二次函数几何定义题文档格式.docx

1、（2018 湘潭中考）如图，点P为抛物线y x2上一动点.4（1 ）若抛物线y x2是由抛物线y （x 2）2 1通过图像平移得到的， 请写出平移的过程；4 4（2）若直线I经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0, 1），过点P作PM I于M .1问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点 F ,使得PM PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由.2问题解决：如图二，若点 Q的坐标为（1, 5）,求QP PF的最小值.（1 ）向右平移2个单位，向上平移1个单位；（2）直线I即为抛物线的准线，所求 F点为焦点.考虑特殊位置，当 P点在顶点时，可得 F点坐标为（0, 1）

2、或（0,-1）（舍掉）， 以下证明P在抛物线任意位置，均满足 PF=PM:1 2设P点坐标为 m,-m则PF .m 0212 .m 1J12 -m 12m2 1 ,V又PM-m2 1-m 1m 1 , PF=PM,当F点坐标为（0, 1）时，PM=PF恒成立.由可得PQ+PF=PQ+PM ,过点Q作QM丄x轴，与x轴交点即为M点，与抛物线交点为 P点,此时 PQ+PM=QM=6 , 故QP+PF的最小值为6.（2019 自贡删减）如图，已知直线 AB与抛物线C:y ax2 2x c相交于点A（ 1,0）和点B（2,3）两点.（1 ）求抛物线C函数表达式；（2）在抛物线C的对称轴上是否存在定点

3、F ,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于17到直线y 的距离？若存在，求出定点 F的坐标；（1）函数解析式：yx2 *2x 3（2）问题已经很明显了,是抛物线准线，我们要求的 F是焦点.易求抛物线对称轴为直线x=1，不妨取特殊位置得到结果，再证明.当点p在抛物线顶点时,P点坐标为（1, 4）,此时点P到直线y17 1-的距离为-,故此时点P到点F的距离也为！，满足条件的F点坐标有1,154 考虑到吧在直线y 147 上,故需舍去,F点可能的坐标只有 1,15 ,的距离.接下来证明，P在抛物线任意位置，均满足 PF等于P到直线y设P点坐标为 m, n，过P点作PQ丄直线y 17，垂足记为Q点

4、,则 PQ= n 17，又PF15点P在抛物线上,2m4 n n n 即 PF=PQ,所以当F点坐标为1罟时，点P在抛物线任意位置，均满足PF等于P到直线y 一的距离.（2018 宜宾删减）在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线的顶点坐标为 （2,0），且经过点（4,1），如图，直线y -x与抛物线交于 A、B两点，直线I为y 1.（1）求抛物线的解析式；（2） 知F xo,yo为平面内一定点， M （m,n）为抛物线上一动点，且点 M到直线I的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点 F的坐标.（1 ）抛物线：y丄x 2 2;（2）不难猜测直线I是抛物线的准线，所求 F点为抛物线焦点.当M点在

5、顶点位置时，M点到直线I的距离为1,故此时F点应为（2, 1）.下证明M在抛物线任意位置，均有点 M到直线I的距离与点M到点F的距离相等.证明同上题，设点坐标表示出这两个距离，即可得相等.自行证明.（2018张家界）如图，已知二次函数 y ax2 1（a 0 , a为实数）的图像过点 A 2,2），一次函数y kx b（k 0 , k、b为实数）的图像I经过点B（0,2）.（1 ）求a值并写出二次函数表达式；（2 ）求b值；（3） 设直线I与二次函数图像交于 M ， N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明:MB MC ；（4） 在（3）的条件下，请判断以线段 MN为直径的圆与x轴的位置关系，

6、并说明理由.C则MB=化简得MB-m1 2 m12 1 2彳-m 1 0又MC一 m2 1， MB=MC .（4）相切过点N作ND丄x轴交x轴于点D，由（3）可得NB=ND , 取MN中点P,过点P作PQ丄x轴于点Q,111则 PQ - DN CM - BN BM - MN ,2 2 2若以MN为直径作圆，则 P点为圆心，又PQ -MN ,以MN为直径的圆与x轴相切.1 1 2C1） a 一，二次函数表达式： y X 1 ；（2）b=2;（3）由问题可推测 B点即抛物线焦点，x轴是抛物线准线.设M点坐标为 m, m 1 ，1 :m 1 2（2015 永州）已知抛物线y ax2 bx c的顶点为

7、（1, 0），与y轴的交点坐标为 0,- - R （1, 1）是抛物线对称轴I上的一点.（1 ）求抛物线y ax2 bx c的解析式；（2）若P是抛物线上的一个动点 （如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y 1的 距离恒相等；（3）设直线PR与抛物线的另一交点为 Q , E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直 线y 1的垂线.垂足分别为 M、F、N （如图二）.求证：PF QF .x= 1*y图1（1 ）解析式:（2）这个证明跟前面一样一样的，表示出两个距离，就能得到相等了.设P点坐标为m,l m 12则PRJ m 1-m 1 1 ,1 , PR=PM .（3）这个问题呢，我们换个说

8、法:如图，在直角梯形ABCD 中，AD / BC，/ A=90。，且 CD=AD+BC , E 点为 AB 边中点，连接 EC、ED，求证：EC丄ED.考虑到E点为AB边中点，倍长中线. 延长DE与CB的延长线交于点 F,易证 AED BEF , AD=BF , CF=CB+BF=CB+AD=CD , 易证 CED心 CEF （ SSS）,/ CED=90 , CE 丄 DE .对于本题，就同理可证 PF丄QF 了吧.l 于 R， CS于S，连接FR、（2015 资阳删减）已知直线y kx b（k 0）过点F（0,1），与抛物线y lx2相交于B、C两点.（1）如图1,当点C的横坐标为1时，求

9、直线BC的解析式;（2）如图 2,设 B（ m，n） （m0），过点 E（ 0，-1）的直线 I /x 轴，BR（1）由题意得点C坐标为1,1，故直线BC解析式为（2） RFS是直角三角形.不妨把问题单独拿出来看：E是CD边一点且满足DA=DE ,如图，在直角梯形 ABCD中，AD / BC , / A=90CB=CE，连接AE、BE，求证：AE 丄 BE .180 ,/ DA=DE/ CB=CEAEBDEA902 ，CEB90 -180 AE 丄 BE.类似可证明本题中的RFS是直角三角形.2 1已知抛物线y a x 1 -经过点A （0, 1） , AB / x轴交抛物线于 B, M为线段

10、AB的中点，点P为抛物线上任意一点，点 P的纵坐标为n.（1 ）直接写出a ；线段PM的长为 .（用n的代数式表示）（2） P不为抛物线的顶点.如图1,作PN丄x轴于N , C为x轴上一点，当 MPN ABC时，求n的值;如图2,延长PM交抛物线于Q,请证明：QMx（1） a ,线段PM的长=n;虽然题目并没有说 M点是什么，但根据图中所画，大胆猜测： 以下检验PM=PN是否恒成立： 2 1设P点坐标为 m, m 1 -，又M点坐标为（1，1），2 2 2PM , m 1又 PN= 1 m 1对于抛物线上的任意点P均满足所以PM的长=PN=n .PM=PN，猜想成立.f 2一 m 1一V 2（

11、2）对于 PMN来说，PM=PN，即 PMN是等腰三角形，若厶MPN ABC，则 ABC必须是等腰三角形，且 AB=BC .考虑到AB=2，且点C在x轴上，不难求得C点坐标为2 3,0或2 3,0 ,F右图不是很准，意思是这个意思.当 C 点坐标为 2 3,0 时，/ ABC=150 ,/ MPN=15C ,直线PM与x轴夹角为60,即kPM 矗，可得直线PM解析式为y 3x -3 1 ,与抛物线联立方程： 丄x 1 2 1 3 x 1 1 ,解得：X1 3 1 , x2 3 3,将x, 3 1代入直线解析式可得 P点纵坐标为4 2 3 ,故n的值为4 2 3.当 C 点坐标为 2 .3,0，

12、/ ABC=30，则/ MPN=30/ PMN= / PNM=75/ PMA=60可得直线PM解析式为与抛物线联立方程:解得P点纵坐标为2.3+4，n 的值为 2 3+4 .（3）分别过P、M、Q作x轴的垂线，垂足分别记为qE 2G,易证 EDM ECF ,MDFCEDEC易证 CDM CEG ,GECDCE综上，n的值为4C、D、PC连接EM并延长与CP延长线交于点F,连接CM并延长与EQ延长线交于点易证 MPFMQE，可设 PF=PM=PC=a , CF=2a,易证 MQG MPC，可设 QG=QM=QE=b , EG=2b,CD彳2a2b1 1亦 12 ,即 -a b【补充】一般地,PC QE MD【总结】 结论1 :对于抛物线y ax2，焦点坐标为 0,丄，准线为直线y .4a 4a看前面的例子，不难发现，焦点一般会用字母 F表示而且二次项系数很多时候是 1，只是4 为了焦点坐标便于计算.至于形如y ax2 bx c的抛物线可化为顶点式 y a x h k，然后通过由y ax2平移来确定焦点和准线.结论2：如下图,证明：设 NPFPFN QFM90 ,FM 丄 FN .结论3:取PQ中点E,作EH丄x轴交x轴于H点，贝U PH丄QH .倍长中线证两次全等.结论4:记MN与y轴交于点G,则1 4，即