二次函数几何定义题文档格式.docx
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（2018•湘潭中考）
如图，点P为抛物线y—x2上一动点.
4
（1）若抛物线y—x2是由抛物线y—（x2）21通过图像平移得到的，请写出平移的过程；
44
（2）若直线I经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0,1），过点P作PMI
于M.
1问题探究：
如图一，在对称轴上是否存在一定点F,使得PMPF恒成立？
若存在，
求出点F的坐标：
若不存在，请说明理由.
2问题解决：
如图二，若点Q的坐标为（1,5）,求QPPF的最小值.
（1）向右平移2个单位，向上平移1个单位；
（2）①直线I即为抛物线的准线，所求F点为焦点.
考虑特殊位置，当P点在顶点时，可得F点坐标为（0,1）或（0,-1）（舍掉），以下证明P在抛物线任意位置，均满足PF=PM:
12
设P点坐标为m,-m
则
PF.
m02
1
2.
m1
J
12-m1
2m21,
V
又
PM
-m21
-m1
m1,
•••PF=PM,
•••当F点坐标为（0,1）时，PM=PF恒成立.
②由①可得PQ+PF=PQ+PM,
过点Q作QM丄x轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为P点,
此时PQ+PM=QM=6,故QP+PF的最小值为6.
（2019自贡删减）
如图，已知直线AB与抛物线C:
yax22xc相交于点A（1,0）和点B（2,3）两点.
（1）求抛物线C函数表达式；
（2）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于
17
到直线y—的距离？
若存在，求出定点F的坐标；
（1）函数解析式：
y
x2*
2x3
（2）问题已经很明显了,
—是抛物线准线，我们要求的F是焦点.
易求抛物线对称轴为直线
x=1，不妨取特殊位置得到结果，再证明.
当点p在抛物线顶点时,
P点坐标为（1,4）,此时点P到直线y
171
-的距离为-,
故此时点P到点F的距离也为！
，满足条件的F点坐标有1,15
4'
考虑到吧在直线y147上,故需舍去,
F点可能的坐标只有1,15,
的距离.
接下来证明，P在抛物线任意位置，均满足PF等于P到直线y
设P点坐标为m,n
，过P点作PQ丄直线y17，垂足记为Q点,
则PQ=n17，又
PF
15
•••点P在抛物线上,
2m
4nn—
n—
即PF=PQ,
所以当F点坐标为
1罟时，点P在抛物线任意位置，均满足
PF等于P到直线
y一的距离.
（2018•宜宾删减）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2,0），且经过点（4,1），如图，直线
y-x与抛物线交于A、B两点，直线I为y1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）知Fxo,yo为平面内一定点，M（m,n）为抛物线上一动点，且点M到直线I的距离与
点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.
（1）抛物线：
y丄x22;
（2）不难猜测直线I是抛物线的准线，所求F点为抛物线焦点.
当M点在顶点位置时，M点到直线I的距离为1,故此时F点应为（2,1）.
下证明M在抛物线任意位置，均有点M到直线I的距离与点M到点F的距离相等.
证明同上题，设点坐标表示出这两个距离，即可得相等.
自行证明.
（2018张家界）
如图，已知二次函数yax21（a0,a为实数）的图像过点A2,2），一次函数
ykxb（k0,k、b为实数）的图像I经过点B（0,2）.
（1）求a值并写出二次函数表达式；
（2）求b值；
（3）设直线I与二次函数图像交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明:
MBMC；
（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由.
C
则MB=
化简得MB
-m
12m
12—
12彳
-m10
又MC
一m21，
•••MB=MC.
（4）相切
过点N作ND丄x轴交x轴于点D，由（3）可得NB=ND,取MN中点P,过点P作PQ丄x轴于点Q,
111
则PQ-DNCM-BNBM-MN,
222
若以MN为直径作圆，则P点为圆心，又PQ-MN,
•••以MN为直径的圆与x轴相切.
112
C1）a一，二次函数表达式：
y—X1；
（2）b=2;
（3）由问题可推测B点即抛物线焦点，x轴是抛物线准线.
设M点坐标为m,—m1，
1:
m12
（2015•永州）
已知抛物线yax2bxc的顶点为（1,0），与y轴的交点坐标为0,--R（1,1）是
抛物线对称轴I上的一点.
（1）求抛物线yax2bxc的解析式；
（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：
点P到R的距离与点P到直线y1的距离恒相等；
（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q,E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y1的垂线.垂足分别为M、F、N（如图二）.求证：
PFQF.
x=1
*y
图1
（1）解析式:
（2）这个证明跟前面一样一样的，表示出两个距离，就能得到相等了.
设P点坐标为
m,lm12
则PR
Jm1
-m11,
1,
•••PR=PM.
（3）这个问题呢，我们换个说法:
如图，在直角梯形
ABCD中，AD//BC，/A=90。
，且CD=AD+BC,E点为AB边
中点，连接EC、ED，求证：
EC丄ED.
考虑到E点为AB边中点，倍长中线.延长DE与CB的延长线交于点F,
易证△AEDBEF,•AD=BF,
•CF=CB+BF=CB+AD=CD,易证△CED心CEF（SSS）,
•••/CED=90°
•CE丄DE.
对于本题，就同理可证PF丄QF了吧.
l于R，CS
于S，连接FR、
（2015•资阳删减）
已知直线ykxb（k0）过点F（0,1），与抛物线ylx2相交于B、C两点.
（1）如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;
（2）如图2,设B（m，n）（m<
0），过点E（0，-1）的直线I//x轴，BR
（1）由题意得点C坐标为1,1，故直线BC解析式为
（2）△RFS是直角三角形.
不妨把问题单独拿出来看：
E是CD边一点且满足DA=DE,
如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC,/A=90
CB=CE，连接
AE、BE，求证：
AE丄BE.
180,
•/DA=DE
•/CB=CE
AEB
DEA
90
2，
CEB
90-
180
•••AE丄BE.
类似可证明本题中的△
RFS是直角三角形.
21
已知抛物线yax1-经过点A（0,1）,AB//x轴交抛物线于B,M为线段AB的中
点，点P为抛物线上任意一点，点P的纵坐标为n.
（1）直接写出a；
线段PM的长为.（用n的代数式表示）
（2）P不为抛物线的顶点.
如图1,作PN丄x轴于N,C为x轴上一点，当△MPNABC时，求n的值;
如图2,延长PM交抛物线于Q,请证明：
—
QM
x
（1）a—,线段PM的长=n;
虽然题目并没有说M点是什么，但根据图中所画，大胆猜测：
以下检验PM=PN是否恒成立：
—21
设P点坐标为m,—m1-，又M点坐标为（1，1），
22
•2
…PM,m1
又PN=1m1
•••对于抛物线上的任意点
P均满足
所以PM的长=PN=n.
PM=PN，猜想成立.
f2
一m1
一
V2
（2）对于△PMN来说，PM=PN，即△PMN是等腰三角形，
若厶MPNABC，则△ABC必须是等腰三角形，且AB=BC.
考虑到AB=2，且点C在x轴上，不难求得
C点坐标为23,0或23,0,
F右图不是很准，意思是这个意思.
当C点坐标为23,0时，/ABC=150°
•••/MPN=15C°
•••直线PM与x轴夹角为60°
即kPM矗，
可得直线PM解析式为y•3x-31,
与抛物线联立方程：
丄x1213x11,
解得：
X131,x233,
将x,31代入直线解析式可得P点纵坐标为423,
故n的值为423.
当C点坐标为2.3,0，/ABC=30°
，则/MPN=30
•••/PMN=/PNM=75
•••/PMA=60
可得直线PM解析式为
与抛物线联立方程:
解得P点纵坐标为
2.3+4，n的值为23+4.
（3）分别过P、M、Q作x轴的垂线，垂足分别记为
qE2
G,
易证△EDMECF,
MD
FC
ED
EC
易证△CDMCEG,
GE
CD
CE
综上，n的值为4
C、D、
PC
连接EM并延长与CP延长线交于点F,连接CM并延长与EQ延长线交于点
易证△MPFMQE，可设PF=PM=PC=a,•CF=2a,
易证△MQGMPC，可设QG=QM=QE=b,•EG=2b,
CD彳
2a
2b
11
亦1
2,
即-
ab
【补充】一般地,
PCQEMD
【总结】结论1:
对于抛物线yax2，焦点坐标为0,丄，准线为直线y—.
4a4a
看前面的例子，不难发现，焦点一般会用字母F表示•而且二次项系数很多时候是1，只是
4为了焦点坐标便于计算.
至于形如yax2bxc的抛物线可化为顶点式yaxhk，然后通过由yax2平移
来确定焦点和准线.
结论2：
如下图,
证明：
设NPF
PFNQFM
90,
FM丄FN.
结论3:
取PQ中点E,作EH丄x轴交x轴于H点，贝UPH丄QH.
倍长中线证两次全等.
结论4:
记MN与y轴交于点G,则
14，即
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