连续时间信号傅里叶级数分析及MAtlAB实现Word格式.docx
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1.2
语言特点
2
傅里叶级数基本原理概要
........................................................................................................4
2.1周期信号的傅里叶分解
...............................................................................................4
2.2
三角形式和指数形式傅里叶级数及各系数间的关系
.................................................5
2.3
周期信号的频谱
.............................................................................................................5
3
用
实现周期信号的傅立叶级数分解与综合
..............................................................6
3.1
合成波形与原波形之间的关系
.....................................................................................6
3.2
吉布斯现象
.....................................................................................................................6
4
..............................................................8
4.1
单边，双边（幅度，相位）频谱及其关系
.................................................................8
4.1.1
单边，双边（幅度，相位）
...............................................................................8
4.1.2
单边，双边频谱关系
..........................................................................................9
4.2
以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系
................................................10
4.3
以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系
................................................11
5
实现典型周期信号的频谱
.....................................................................................12
5.1
周期方波脉冲频谱的
实现
.............................................................................12
5.2
周期三角波脉冲频谱的
........................................................................14
6
小结及心得体会
......................................................................................................................17
参考文献
......................................................................................................................................18
附录：
..........................................................................................................................................19
应用实践课程设计
要
目前已发展成为由
语言、MATLAB
工作环境、MATLAB
图形
处理系统、MATLAB
数学函数库和
应用程序接口五大部分组成的集数值计算、
图形处理、程序开发为一体的功能强大的系统。
本次课程设计则在研究连续时间信号傅
里叶级数分析理论知识的基础上，利用
强大的图形处理功能、符号运算功能以
及数值计算功能，从而实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。
关键词：
MATLAB；
图形功能仿真；
傅里叶级数；
周期信号；
频谱
Abstract
now
evolved
into
language,
working
environment,
graphics
processing
systems,
math
library
and
the
application
program
interface
has
five
major
components
of
set
numerical
computation,
graphics
processing,
development
as
one
powerful
system.
The
curriculum
design,
in-depth
study
Fourier
series
analysis
continuous-time
signal
on
basis
theoretical
knowledge,
using
a
capabilities,
symbolic
computing
numerical
including
following:
realization
periodic
signals
MATLAB
decomposition
integration
waveform;
to
achieve
unilateral
bilateral
spectrum
waveform
analysis;
to
typical
cycle
wave
spectrum.
Keywords:
MATLAB;
processing;
series;
signal;
Spectrum
绪论
本次课程是通过
软件来实现数字信号系统里的相关图像和相关仿真的软件。
近年来，MATLAB
以其强大的矩阵计算和图像视化功能逐渐为国人所知。
是
mathworks
公司的软件产品，MATLAB
已经成为一个系列产品：
主包各种工具
（toolbox）。
功能丰富的工具箱大致分为两类：
功能型工具箱和领域型工具箱。
功能型
工具箱主要用来扩充
的符号计算功能﹑图形建模仿真功能﹑文字处理功能以及与
硬件实时交互功能，能用于多种学科。
而领域型工具箱是专业性很强的，如控制工具
（controltoolbox）﹑信号处理工具箱（signalprocessingtoolbox）等。
（MATrix
LABoratory）具有用法简易、可灵活运用、程式结构强又兼具延展性。
以下为其几个特色：
功能强的数值运算
-
在
环境中，有超过
500
种数学、
统计、科学及工程方面的函数可使用，函数的标示自然，使得问题和解答像数学式子一
般简单明了，让使用者可全力发挥在解题方面，而非浪费在电脑操作上。
先进的资料视觉化功能
的物件导向图形架构让使用者可执行视觉数据分，
并制作高品质的图形，完成科学性或工程
性图文并茂的文章。
高阶但简单的程式环境
做为一种直译式的程式语言，MATLAB
容许使用者在短时间
内写完程式，所花的时间约为用
FORTRAN
或
C
的几分之一，而且不需要编译（compile）
及联结
（link）
即能执行，同时包含了更多及更容易使用的内建
功能。
开放及可延伸的架构
容许使用者接触它大多数的数学原使码，检视运算法，
更改现存函数，甚至加入自己的函数使
成为使用者所须要的环境。
丰富的程式工具箱
的程式工具箱融合了套装前软体的优点，与一个灵活的
开放但容易操作之环境，这些工具箱提供了使用者在特别应用领域所需之许多函数。
现
有工具箱有：
符号运算（利用
Maple
V
的计算核心执行
）、影像处理、统计分析、讯号
处理、神经网路、模拟分析、控制系统、即时控制、系统确认、强建控制、弧线分析、
最佳化、模糊逻辑、mu
分析及合成、化学计量分析。
简介
语言功能
MATLAB功能丰富，可扩展性强。
MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功
能。
基本部分包括：
矩阵的运算和各种变换；
代数和超越方程的求解；
数据处理和傅立
叶变换；
数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。
扩展部分称为工具
箱。
它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问
题，或实现某一类的新算法。
具有以下基本功能
（1）数值计算功能；
（2）符号计算功能；
（3）图形处理及可视化功能；
（3）可视化建模及动态仿真功能。
语言特点
给用户带来的是最直观，最简洁的程序开发环境。
它具有以下特点：
（1）语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
程序书写形式自由，
利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。
由于
库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。
（2）运算符丰富。
由于MATLAB
是用C
语言编写的，MATLAB
提供了和C语言几乎一
样多的运算符，灵活使用MATLAB
的运算符将使程序变得极为简短。
（3）MATLAB
既具有
结构化的控制语句（如for
循环，while
循环，break
语句和if
语句），又有面向对象
编程的特性。
（4）程序限制不严格，程序设计自由度大。
例如，在MATLAB
里，用户无需对矩阵
预定义就可使用。
（5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统
上运行。
（6）MATLAB
的图形功能强大。
在FORTRAN
和C
语言里，绘图都很不容易，但在
里，数据的可视化非常简单。
还具有较强的编辑图形界面的能力。
（7）功能强大的工具箱是MATLAB
的另一特色。
包含两个部分：
核心部分和各种可选的工具箱。
核心部分中有数百个核心内部函数。
其工具箱又
分为两类：
功能性工具箱和学科性工具箱。
功能性工具箱主要用来扩充其符号计
1
算功能，图示建模仿真功能，文字处理功能以及与硬件实时交互功能，而学科性工
具箱是专业性比较强的，如control,toolbox,signl
，proceessing
，toolbox,commumnication
toolbox
等。
2
傅里叶级数基本原理概要
2.1周期信号的傅里叶分解
设有连续时间周期信号，它的周期为
T，角频率，且满足狄里赫利
条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指
数信号之和。
傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。
1.
三角形式的傅里叶级数：
2.
式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得：
3.
指数形式的傅里叶级数：
式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得：
周期信号频谱具有三个特点：
（1）
离散性，即谱线是离散的；
（2）
谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上；
（3）
收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。
周期信号的傅里叶分解用
Matlab
进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。
在
中有多种进行数值积分运算的方法，我们采用
quadl
函数，它有两种其调用形式。
y＝quadl（‘func’,
a,
b）。
其中
func
是一个字符串，表示被积函数的.m
文件名
（函数名）；
a、b
分别表示定积分的下限和上限。
y＝quadl（@myfun,
其中“@”符号表示取函数的句柄，myfun
表示所定义函
数的文件名。
三角形式和指数形式傅里叶级数及各系数间的关系
傅里叶级数的指数形式和三角形式是等价的，其系数可互相转换。
表2-1综合了三角
3
形
式
指数形式
三角函数形式
展
开
傅
里
叶
系
数
间
的
关
形式和指数形式傅里叶级数及其系数，以及各系数间的关系。
周期信号的频谱
周期信号经过傅里叶分解可表示为一系列正弦或复指数信号之和。
为了直观地表示出
信号所含各分量的振幅，以频率（或角频率）为横坐标，以各谐波的振幅或虚指数函数
的幅度为纵坐标，可画出幅度－频率关系图，称为幅度频谱或幅度谱。
类似地，可画出
各谐波初相角与频率的关系图，称为相位频谱或相位谱。
4
实现周期信号的傅立叶级数分解与综合
下面以矩形信号为例介绍用
来实现周期信号的傅立叶技术的分解与综合。
合成波形与原波形之间的关系
本文使用的连续周期矩形信号是一个周期为
4，占空比为
50%，幅值为
的矩形波信
号，从上面的分析可以得知，这个矩形波信号可以分解成傅立叶级数也是就无数个不同
频率的三角波的叠加，用
软件可以很容易的画出不同个数谐波叠加形成的合成波
的形状（源代码见附录），以便将它们与原信号做比较，给理论分析以正确的实验基础。
下图为分别用
到
次谐波叠加形成的合成波与原信号的比较，可以很快地看出，
当叠加的谐波数越多是，与原信号的差别就越小，这样就直接证明了傅立叶级数理论的
正确性。
图
不同次数的谐波的合成波与原信号的比较
吉布斯现象
分析傅立叶级数的公式
满足狄里赫利条件的周期函数表示成的傅立叶级数都收敛。
狄里赫利条件如下：
在任何周期内，x（t）必须绝对可积；
5
在任一有限区间中，x（t）只能取有限个最大值或最小值；
在任何有限区间上，x（t）只能有有限个第一类间断点。
所谓的吉布斯现象就是：
x（t）的不可导点上，如果我们只取
x（t）等式右边的无穷级
数中的有限项作和
X（t），那么
X（t）在这些点上会有起伏。
具体现象如下图所示，以下分别为谐波次数为
N=50，N=100，N=500
合成波的情况。
谐波次数为
N=50
合成波图
3.3
N=100
合成波
3.4
N=500
从上面的图像中可以看出，当
的时候，合成波与原来的方波拟合得非常好，但
是在不可导的点上，即为
x=-1.5,x=-0.5,x=0.5,x=1.5
这样的点的时候，合成波会有较
大的波动，这就是非常明显的吉布斯现象。
6
用周期矩形波信号为例其中周期
T=5，脉冲宽度τ=1。
在下图中，τ
为一个脉冲的宽
度，T
为脉冲的周期，它们是方波信号的两个非常重要的参数，它们的大小关系将直接影
响方波信号的形状和性质。
以下皆以方波为例来介绍方波各种参数对其频谱的影响以及单边频谱和双边频谱的关
系，方波示意图如下：
周期矩形脉冲信号
单边，双边（幅度，相位）频谱及其关系
单边，双边（幅度，相位）
如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦（余弦）信号或虚指数信号之和，即
N
n=-N
n
jnΩt
=
a0
N
n=1
n=1
jϕn
或
bn
an
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
幅度和相位
为了直观地表示出信号所含各分量的振幅
An
|
Fn
，随频率的变化情况，通常以角频率
为横坐标，以各次谐波的振幅
或虚指数函数
的幅度为纵坐标，画出如图4.2和4.3
所示的各谐波的振幅
与角频率的关系图，称为周期信号的幅度（振幅）频谱，
简称幅度谱。
图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。
各谱线顶点连线的曲线
7
（如图中原点所示）称为频谱包络线，它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情况。
图4.2
中幅度谱为单边幅度谱（用
绘制的频谱）。
图4.3中幅度谱为双边幅度谱（用
绘制
的频谱）。
类似地，也可画出各谐波初相角ϕn
与角频率的关系图，如图4.1和4.2中各谐波初相角
ϕn
与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相位谱。
图4.2中相位谱为单边相位谱。
图
4.3中相位谱为双边相位谱。
如果
为实数，那么可用
的正负来表示ϕn
为0或
π
也可把
幅度谱和相位谱画在一张图上。
由图可见，周期信号的谱线只出现在频率为
0,
Ω,
2Ω,...
等原周期信号频率的整数倍的离
散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。
下面的分析中用的方波的参数为：
T=10τ。
周期信号的幅度谱和相位谱（单边）
周期
T=5，脉宽
tao=1
的矩形脉冲及单边频谱图
单边，双边频谱关系
单边频谱和双边频谱的区别就是求值的范围不同，单边频谱求的是频率大于
0
情况，而双边频谱求的是所有频率的情况，即包括频率小于
的情况，这个区别在上面
的两张图中可以非常明显地看出来。
8
以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系
首先令方波首期
T=10。
改变脉冲宽度，就是在图
4-1
中
T
值不变的情况下，改变的
τ
值
的大小，同时
必须小于
T。
软件里可以比较方便地改变这个值。
xsqual=@（x）
1/2.*（x==-1/2）+1.*（x>
-1/2&
x<
1/2）+1/2.*（x==-1/2）;
这个语句是控制
值的，现在的
参数是
1/2，所的到的是
T=10τ
的情况，下面是比较三种
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