版高考数学一轮复习第5章数列53等比数列及其前n项和学案理.docx

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版高考数学一轮复习第5章数列53等比数列及其前n项和学案理

5．3　等比数列及其前n项和

[知识梳理]

1．等比数列的有关概念

（1）等比数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q（q≠0）表示．数学语言表达式：

＝q（n≥2），q为常数，q≠0.

（2）等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：

G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.

2．等比数列的通项公式及前n项和公式

（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；可推广为an＝amqn－m.

（2）等比数列的前n项和公式：

当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

3．等比数列的相关性质

设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．

（1）若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.

特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.

（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm（k，m∈N*）．

（3）若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和（其中b，p，q是非零常数）也是等比数列．

（4）Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.

（5）当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，公比为qk.当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．

（6）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

（7）若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.

[诊断自测]

1．概念思辨

（1）如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．（　　）

（2）如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．（　　）

（3）在等比数列{an}中，如果m＋n＝2k（m，n，k∈N*），那么am·an＝a.（　　）

（4）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2．教材衍化

（1）（必修A5P53T1）若等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，则公比q＝（　　）

A．1B．2C．－2D．4

答案　B

解析　由题意，得解得

故选B.

（2）（必修A5P56例1）设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．

答案　127

解析　a5＝a1q4得q＝2，

所以S7＝＝127.

3．小题热身

（1）（2018·华师一附中联考）在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝（　　）

A．1B．±1

C．2D．±2

答案　A

解析　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1.故选A.

（2）（2018·安徽芜湖联考）在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为（　　）

A．1B．－

C．1或－D．－1或

答案　C

解析　根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C.

题型1　等比数列基本量的运算

　　（2017·广东惠州第二次调研）已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝（　　）

A．7B．5

C．－5D．－7

方程组法．

答案　D

解析　由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，

∴q3＝－或q3＝－2.

当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6

＝＋4×2＝－7；

当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6

＝＋（－2）·（－2）2＝－7.故选D.

　　（2017·金凤区四模）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝50，则S20等于（　　）

A．90B．250

C．210D．850

把看成一个整体．

答案　D

解析　由题意数列的公比q≠1，设首项为a1，

∵S5＝10，S10＝50，

∴＝10，＝50，

∴两式相除可得1＋q5＝5，∴q5＝4，

∴＝－，

∴S20＝＝－·（1－256）＝850.故选D.

方法技巧

等比数列的基本运算方法及数学思想

1．等比数列的基本运算方法

（1）对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程（组）求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．

（2）对称设元法：

一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…（注意：

此时公比q2>0，并不适合所有情况）这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．

2．基本量计算过程中涉及的数学思想方法

（1）方程思想，即“知三求二”．

（2）分类讨论思想，即分q＝1和q≠1两种情况，此处是常考易错点，一定要引起重视．

（3）整体思想．应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．见典例2.

冲关针对训练

（2017·江苏高考）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.

答案　32

解析　设{an}的首项为a1，公比为q，当q＝1时，S3＝3a1，S6＝6a1＝2S3，不符合题意，所以q≠1，则

解得所以a8＝×27＝25＝32.

题型2　等比数列的判断与证明

　　已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.

（1）设bn＝an－1，求证：

数列{bn}是等比数列；

（2）设c1＝a1且cn＝an－an－1（n≥2），求{cn}的通项公式．

本题用定义法．

解　

（1）证明：

由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝.

又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得

an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.

∴2（an＋1－1）＝an－1，即2bn＋1＝bn.

∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－为首项，为公比的等比数列．

（2）由

（1）知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1（n≥2）．

∴2an＋1－2an＝an－an－1.∴2cn＋1＝cn（n≥2）．

又c1＝a1＝，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝.

∴c2＝－＝，c2＝c1.

∴数列{cn}是首项为，公比为的等比数列．

∴cn＝·n－1＝n.

[条件探究]　将典例条件“an＋Sn＝n”变为“a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，若bn＝an＋1－2an”，

（1）求证{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（2）若cn＝，证明{cn}为等比数列．

解　

（1）an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.

＝＝

＝＝2，

∴数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.

∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，

∴－＝3.

∴数列是等差数列，公差为3，首项为2.

∴＝2＋（n－1）×3＝3n－1.

∴an＝（3n－1）·2n－2.

（2）证明：

由

（1）知an＝（3n－1）·2n－2，所以cn＝2n－2.

所以＝＝2.又c1＝＝，

所以数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列．

方法技巧

等比数列的判定方法

1．定义法：

若＝q（q为非零常数，n∈N*）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则{an}是等比数列．见典例．

2．等比中项公式法：

若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．

3．通项公式法：

若数列通项公式可写成an＝c·qn（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列．

4．前n项和公式法：

若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0,1），则{an}是等比数列．

提醒：

（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

冲关针对训练

（2016·全国卷Ⅲ）已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

解　

（1）由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1（λ－1）＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.

（2）由

（1）得Sn＝1－n.

由S5＝得1－5＝，

即5＝.

解得λ＝－1.

题型3　等比数列前n项和及性质的应用

角度1　等比数列性质的综合应用

　　（2015·安徽高考）已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．

方程组法．

答案　2n－1

解析　由已知得，a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，则或又数列{an}是递增的等比数列，∴a1＜a4，∴a1＝1，a4＝8，从而q3＝＝8，即q＝2，则前n项和Sn＝＝2n－1.

角度2　等比数列的前n项和

　　各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（　　）

A．80B．30

C．26D．16

q≠1，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．

答案　B

解析　由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．

设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．

由（x－2）2＝2×（14－x），

解得x＝6或x＝－4（舍去）．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵S3n＝14，

∴S4n＝14＋2×23＝30.故选B.

角度3　等差数列与等比数列的综合

　　（2015·湖南高考）设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.

利用方程思想方法．

答案　3n－1

解析　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），依题意得a2＝a1q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2.又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4（1＋q）＝3＋1＋q＋q2，解得q＝3（q＝0舍去）．所以an＝a1qn－1＝3n－1.

方法技巧

1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质：

（1）通项公式的推广：

an＝amqn－m；

（2）等比中项的推广与变形：

a＝am·an（m＋n＝2p）及ak·at＝am·an（k＋t＝m＋n）（m，n，p，k，t∈N*）．见角度1典例．

2．对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为－1的等比数列前n项和的性质：

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列比较简便．见角度2典例．

冲关针对训练

（2017·滨海新区期中）已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积