北京大学计算机成教离散数学 逻辑学部分板书.docx
《北京大学计算机成教离散数学 逻辑学部分板书.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京大学计算机成教离散数学 逻辑学部分板书.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北京大学计算机成教离散数学逻辑学部分板书
第三部分逻辑学
第六章命题逻辑
第一节命题演算
6-1-1命题
1.什麽叫命题
其结果能判断真假，但不能既真又假的陈述句，称为命题。
作为判断使用的句子都是陈述句。
2.作为命题的陈述句，不能分成更简单的陈述句，这样的命题叫原子命题。
即简单命题。
3.什麽叫命题的真值
作为命题的陈述句的判断结果，即正确（对应着真命题）或错误（对应着假命题）的两个值。
4.为了研究方便，我们把简单命题符号化。
每一个简单命题用一个小写英文字母表示。
而命题真值也要符号化。
用1表示命题的结果是真，即真命题；用0表示命题的结果是假，即假命题。
联结词与复合命题及其真值
1.我们称用联结词联结在一起的简单命题为复合命题。
（1）否定联结词与命题否定式：
“﹁”是否定联结词。
通过他可以构成命题否定式。
例如：
用p表示“4是素数”。
p的真值显然是假，即真值为0；
¬p表示假命题p的否定式，¬p的真值自然为真，即为1。
（2）合取联结词与命题的合取式：
“∧”是合取联结词。
通过他可以构成命题的合取式。
例如：
p∧q，即p与q同时为真，复合命题的值才为真，即
0∧0=0；0∧1=0；1∧0=0；1∧1=1。
所以，在p，q取不同真值的4种情况下，命题的合取式只有一个真值。
（3）析取联结词与命题析取式：
“∨”是析取联结词。
通过他可以构成命题的析取式。
例如：
p∨q，只要p、q中至少一个真值为真，其值便为真，即
0∨0=0；0∨1=1；1∨0=1；1∨1=1。
所以，在4种情况下，只有一个情况是假命题，即简单命题同时为假时命题析取式真值为0。
（4）蕴涵联结词与命题蕴涵式：
“如果...则...”被称为蕴涵联结词，采用蕴涵符号“→”。
在这类句型中，q是p的必要条件；p是q的充分条件；
蕴涵式p→q只有一个假值，即p为真，q为假时蕴涵式命题的真值为0。
（5）等价联结词与等价式：
在科学研究时，为了表达一个充分必要条件，常用“当且仅当”这个词。
双蕴涵联结词将两个互为必要条件又互为充分条件的简单命题，联结成一个等价式命题，常用符号p←→q表示“p当且仅当q”。
所以，只要两者真值相同（或同真；或同假），等价式命题便为真。
例1:
世上无难事，只要肯登攀。
解:
肯攀登应为前件，符号化为p，自然有q：
世上无难事。
当然，复合命题的形式依然是p→q。
例2:
2+2=5当且仅当3是偶数。
解:
设p：
2+2=5，q：
3是偶数，则p为假，q为假，
命题符号化为p↔q，其真值为1。
6-1-2命题公式
1.命题的项--符号化后的原子命题以及没有指定代表具体意义的符号都叫项。
常用p、q、r…表示。
2.命题公式与真值函数
一个将命题常项或命题变项用联结词和圆括号按一定逻辑关系和算术规则有限次地联结起来的符号串，为命题公式，也称合式公式，简称公式。
为了研究的方便，以后将没有指定意义的符号称为命题变量，则合式公式自然被称为函数。
由于这些函数的取值与高等数学不同，只能取真值0或1，故称其为真值函数。
（小题?
）
3.层:
若A是单个命题变项或命题常项，则称A为零层公式。
对n≥0层公式的每一次联结词的联结操作之后，公式成为n+1层.
一般说来，命题公式不是命题，因为（?
）
4.定义：
将含有多个命题变项的公式A的每一个命题变项都指定确定的真值1或0，称为对该公式A的一个解释，即赋值。
赋值分如下两种情况：
若指定的一组值使公式A的值为1，则称这组值为A的成真赋值；
若指定的一组值使公式A的值为0，则称这组值为A的成假赋值；
若A在他的各种可能赋值下取值均为真，则称A为重言式或永真式；
若A在他的各种可能赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式；
若A至少存在一组赋值下取值为真，则称A为可满足式。
把A在他的各种可能赋值下的取值列成表，称为A的真值表.
6-1-3等值演算—熟记24个等值式
真值函数A，B等值的充分必要条件是:
命题等价式A↔B为重言式。
6-1-4联结词全功能集
派生联结词（了解）
异或联结词:
“排斥或”或称“异或”。
令p：
张三被录用，q：
李四被录用，命题符号化为（p∧¬q）∨（q∧¬p）。
与非联结词:
复合命题“p∧q的否定”，即p↑q<=>¬（p∧q）称为p与q的“与非式”，记做p↑q，↑叫与非联结词。
p↑q为真当且仅当p，q不同时为真。
或非联结词:
复合命题“p∨q的否定”，即p↓q<=>¬（p∨q）称为p与q的“或非式”，记做p↓q，↓叫”或非”联结词。
p↓q为真当且仅当p，q同时为假。
联结词全功能集
任意一个真值函数都能通过命题变项与联结词的联结构成的公式表达出来。
{﹁,∧},{﹁,∨},{﹁,∧,∨},{↑},{↓}。
第二节范式—命题公式的规范形式
析取范式与合取范式:
由有限个简单合取式构成的析取式，叫析取范式。
形式:
（简单合取式）∨（）∨（）∨
由有限个简单析取式构成的合取式，叫合取范式。
形式:
（简单析取式）∧（）∧（）∧
简单析取式与简单合取式:
将命题变项及其否定式统称为文字。
将文字仅用“∨”有限次联结成的命题公式叫简单析取式。
将文字仅用“∧”有限次联结成的命题公式叫简单合取式。
求解范式的下述步骤（留给学生）
例6-13用等值演算法求（（p→q）→r）→p的范式
解：
（1）求合取范式
（（p→q）→r）→p逐步消去蕴涵联结词得以下诸式
<=>（（﹁P∨q）→r）→p
<=>（﹁（﹁p∨q）∨r）→p
<=>﹁（﹁（﹁p∨q）∨r）∨p
<=>（（﹁p∨q）∧﹁r）∨p
<=>（（﹁p∨q）∨p）∧（﹁r∨p）利用交换律和排中律得
<=>（1∨q）∧（﹁r∨p）先后利用零律和同一律得
<=>（﹁r∨p）
演算结果得到一个简单析取式，满足合取范式的标准，即为所求。
（2）求析取范式
重复上述推导过程得
（（p→q）→r）→p
<=>﹁r∨p
为两个简单合取式（﹁r）和p，由析取联结词联结成为析取范式，即为所求。
（3）求公式（p→q）的析取范式及合取范式
（p→q）=﹁p∨q
主范式
主析取范式
定义设A是含有n个命题变项的简单合取式，标准化成一种特殊的简单合取式，使其满足以下要求：
（I）简单合取式;
（II）公式A中的n个命题变项中的每一个变项或其否定式，必须出现一次；
（III）但肯定形式与否定形式不许同时出现；
（IV）公式A中的文字按英文字母顺序出现；脚标按阿拉伯字母顺序使用；
则称满足以上四点的简单合取式叫极小项。
总之,析取范式中的每个简单合取式都是极小项，则称该析取范式为命题公式A的主析取范式。
其规范形式为：
（极小项）∨（极小项）∨（极小项）∨．．．．．．
主合取范式
一种特殊的简单析取式满足以下条件:
（I）简单合取式;
（II）公式中每个命题变项必须出现且只出现一次；
（III）每个命题变项或其否定式不同时出现；
（IV）诸变项在命题公式中的位序与英文字母的顺序同.
则称这种简单析取式称为极大项。
总之:
合取范式中，所有简单析取式都是极大项，则称该合取范式为命题公式A的主合取范式。
其规范形式为：
（极大项）∧（极大项）∧（极大项）∧．．．．．．
将关于p，q的四个文字的不同组合与二进制数对应，即：
当p，q分别取值00时，对应着极大项的成假赋值，却恰恰对应着极小项的成真赋值。
01，10，11依然。
将上述二进制数对应成的十进制数，分别为0，1，2，3。
若用Mi，mi分别表示极大项和极小项，则极大项Mo，…，M3的顺序与极小项mo，m1，m2，m3的顺序相同。
从等值式的角度发现如下关系：
Mi〈=〉﹁mi或mi〈=〉﹁Mi。
综合说来，我们得到的结论是：
命题公式A的真值表中的成真赋值构成了其主析取范式；他的真值表中的成假赋值对应着极大项构成了其主合取范式。
而极小项与极大项又有如下的对应关系：
例如，极小项m1是001，即（﹁p∧﹁q∧r）；极大项的M1也是001，但为（p∨q∨﹁r）。
为了结果的更具有一般性，又给出下表。
表6-3极小项与极大项的真值表对应关系
pqrp∧q∧ri（mi）p∨q∨r（Mi）
000﹁p﹁q﹁r0mopqrM0
001﹁p﹁qr1m1pq﹁rM1
010﹁pq﹁r2m2p﹁qrM2
011﹁pqr3m3p﹁q﹁rM3
100p﹁q﹁r4m4﹁pqrM4
101p﹁qr5m5﹁pq﹁rM5
110pq﹁r6m6﹁p﹁qrM6
111pqr7m7﹁p﹁q﹁rM7
结论：
极小项与极大项的脚标都是pqr二进制数的十进制值。
例6-17求p→q的主范式
（I）等值演算法：
p→q<=>﹁P∨q
求主析取范式：
p→q<=>﹁P∨q<=>配项：
配1（﹁P∧1）∨（q∧1）<=>将1拆成（非∨原形）<=>利用分配律，得到极小项<=>m0∨m1∨m3
求主合取范式：
p→q<=>﹁P∨q<=>M2
（II）真值表法:
求真值表；将成真赋值项的二进制表示成相应的十进制形式并按大小排列。
命题公式A的真值表中只有m2为成假赋值。
如果记住极小项与极大项之间的关系mi=¬Mi或¬mi=Mi，不难发现，真值表中的成真赋值即为主析取范式的极小项；成假赋值即为主合取范式中的极大项。
由真值表法得到的结果与等值演算法结果完全一致。
因此，真值表法可以验证等值演算法的结果，又可以展示出主析取范式与主合取范式的联系。
这样，只要求得其中一个，利用两者之间的关系，很容易求得另一个。
这样，等值演算法的功能都包含在真值表法中了。
第三节命题逻辑的推理理论
6-3-1推理正确与否的判别
称蕴涵式（A1∧A2∧…∧An）→B为推理的形式结构。
若从推理前提到结论是重言式，称为推理正确，其结论叫逻辑结论或有效结论，用“A=>B”表示该蕴涵式是重言式。
推理的判断的方法
由定义知道，判断一个蕴涵式公式的真值方法有很多种:
真值表法，等值演算法和主析取范式法,及构造证明法.
例6-19构造推理的证明
一个人既聪明又勤奋就能取得好成绩，如果他能得到学习机会的话。
他有了学习机会.他不勤奋.所以他没有取得好成绩。
将诸简单命题符号化：
p：
他聪明，q：
他勤奋，r：
他取得好成绩，s：
他有学习机会。
前提：
s→（（p∧q）→r），s，¬q；
结论：
¬r。
证明：
前提引入s→（（p∧q）→r）∧s
运用假言推理规则得（p∧q）→r
经等值演算得（¬r→¬p）→q
再用前提引入规则（（¬r→¬p）→q）∧¬q
运用拒取式规则得¬（¬r→¬p）
运用蕴涵等值式后再用德-摩根律得¬r∧p
运用化简规则得到所证结果¬r。
演绎定理：
将推理结论蕴涵式（A→B）的前提A变成推理的前提，称A为附加前提，即将推理结论中的前提成为了推理的前提。
称使用这种方法的证明法叫附加前提法。
间接证明法：
这种证明方法，利用将原结论的否定式作为前提得到矛盾式而间接得到原逻辑结论为有效结论，所以被称为间接证明法，也叫矛盾证法或归谬法。
例6-20将例6-19的结论的否定形式作为附加前提引入，即归谬法来证明推理的正确。
前提：
s→（（p∧q）→r），s，¬q；
结论：
¬r。
证明：
前提引入s→（（p∧q）→r）∧s
运用假言推理规则得（p∧q）→r
经等值演算得（¬r→¬p）→q
再用前提引入规则（（¬r→¬p）→q）∧¬q
运用拒取式规则得¬（¬r→¬p）
运用蕴涵等值式后再用德-摩根律得¬r∧p
将结论的否定式作为附加前提引入得¬r∧r∧p
运用归谬法最后得出矛盾式结果，说明推理正确。
第七章谓词逻辑
典型例题:
苏格拉底三段论。
p：
人都会死，q：
苏格拉底是人，r：
苏格拉底会死。
（p∧q）→r。
求他的主范式如下（复习主范式）：
﹁（p∧q）∨r〈=〉﹁p∨﹁q∨r〈=〉M6〈=〉Π（6）。
由以上主合取范式立即可以得到主析取范式为：
Σ（1，2，3，4，5，7）。
第一节谓词逻辑的基本概念
7-1-1个体词（做主语）
1.个体和个体词包括人在内的宇宙万物，都被称为个体；
个体的称谓叫个体词。
2.个体常项表示具体或特定的个体词。
个体变项表示泛指或抽象个体的个体词。
3.个体域称个体变项存在范围为个体域:
D或D’。
7-1-2谓词（做谓语）
1.谓词逻辑中，谓词用来表示构成命题的陈述句的谓语，常用大写字母F、G、H…表示。
2.谓词的元：
谓词中含个体变项的个数，称为谓词的元。
3.谓词的作用：
谓词将个体词与谓词联系起来，成为一个陈述句，可以表示出事物具有的性质，以及他们之间的关系。
一元谓词描述个体词的性质；
二元谓词描述个体词之间的关系。
0元谓词与命题逻辑中简单命题完全相似.
例这朵花是红的。
在命题逻辑中，可以如下符号化p：
这朵花是红的。
解：
a：
这朵花；F（x）：
x是红色的。
则该命题符号化为F（a）。
4.特性谓词从大范围个体域中分离出小范围个体域，能表征小范围个体域中个体特性的新谓词，叫特性谓词。
7-1-3量词（做定语）
1.全称量词对应于汉语中的“一切”，“所有”，“任何一个”，“每一个都”，“凡是”，等等。
用符号
表示。
2.存在量词:
表示“部分有”，“有的”等等，用符号彐表示。
***对谓词逻辑中命题符号化，以及符号化过程中，量词、域、谓词、联结词之间的搭配问题总结给出以下几点***
（1）关于个体域问题
（I）命题中没有指明个体范围，必须使用全总个体域D’，即宇宙万物。
（II）通常，命题中指明个体域D；不同域之下命题符号化形式也不同。
（III）对于命题，通常在不同的指定个体域中的命题形式相同，但真值会不同。
（2）特性谓词的引入问题
（I）命题中没有指明个体域，但命题描述的是特性个体，必须引入特性谓词；
（II）命题中指明了个体域，但命题描述的是该个体域的真子集，也必须引入特性谓词，以便从全总域中划出要研究的个体域来。
例如，实数R与整数Z.
（III）命题中指明了个体域，与命题的个体域恰恰相应，当然不必引入特性谓词。
（3）个体域、谓词、特性谓词、量词间的配合：
（I）量词与谓词配合：
谓词逻辑中，因为没有量词搭配的符号化谓词公式不成命题，所以，n元谓词要求冠以n个量词，成为闭式，解释后才会成为命题.
（II）量词、特性谓词与联结词间的配合：
因为特性谓词M（x）摘出的个体性质F（x）之间须采用蕴涵式，这时的量词必须是全称量词：
x（M（x）→F（x））；特性谓词与存在量词配合，不满足蕴涵式条件，只能用∧表达：
彐x（M（x）∧F（x））意为：
在宇宙万物中，存在x，既具有M特性，又具有F性质。
例1：
在实数域中，任何有理数都可以表示成分数。
必须符号化成：
x（Q（x）→F（x））意为任何实数x,若x为有理数，则可以表示成分数。
不会出现前件真后件假的情况，即此式为永真式。
若改成
x（Q（x）∧F（x））且x=21/2
显然此式为假命题。
*****使用不同联结词改变了命题的真值*****
（III）量词、联结词与两个特性谓词配合问题：
因为特性谓词M（x）和F（y）是两个不同的个体性质，但他们都具有全称量词，又都具有性质H（x，y）：
x比y跑得快，两个特性谓词用“∧”联结；然后，他们在H（x，y）之间须采用蕴涵式，这时的量词必须是全称量词，即：
x
y（（M（x）∧F（x））→H（x，y））。
（IV）量词与个体域的搭配在使用量词时必须指明个体的域D，否则，都指全总个体域D’。
若指定的个体域与命题中讨论的个体域不相同，则必须引用特性谓词，再与相应的量词配合与表达命题中个体的性质的性质谓词构成全命题的符号化：
全称量词配蕴涵联结词；存在量词配合取联结词。
（4）量词自身中应注意的问题：
（I）量词之间的配合：
多个不同量词出现，位置不能随意交换，否则会造成真值的变化。
相同量词的位置可以相互交换，即：
x
yA（x，y）﹤＝﹥
y
xA（x，y）。
彐x彐yA（x，y）﹤＝﹥彐y彐xA（x，y）。
（II）只有在个体域是有限时，量词才能被消去。
对于不同量词，消去量词后的联结词应是不同的：
全称量词对应合取联结词，存在量词对应析取联结词。
（5）等值问题：
对于同一个命题采用不同形式的符号化，应相互等值。
第二节谓词逻辑合式公式及解释
7-2-1合式公式
项的递归定义
（1）个体常项、个体变项都是项；简单命题、复合命题在命题逻辑中符号化后也是项；以及由他们生成的各种函数f，g，h，及复合函数
f（g（x））等，都叫项。
（2）用n个项t1，t2，…，tn代入到n元函数f中去，则f（t1，….tn）是项。
（3）有限次地使用上述规则得到的符号串是项。
合式公式
（1）原子公式叫合式公式；
（2）用联结词联结起来的原子公式，都叫合式公式；
（3）合式公式前面加上量词和个体变项后，也叫合式公式；
（4）有限次地使用上述三条规则形成的符号串是合式公式。
7-2-2辖域
定义：
在公式“ⅤxA（x，y）”中，A是量词“Ⅴ”的辖域。
x是指导变项。
x在A（x）中的所有出现，都称为约束出现，而y是自由出现。
没有自由出现的个体变项的公式A，称为闭式；否则称为开式。
许多情况下，一个公式中变项是自由出现，同时又是约束出现。
对于研究很不方便。
如:
公式A=ⅤxF（x）→G（x，y），x在A（x，y）中，自由出项一次，约束出现一次。
这会引起混乱。
我们可用两种方法改变这种情况：
（1）只更换约束出项的x，即成为ⅤzF（z）→G（x，y）；
（2）只代替自由出现的x，即成为ⅤxF（x）→G（z，y）。
这两种办法都能保障公式A的真值不变，但是却改变了一个个体变项在一个公式中同时身兼二名的情况。
下面介绍这两种办法：
换名规则：
将量词辖域中某个约束出现的个体变项以及相应的指导变项，改成未曾出现过的个体变项，而公式中的其他部分不变。
代替规则：
将某个自由出现的个体变项，改成未曾出现过的个体变项，且处处代替。
7-2-3解释
解释的构成与定义：
（1）非空个体域D，用以限定个体项的存在范围和量词的外延区间；
（2）D中一部分特定元素，即用以解释用的个体常项；
（3）D上一些特定函数，用来解释出现的函数变项；
（4）D上一些特定谓词，用来解释谓词变项的含义。
只有将上述四条赋给一个公式后，公式才有意义，才有可能成为命题。
定义:
将某公式中的所有个体变项以及由他们构成的函数、复合函数都用指定的项去代替，就构成了公式的一种解释。
例题
（1）彐xG（x）→ⅤxG（x）（闭式）
（2）F（x）→F（a）（开式）
解：
给定解释如下：
（a）个体域为自然数集合N；
（b）a=0；
（c）f（x）=x；
（d）F（x）：
x﹥0，
G（x）：
x≤0，
H（x，y）：
x=y。
在上述解释下，诸公式分别化为
（1）彐xG（x）→ⅴxG（x）
<=>彐x（x≤0）→Ⅴx（x≤0）
<=>1→0。
成为（假）命题.
（2）F（x）→F（a）
<=>（x＞0）→（0＞0）
该公式为开式，真值不定，所以不是命题。
但是，当给定x一个解释下可以成为命题。
例如：
x=2，（2>0）→（0>0）<=>1→0，成为（假）命题；
x=0，（0>0）→（0>0）<=>0→0，成为（真）命题。
通过对例题的分析，解释后的公式可能有以下几种情况：
（讲解用）
（1）对于闭式，给定解释后能使其真值确定，即成为命题。
（2）给定解释求开式的真值，多数情况下不能。
总之,由于公式的复杂性和解释的多样性，没有一个具体可行的算法判断某一个公式是逻辑有效式，还是矛盾式。
一般情况下，只要找出一个解释Io，使其在解释Io下为假，则可以判定该公式不是永真式；只要找出一个解释I1，使其在解释I1下为真，则可以判定该公式不是永假式；但是，要判断一个非重言式不是永真式，通常情况下很困难。
只有在特殊情况下才能确定某解释下的公式类别。
为此，给出下面的定义。
定义：
用谓词公式Fi（n=1，2，…，n）处处代替命题公式An的命题变项pi，所得公式A称为公式An的代换实例。
例如：
p，q，p→q等，都可以成为F（x），G（x），ⅤxF（x），彐xG（x），F（x）→G（x），ⅤxF（x）→彐xG（x）的代换实例。
例7-7谓词逻辑的命题公式性质判断*****
1.ⅤxF（x）→（Ⅴx彐yG（x，y）→ⅤxF（x））--逻辑有效式。
解：
p→（q→p）是上式的代换实例,是重言式
2.ⅤxF（x）→彐xF（x）。
及
彐xF（x）→ⅤxF（x）。
都不能采用代换实例，只能采用解释确定。
解：
此类命题公式的性质判断较为复杂，通常由解释而定。
例如，在解释Io下，个体域D中存在某个xo使得F（xo）为假，则ⅤxF（x）与xo相应的也为假，从而命题真值为真；若对于任意x使得F（x）为真，则命题的真值为真。
这就证明了命题为逻辑有效式。
而下式却是可满足式。
第三节谓词逻辑等值式与前束范式
7-3-1谓词逻辑等值式
定义:
设A，B为谓词逻辑任意两公式，若A↔B是永真式，则称A与B是等值的，记做A<=>B。
在很多的情况下，我们可以借助等值式去判别两个公式是否等值。
（1）在谓词逻辑中，对命题逻辑中的24个等值式，都可以代换成谓词逻辑等值式。
例如：
A<=>A∧A代换成
ⅤxA（x）<=>ⅤxA（x）∧ⅤxA（x）。
（2）量词否定等值式定理：
（a）﹃ⅤxA（x）<=>彐x﹃A（x）。
（b）﹃彐xA（x）<=>Ⅴx﹃A（x）。
（3）量词辖域收缩与扩张等值式定理（求范式时造B用）：
（4）量词分配等值式定理：
全称对合取分配；存在对析取分配。
7-3-2前束范式（机动）
定义：
谓词公式中的各指导变项前都有量词约束，但形如
A=Q1xQ2yQ3z…B，而B为不含量词的公式，即：
量词和他约束的指导变项全在前面，后面
升级会员 