EF,EH二FG丄AD,
7AD=6r
AEF=HG=2.5,EH=GF=3,
化四边形EFGH的周长是EF+FG-hhG+EH=2X（2.5+3）=11-
故选D-
【点评】本题主要考査对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握,能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH.FG的长是解此题的关键•
8-（2016*龙岩模拟）如图所示，M是-ABCD的边AD±
任意一点，若△CMB的
面积为S,△CDM的面积为S1,△ABM的面积为S2，则下列S,Si，S2的大小关
系中正确的是（
A.S>
Si+S2
B.S二S1+S2
C.SVS1+S2
D.S*jS1+S2的大小关系无法确定
【分析】根据平行四边形的性质得到AD=BC,而△CMB的面积为S=^BCe高，△
CDM的面积为Si4|VID•高,△ABM的面积为Sz^AM•臥这样得到Si+Sz-^MD*
222
喝am•高令⑹D+A⑷•高令BC倂S,山此则可以推出S,snS2的大小关
系-
•••四边形ABCD是平行四边形,
AAD=BCr
VACMB的面积为S二丄BG高，△CDM的面积为51=^171D*高，△ABM的面积为
$2=—
而它们的高都是等于平行四边形的高，
ASi+S2=iMD*fSi+iAM•高丄（MD+AM）
则S,SnS2的大小关系是S=Si+S2.
故选B・
【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式・
二填空题（共3小题）
9.（2015＜梅州）如图，在"
BCD中，BE平分ZABC,BC=6,DE=2r则-ABCD的
周长等于20•
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE//BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出ZABE二ZAEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果•
•••四边形ABCD为平行四边形,
•AE〃BC,AD=BC,AB=CD,
•ZAEB=ZEBC,
'
BE平分ZABCr
•ZABE=ZEBC,
•ZABE=ZAEB,
.AB=AE,
.AE+DE=AD=BC=6,
•AE+2=6,
.AE=4,
.AB=CD=4,
.-ABCD的周长=4+4+6+6=20,故答案为：
20.
【点评】本题考査了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出ZABE二ZAEB.
10.（2013＞碑林区校级一模）如图，已知AB=10,P是线段AB±
的动点，分别
以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB,连接CD,设CD的中点为G,当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是」_•
【分析】分别延长AC、BD交于点H,易证四边形CPDH为平行四边形，得出G
为PH中点，则G的运行轨迹△HAB的中位线MN,运用中位线的性质求出MN的长度即可•
如图，分别延长AC、BD交于点H,
VZA=ZDPB=60°
/.AH〃PD,
VZB=ZCPA=60"
ABH〃PC,二四边形CPDH为平行四边形9
ACD'
jHP互相平分・
TG为CD的中点,
「•G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN.
AMN=AAB=5r即G的移动路径长为5.
故答案为：
5.
H
【点评】本题考査了三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，找到点G移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强.
11.（2016春•靖江市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，BE丄AD于E,BF
丄CD于F,BE=2,BF=3,平行四边形ABCD的周长为20,则平行四边形ABCD的
面积为12•
【分析】根据平行四边形的周长求出AD+CD,再利用面积列式求出AD、CD的关系，然后求出AD的长，再利用平行四边形的面积公式列武讣算即可得解.
V-ABCD的周氏为20,
A2（AD+CD）=20,•••AD+CD=10①,
VSm8CO=AD*BE=CD*BF,/.2AD=3CD@,
联立①.②解得AD=6,
-ABCD的面积=AD*BE=6X2=12.
12.
【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据面积的两种表示求出2AM3CD是解题的关键，也是本题的难点•
三.解答题（共19小题）
12.（2013*兰州）如图：
b在^OAB中，ZOAB=90\ZAOB=30\OB=&
以OB
为边，在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点，连接AD并延氏交OC于E.
求OG的长•
【分析】
（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA,再根据等边对等角可得ZDAO=ZDOA=30\进而算diZAEO=60\再证明BC〃AE,
CO〃AB,进而证出四边形ABCE是平行四边形:
（2）设OG二X,山折叠可得：
AG=GC=8-X,再利用三角函数可讣算出AO,再利
用勾股定理计算出OG的长即可.
【解答】
（1）证明:
VRtAOAB中，D为0B的中点,二AD=i0B,OD=BD=ioB
/.DO=DA,
二ZDAO=乙DOA=30"
ZEOA=90"
AZAEO=60%
乂VAOBC为等边三角形,
AZBCO=ZAEO=60"
/.BC〃AE,7ZBAO=ZCOA=90\/.CO#AB,
•••四边形ABCE是平行四边形;
（2）解：
设OG=x,[ll折叠可得：
AG=GC=8-Xr
在RtAABO中,
VZOAB=90"
ZAOB=30\B0=8,
AAO-BO*cos30"
-8X
在RtZiOAG中，OG2+OA2二AG2,
x2+（4\/3）2=（8-X）2,
X=lr
/.OG=1.
【点评】此题主要考査了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，关键是掌握平行四边形的判定定理•
13.C2015*滨州模拟）已知：
如图，-ABCD中，ZABC的平分线交AD于E,Z
CDA的平分线交BC于F.
△ABE空△CDF；
（2）连接EF、BD,求证SEF与BD互相平分・
（1）首先山平行四边形的性质可得AB//CD,AB=CD；
ZA=ZC,ZABC=
ZCDA,再山条件ZABC的平分线交AD于E,ZCDA的平分线交BC于F可得ZABE帯ABC,ZCD气RA,进而得到ZABE必DF,再利用ASA定理可判定
AABE^ACDF；
（2）首先根据^ABE空△CDF可得AE=CFr再根据平行四边形的性质可得AD=CB,
AD//BC.进而得到DE=BF且DE〃BF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行
四边可证出四边形BFDE是平行四边形，再根据平行四边形对角线互相平分可证出结论•
（1）证明：
T四边形ABCD是平行四边形,「•AB二CD,ZA=ZCrZABC=ZCDA,
TBE平分ZABCrDF平分ZCDA,二ZABE丄ZABC,ZCDF二丄ZCDA.
AZABE=ZCDFr
2A=ZC
在△ABE和△CDF中AB=CD
ZABE二ZCDF
、
AAABE^ACDF（ASA）.
连接EF、DB,
△ABE丝△CDF,
.AE=CF,
•四边形ABCD是平行四边形,
.AD=CBrAD〃BC,
•DE二BF且DE〃BF・
•四边形BFDE是平行四边形,
.EFBD互相平分.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质,关键是熟练掌握平行四边形的性质：
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分•
14.（2013・永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分ZBAC,BN丄AN
15.
于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3
（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD,[1]
（1）可得AD=AB=10,从
而计算周长即可・
在ADN中,
■厶二Z2
-AN二AN,
ZANB=ZAM）
/.AABN^AADN（ASA）,/.BN=DN.
VAABN^AADN,/.AD=AB=1O,
乂T点M是BC中点,
AMN是△BDC的中位线,
ACD=2MN=6,
故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41.
【点评】本题考査了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形・
16.
（2016*新媼）如图，四边形ABCD中，AD〃BC,AE丄AD交BD于点E,CF
【分析】山垂直得到ZEAD=ZFCB=90\根据AAS可证明RtAAED^RtACFB,得到AD=BC,根据平行四边形的判定判断即可.
TAE丄AD,CF丄BC,/.ZEAD=ZFCB=90\
/.ZADE=ZCBFr
在RtAAED和RtACFB中，
"
ZADE二ZCBFZEAD=ZFCB=9O*,AE=CF
I
/.RtAAED^RtACFB（AAS）,/.AD=BCr
VAD/7BCr
•••四边形ABCD是平行四边形.
【
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