操作型问题选Word文件下载.docx

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由题意得：

本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：

以正六边形的6个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案.

解：

（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）.

图9-2

说明：

本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案.

例3如图9-3，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形A′BCD（见示意图a）.

（以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.）

探究一：

（1）想一想——判断四边形A′BCD是平行四边形的依据是；

B

图9-3

（2）做一做——按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中画出示意图.

A′

探究二：

在直角三角形ABC中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形.

（1）试一试——你能拼得不同类型的特殊四边形有，它们的裁剪线分别是；

（2）画一画——请在图（c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.

（2003年浙江省丽水市中考试题）

（1）

本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：

平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.

图9-4

//

=

（1）CDA′B（或A′DBC等）.

（2）（只要画出图9-4

（1），

（2）之一的

示意图）.

平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形.三角形ABC的中位线（或一条三角形的中位线）（注：

若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成

：

1的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”，才算正确.）

A

（2）

（6）

图9-5

（4）

（2）只要画出图9-5中

（1）~（6）之一的示意图.

本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重新组合图形留下较大的创新空间.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.想一想：

探究一中，能否拼成菱形？

请说明理由.

例4阅读下面短文：

如图9-6

（1）所示，△ABC是直角三角形，∠C=900，现在△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：

矩形ACBD和矩形AEFB（如图9-6

（2）所示）.

图9-6

（2）

D

图9-6

（1）

E

C

解答问题：

（1）设图9-6

（2）所示矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1S2（填“＞”、“=”、“＜”）

（2）如图9-6（3）所示，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图9-6（3）把画出来.

9-6（3）

（3）如图9-6（4）所示，△ABC是锐角三角形三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图9-6（4）把它出来.

（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？

为什么？

（2002年陕西省中考试题）

（2）只能以AB为一边，作一个矩形；

（3）可以锐角△ABC的三边作三个矩形；

（4）由

（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S，用S与a、b、c三边分别表示三个矩形的周长L1、L2、L3，用作差法类比三个矩形的周长的大小.

（1）S1=S2；

（2）一个（如图9-6（5））；

（3）三个（如图9-6（6））；

Q

（4）以AB为边的矩形周长最小.设矩形BCED、ACHQ、ABGF的周长分别为L1、L2、L3，BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面积相等.令其面积为S，则有，L1=

+2a，L2=

+2b，L3=

+2c.∵L1－L2=

+2a－（

+2b）=2（a－b）·

.而ab＞S，a＞b，∴L1－L2＞0，即L1＞L2，同理L2＞L3.∴以AB为边的矩形周长最小.

本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：

一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）.三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.

例5已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交A、B两点，⊙O1经过O2，点C是AO2B上任一点（不与A、O2、B重合），连结BC并延长交⊙O2于D，连结AC、AD.

（1）图9-7

（1）供操作测量用，（测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7

（1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想，在补充完整图9-7

（1）中进行证明.

（3）如图9-7

（2），若C点是BO2的中点，AC与O1O2相交于点E.连接O1C、O2C，

求证CE2=O1O2·

EO2.

图9-7

（2002四川眉山市中考试题）

图9-7（3）

（1）画图测量，易得AC=CD=AD.

（2）欲证△ACD为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明△ACD每一个内角都等于600即可.（3）欲证CE2=O1O2·

EO2.只需证：

△O1O2C∽△CO2E.

（1）补充完整图形如图9-7（3），三条

线段AC、CD、AD相等.

（2）结论：

△ACD是正三角形.

证明：

连结AO1、AO2、BO2、O1O2.

∵⊙O1、⊙O2是等圆，且⊙O1过O2点，

∴AO2=O1O2=AO1.∴∠AO2O1=600,∴∠AO2B=1200.

∴∠D=

∠AO2B=

1200=600.∵∠ACB=∠AO2B=1200,

∴∠ACD=600.∴△ACD是正三角形.

（3）（如图9-7

（2））∵C是BO2的中点,∴∠CO1O2=300.∵∠ACO2=300.

∴∠CO1O2=∠ACO2∵∠O1O2C=∠CO2E∴△O1O2C∽△CO2E.∴

.

∵O1O2=O1C，∴∠O1O2C=∠O1CO2=∠CEO2∴CO2=CE.∴CE2=O1O2·

本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力.本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向逐层进行.

例6取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：

先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图9-8

（1）；

第二步：

再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，

得Rt△AB′E，如图9-8

（2）；

第三步：

沿EB′线折叠得折痕EF，如图9-8（3）.

利用展开图9-8（4）探究：

（1）△AEF是什么三角形？

证明你的结论.

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？

图9-8

（3）

F

N

B′

（2003年山西省中考试题）

（1）经过操作测量易判定△AEF是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明△AEF是正三角形；

（2）不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：

若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a与宽b的关系，再按b≤

a、

a＜b＜a的情形分类讨论.

3

1

2

P

（1）△AEF是正三角形.

证法一：

（如图右图）由平行线等分线段定理知：

PE=PA，

∴B′P是Rt△AB′E斜边上的中线，∴PA=PB′，∠1=∠3.又∵PN//AD，

∴∠2=∠3.而∠BAF=2∠1+∠2=900，∴∠1=∠2=300.∴在Rt△AB′E，∠1+∠AEF=900，

∴∠AEF=600，∠EAF=∠1+∠2=600，∴△AEF是正三角形.

证法二：

∵△ABE与△AB′E完全重合，∴△ABE≌△AB′E，∠BAE=∠1.

由平行线等分线段定理知∴EB′=B′F.又∠AB′E=900，∴△AB′E≌△AB′F，

AE=AF.∴∠1=∠2=

∠BAD=300.∴△AEF是正三角形.

（2）不一定.

由上推证可知当矩形的长恰好等于△AEF的边AF时，即矩形的宽：

长AB：

AF=sin600=

2时正好能折出.如果设矩形的长为a，宽为b,可知当b≤

a时，按此法一定能折出等边三角形；

当

a＜b＜a时，按此法无法折出完整的等边三角形.

折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等.折叠图形的常见类型：

对角线折叠问题；

角平分线折叠问题；

轴对称折叠问题；

两点重合折叠问题等.想一想本例属于哪种折叠问题？

例7OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6.

（1）如图9-9

（1），在OA上选取一点G，将△COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式.

（2）如图9-9

（2），在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′.①求折痕AD所在直线的解析式.

②再作E′F//AB，交AD于点F，若抛物线y=－

x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数.

图9-9

（2）

图9-9

（1）

（3）如图9-9（3），一般地，在OC、OA上选取适当的点D′、G′，使纸片沿D′G′翻折后，点O落在BC边上，记为E〞.请你猜想：

折痕D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？

用

（1）中的情形验证你的猜想.

图9-9（3）

（2003年江苏省苏州市中考试题）

（1）由折法易知：

G（6，0）、C（0，6）.

求得折痕CG的解析式为y=－x+6；

（2）①由勾股定理易求得DE′=

，则折痕AD的

解析式为：

y=－

x+

；

②由题意设F（2，yF），点F在AD上，∴F的坐标为（2，

），求出抛物线为y=－

x2+3.再联立方程组，判定直线AD与抛物线只有一个交点.

（1）由折法知，四边形OCEG是正方形，∴OG=OC=6，∴G（6，0）、C（0，6）.设直线CG的解析式为：

y=kx+b，则0=6k+b,6=0+b.∴k=－1,b=6

∴直线CG的解析式为：

y=－x+6.

（2）①在Rt△ABE′中，BE′=

=8，∴CE′=2.设OD=s，则DE′=s，

CD=6－s，∴在Rt△DCE′中，s2=（6－s）2+22,s=

.则D（0，

）.

设AD：

y=k′x+

.由于它过A（10，0），∴k′=－

.∴AD：

.

②∵E′F//AB,∴E′（2,6）,∴设F（2，yF），∵F在AD上，∴yF=－

2+

，

∴F（2，

）.又F在抛物线上，∴

=－

22+h.∴抛物线的解析式为：

x2+3.

将y=－

代入y=－

x2+3.得－

x2+

x－

=0.∵△=（

）2－4×

（－

）×

）=0.∴直线AD与抛物线只一个交点.

（3）例如可以猜想：

折痕所在直线与抛物线y=－

x2+3只有一个交点；

验证：

在图1中折痕为CG.将y=－x+6代入y=－

x2+3.得－

x2+x－3=0.

∵△=1－4（－3）×

）=0,∴折痕CG所在直线的确与抛物线y=－

x2+3只有一个交点.

本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的

（1）中的情形加以验证.若不用

（1）中的情形验证，请猜想：

D′G′所在直线与②中的抛物线会有什么位置关系？

【习题9】

1．只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法，按下列要求画图：

（1）在图9-10

（1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：

①量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；

②画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴.

（2）在图9-10

（2）中画出∠AOB的对称轴，并写出画图和方法.

图9-10

（2）

图9-10

（1）

O

（2003年江苏省南京市中考试题）

图9-11

2．如图9-11，107国道OA和国道OB在我市相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺规作货站P的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.

（2003年湖南省湘谭市中考试题）

图9-12

3.一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图9-12），现找出其中的一种，测得∠C=900，AB=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）.

（2002年湖北省黄冈市中考试题）

4.如图9-13，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草.下面左边的两个图案是设计示例，请你在右面的两个正方形中设计两个不同的图案.

示例：

请你设计：

图9-13（2003年江苏省苏州市中考试题）

5.已知，如图9-14，△ABC中，AB=AC，∠A=360.

仿照图（a），请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形.（图（b）、图（c）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；

要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）.（2003年江苏省镇江市中考试题）

（a）（b）（c）

图9-14

如图9-15，把一个边长为2cm的的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角

图9-15

三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不

重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照右图按实际大

小画在方格纸内（方格为1cm×

1cm）.

（1）不是正方形的菱形（一个）；

（2）不是正方形的矩形（一个）.

（3）梯形（一个）.（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）

（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）.

7.已知，AB为⊙O的直径，P为AB延长上的一个动点，过点P作⊙O的切线,设切点为C.

（1）当点P在AB延长线上，如图9-16

（1）时，连结AC，作∠APC的平分线，交AC于D，请你测量∠CDP的度数.

（2）当点P在AB延长线上，如图9-16

（2）和（3）所示时，连结AC，请你分别在这两个圆中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数.

猜想：

∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上位置的变化而变化？

请对你加以证明.

图9-16

·

（2002年北京市要城区中考试题）

8.操作：

如图9-17，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E.探究：

（1）观察操作结果，哪一个三角

形与△BPC相似？

并证明你的结论；

（2）当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与

△BPC的周长比是多少？

（2003年云南省昆明市中考试题）

【习题9】参考答案

1．

（1）略；

（2）画图略.画图方法：

①利用有刻度的直尺，在∠AOB的边OA、OB上分别截取OC、OD，使OC=OD.②连结CD，量出CD的长，将线段CD二等分，画出线段CD的中点E.③画直线OE.直线OE即为∠AOB的对称轴.

2．画图略.提示：

作∠AOB的平分线OP，再作CD的垂直平分线PQ与OP相交于点P.

∴点P就是货站的位置.

3．

r4=2

通过观察、分析，符合题目要求的方案可以设计出如图9-19所示的四种方案.

r1=2

4．（任选图9-19中两个图案，答案不惟一.）

图9-19

图9-20

1080

720

5．本题答案有多种，这里图9-20提供了3种参考答案.如果学生画出的两个图形是同一类型的对称图形视为正确，若学生画出

（1）的对称图形也视为正确.

360

1

6．

（1）

（2）

（3）

（两个图形任画一个）

（四个图形任画一个）

（5）

7.

（1）测量结果：

∠CDP=450.

（2）作图略，题图中测量结果均为∠CDP=450.猜想：

∠CDP=450为确定值，∠CDP的度数不随点P在AB的延长线上位置的变化而变化.

（3）证明如图9-16（3），连结CB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900，∴∠A+∠ABC=900又PC为⊙O的切线，∴∠A=∠PCB.又∵PD平分∠APC，∴∠BPD=∠CPD.又∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∴2∠A+2∠BPD=900.∠CDP=∠A+∠BPD=450.

8.解：

（1）如图9-21

（1），另一条直角边与AD交于点，则△PDE∽△BCP.

图9-21（4）

图9-21（3）

图9-21

（2）

3

在△PCE和△BCP中，∵∠1+∠3=900∠2+∠3=900∴∠1=∠2

又∠PDE=∠BCP=900∴△PCE∽△BCP.或如图9-21

（2），若一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△BPE∽△BCP.

（2）如图9-21（3），当点P位于CD的中点时，若另一条直角边与AD交于点E，则

又∵△PDE∽△BCP∴△PDE和△BCP的周长比是1：

2.或：

如图9-21（4），若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证△PCE与△BCP的周长是1：

2，或若另一条直角边与BC的延长线交于点E∵

，又△BPE∽△BCP，

∴△PCE与△BCP的周长比是

2.