小初高学习版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96抛物线试题理北师大版.docx

小初高学习版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96抛物线试题理北师大版.docx

《小初高学习版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96抛物线试题理北师大版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小初高学习版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96抛物线试题理北师大版.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

小初高学习版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何96抛物线试题理北师大版

第九章平面解析几何9.6抛物线试题理北师大版

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px（p>0）

y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）

p的几何意义：

焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O（0,0）

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

【知识拓展】

1．抛物线y2＝2px（p>0）上一点P（x0，y0）到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．

2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.

3．设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，

若A（x1，y1），B（x2，y2），则

（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.

（2）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）．

（3）以弦AB为直径的圆与准线相切．

（4）通径：

过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（　×　）

（2）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是（，0），准线方程是x＝－.（　×　）

（3）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（　×　）

（4）AB为抛物线y2＝2px（p>0）的过焦点F（，0）的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.（　√　）

1．（2016·四川）抛物线y2＝4x的焦点坐标是（　　）

A．（0,2）B．（0,1）

C．（2,0）D．（1,0）

答案　D

解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，

∴对于y2＝4x，焦点坐标为（1,0）．

2．（2016·张掖一诊）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于（　　）

A．9B．8C．7D．6

答案　B

解析　抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），

准线方程为x＝－1.

根据题意，可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.

3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）

A.B．[－2,2]

C．[－1,1]D．[－4,4]

答案　C

解析　Q（－2,0），设直线l的方程为y＝k（x＋2），代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋（4k2－8）x＋4k2＝0，

由Δ＝（4k2－8）2－4k2·4k2＝64（1－k2）≥0，

解得－1≤k≤1.

4．（教材改编）已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P（－2，－4），则该抛物线的标准方程为________________．

答案　y2＝－8x或x2＝－y

解析　设抛物线方程为y2＝2px（p≠0）或x2＝2py（p≠0）．将P（－2，－4）代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.

5．（2017·合肥月考）已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．

答案　2

解析　抛物线y2＝2px（p>0）的准线为x＝－，

圆x2＋y2－6x－7＝0，即（x－3）2＋y2＝16，

则圆心为（3,0），半径为4.

又因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.

题型一　抛物线的定义及应用

例1　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B（3,2），则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案　4

解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，

交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

引申探究

1．若将本例中的B点坐标改为（3,4），试求|PB|＋|PF|的最小值．

解　由题意可知点（3,4）在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝

＝＝2，

即|PB|＋|PF|的最小值为2.

2．若将本例中的条件改为：

已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

解　由题意知，抛物线的焦点为F（1,0）．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为＝3，

所以d1＋d2的最小值为3－1.

思维升华　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

　（2016·西安市铁一中学模拟）已知点P是抛物线y2＝－8x上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是（　　）

A.B．2C．6D．3

答案　C

解析　∵抛物线方程是y2＝－8x，

∴抛物线的焦点为F（－2,0），准线方程是x＝2（如图），

∴d1＋d2的最小值是焦点F到直线x＋y－10＝0的距离，即（d1＋d2）min＝＝6.

题型二　抛物线的标准方程和几何性质

命题点1　求抛物线的标准方程

例2　已知双曲线C1：

－＝1（a>0，b>0）的离心率为2.若抛物线C2：

x2＝2py（p>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（　　）

A．x2＝yB．x2＝y

C．x2＝8yD．x2＝16y

答案　D

解析　∵－＝1的离心率为2，

∴＝2，即＝＝4，∴＝3，＝.

x2＝2py（p>0）的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.

命题点2　抛物线的几何性质

例3　已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝；

（2）＋为定值；

（3）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

证明　

（1）由已知得抛物线焦点坐标为（，0）．

由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，

得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.（*）

则y1，y2是方程（*）的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

（2）＋＝＋

＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝（定值）．

（3）设AB的中点为M（x0，y0），分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，

则|MN|＝（|AC|＋|BD|）＝（|AF|＋|BF|）＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

思维升华　

（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

（2）在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

（1）（2016·全国乙卷）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为（　　）

A．2B．4C．6D．8

（2）（2016·昆明三中、玉溪一中统考）抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（　　）

A.B．1C.D．2

答案　

（1）B　

（2）A

解析　

（1）不妨设抛物线C：

y2＝2px（p>0），则圆的方程可设为x2＋y2＝r2（r>0），如图，

又可设A（x0,2），

D，

点A（x0,2）在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①

点A（x0,2）在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②

点D在圆x2＋y2＝r2上，

∴5＋2＝r2，③

联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.

（2）设|AF|＝a，|BF|＝b，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P，

由抛物线的定义知，|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，

在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.

|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°

＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab.

又ab≤（）2，

所以（a＋b）2－ab≥（a＋b）2－（a＋b）2＝（a＋b）2，

得到|AB|≥（a＋b），

所以≤＝，

即的最大值为.

题型三　直线与抛物线的综合问题

命题点1　直线与抛物线的交点问题

例4　已知抛物线C：

y2＝8x与点M（－2,2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝________.

答案　2

解析　抛物线C的焦点为F（2,0），则直线方程为y＝k（x－2），与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0.设点A（x1，y1），B（x2，y2）．

则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，

所以y1＋y2＝k（x1＋x2）－4k＝，

y1y2＝k2[x1x2－2（x1＋x2）＋4]＝－16.

因为·＝（x1＋2，y1－2）·（x2＋2，y2－2）

＝（x1＋2）（x2＋2）＋（y1－2）（y2－2）

＝x1x2＋2（x1＋x2）＋y1y2－2（y1＋y2）＋8＝0，

将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.

命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题

例5　（2016·全国丙卷）已知抛物线C：

y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．

（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：

AR∥FQ；

（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

（1）证明　由题意知，F，设l1：

y＝a，l2：

y＝b，则ab≠0，

且A，B，P，Q，

R.

记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－（a＋b）y＋ab＝0.

由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.

记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.

所以AR∥FQ.

（2）解　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D（x1,0），

则S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.

由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0（舍去）．

设满足条件的AB的中点为E（x，y）．

当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得