步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学理精练七 不等式.docx

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步步高《单元滚动检测卷》高考数学苏教版数学理精练七不等式

高三单元滚动检测卷·数学

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分，共4页．

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．

3．本次考试时间120分钟，满分160分．

4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．

单元检测七不等式

第Ⅰ卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上）

1．（2015·扬州模拟）若a1

2．已知（a2－1）x2－（a－1）x－1<0的解集是R，则实数a的取值范围是______________．

3．（2015·江西百所重点中学诊断）已知m>0，n>0，且2m＋3n＝5，则＋的最小值是________．

4．（2015·合肥第二次质检）已知f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）＝xsinx，若a＝f（cos1），b＝f（cos2），c＝f（cos3），则a，b，c的大小关系为____________．

5．某公司一年购买某种货物400t，每次都购买xt，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值为________．

6．（2015·北京改编）若x，y满足则z＝x＋2y的最大值为________．

7．（2015·湖北七市联考）若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈（0，＋∞）恒成立，则实数x的取值范围是____________．

8．在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于4，则a的值为_______________．

9．（2015·郑州第一次质量预测）定义在（－1,1）上的函数f（x）满足：

f（x）－f（y）＝f，当x∈

（－1,0）时，有f（x）>0.若P＝f＋f，Q＝f，R＝f（0），则P，Q，R的大小关系为____________．

10．设a∈R，若x>0时均有[（a－1）x－1]（x2－ax－1）≥0，则a＝________.

11．若不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是

12．（2015·四川资阳第一次诊断）已知点A是不等式组所表示的平面区域内的一个动点，点B（－1，1），O为坐标原点，则·的取值范围是____________．

13．（2015·青岛模拟）已知x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，则xy的最小值为________．

14．（2015·湖南师大附中第三次月考）设正实数a，b满足等式2a＋b＝1，且有2－4a2－b2≤t－恒成立，则实数t的取值范围是____________．

第Ⅱ卷

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（14分）（2015·河北高阳中学第二次模拟考试）已知集合A＝{x|（x－2）[x－（3a＋1）]<0}，B＝.

（1）当a＝2时，求A∩B；

（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

16．（14分）已知a，b是正常数，x，y∈R＋，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．

17.（14分）解关于x的不等式ax2－（2a＋1）x＋2<0（a∈R）．

18．（16分）（2015·扬州模拟）如图所示，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－（1＋k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？

请说明理由．

19.（16分）（2015·江西宜春四校联考）变量x，y满足

（1）设z＝，求z的最小值；

（2）设z＝x2＋y2，求z的取值范围；

（3）设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

20．（16分）已知函数f（x）＝lnx－x＋－1，g（x）＝－x2＋2bx－4，若对任意的x1∈（0,2），x2∈[1,2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b的取值范围．

答案解析

1．a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1

解析　作差可得（a1b1＋a2b2）－（a1b2＋a2b1）|

＝（a1－a2）·（b1－b2），

∵a10，

即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

2.

解析a＝1显然满足题意，a＝－1时不满足题意，若a≠±1，则该不等式为一元二次不等式，则必有a2<1，且Δ＝（a－1）2＋4（a2－1）<0，解得－

综上可知－

3．5

解析　因为m>0，n>0,2m＋3n＝5，所以（2m＋3n）·（＋）＝13＋6≥13＋12＝25（当且仅当m＝n＝1时等号成立），所以＋≥5.

4．b

解析由于函数为偶函数，故b＝f（cos2）＝f（－cos2），c＝f（cos3）＝f（－cos3），由于x∈，f′（x）＝sinx＋xcosx>0，即函数在区间上为增函数，据单位圆三角函数线易得0≤

－cos2

5．20

解析某公司一年购买某种货物400t，每次都购买xt，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，·4＋4x≥160，当且仅当＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

6．2

解析可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，

当直线y＝－x＋z过点A（0，1）时，z取得最大值2.

7．（－4,2）

解析x2＋2x

8．7

解析　直线ax－y＋1＝0过点（0,1），作出可行域如图知可行域是由点A（1,0），B（1，a＋1），C（0,1）组成的三角形的内部（包括边界），

且a>－1，则其面积等于×（a＋1）×1＝4，解得a＝7.

9．R>P>Q

解析　令x＝y＝0，得f（0）－f（0）＝f（0）＝0，再令x＝0，可得f（0）－f（y）＝f（－y）⇒－f（y）＝

f（－y），即函数为奇函数．若－10，即f（x）－f（y）＝f>0，故函数在区间（－1,1）上为减函数．又P＝f＋f＝f－f＝f＝f，而0<<，由单调性可得R＝f（0）>f＝P>f＝Q.

10.

解析对a进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．

（1）当a＝1时，不等式可化为：

x>0时均有x2－x－1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.

（2）当a<1时，∵x>0，

∴（a－1）x－1<0，不等式可化为

x>0时均有x2－ax－1≤0，

∵二次函数y＝x2－ax－1的图象开口向上，

∴不等式x2－ax－1≤0在x∈（0，＋∞）上不能均成立，

∴a<1不成立．

（3）当a>1时，令f（x）＝（a－1）x－1，g（x）＝x2－ax－1，两函数的图象均过定点（0，－1），

∵a>1，

∴f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，

且与x轴交点为，

即当x∈时，f（x）<0，

当x∈时，f（x）>0.

又∵二次函数g（x）＝x2－ax－1的对称轴为x＝>0，则只需g（x）＝x2－ax－1与x轴的右交点与点重合，如图所示，

则命题成立，即在g（x）图象上，所以有2－－1＝0，

整理得2a2－3a＝0，解得a＝，a＝0（舍去）．

综上可知a＝.

11．－≤m≤

解析根据题意，得不等式|x－m|<1的解集是m－1

则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集，

则有（等号不同时成立）．

解得－≤m≤.

12．[－1,1]

解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示．设A（x，y），z＝·＝－x＋y，则y＝x＋z表示斜率为1，纵截距为z的一组平行直线，平移直线y＝x＋z，知当直线过点D（2,1）时，直线y＝x＋z的截距最小，zmin＝－2＋1＝－1；当直线y＝x＋z过点E（1,2）时，直线y＝x＋z的截距最大，zmax＝－1＋2＝1，

所以·的取值范围是[－1,1]．

13．9

解析因为x，y均为正实数，且xy＝x＋y＋3，所以xy＝x＋y＋3≥2＋3，解得≥3或≤－1（舍去），所以xy≥9，当且仅当x＝y＝3时取等号．故xy的最小值为9.

14.

解析∵2a＋b＝1，∴4a2＋b2＝（2a＋b）2－4ab＝1－4ab.而2a＋b＝1≥2，∴≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时等号成立．∴2－4a2－b2＝2＋4ab－1，令＝u∈，f（u）＝4u2＋2u－1，∴f（u）的最大值为f＝，故只需t－≥，即t≥.

15．解

（1）当a＝2时，A＝（2,7），B＝（4,5），

∴A∩B＝（4,5）．

（2）B＝（2a，a2＋1），当a<时，A＝（3a＋1,2），

要使B⊆A，必须此时a＝－1；

当a＝时，A＝∅，使B⊆A的a不存在；

当a>时，A＝（2,3a＋1），要使B⊆A，

必须此时1≤a≤3.

综上可知，使B⊆A的实数a的取值范围为[1,3]∪{－1}．

16．解∵x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋

≥a＋b＋2，当且仅当bx2＝ay2时等号成立．

∴x＋y的最小值为a＋b＋2＝18.

又a＋b＝10.∴2＝8，∴ab＝16.

由a＋b＝10，ab＝16可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.

17．解　原不等式可化为（ax－1）（x－2）<0.

（1）当a>0时，原不等式可以化为a（x－2）（x－）<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于（x－2）（x－）<0.因为方程（x－2）（x－）＝0的两个根分别是2，，所以当0时，<2，则原不等式的解集是{x|

（2）当a＝0时，原不等式为－（x－2）<0，解得x>2，即原不等式的解集是{x|x>2}．

（3）当a<0时，原不等式可以化为a（x－2）（x－）<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于（x－2）（x－）>0，由于<2，故原不等式的解集是{x|x<或x>2}．

综上所述，当a<0时，不等式的解集为{x|x<或x>2}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0时，不等式的解集为{x|

18．解

（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0.

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

由x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10km.

（2）因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0⇔0

所以当a不超过6km时，可击中目标．

19.解　由约束条件作出（x，y）的可行域如图中阴影部分所示．

由

解得A（1，）．由解得C（1,1）．

由解得B（5,2）．

（1）∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．

观察图形可知zmin＝kOB＝.

（2）z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝OC＝，dmax＝OB＝，故z的取值范围是[2,29]．

（3）z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝（x＋3）2＋（y－2）2的几何意义是可行域上的点到点（－3,2）的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到（－3,2）的距离中，dmin＝1－（－3）＝4，dmax＝＝8.

故z的取值范围是[16,64]．

20．解问题等价于f（x）在（0,2）上的最小值恒大于或等于g（x）在[1,2]上的最大值．

因为f（x）＝lnx－x＋－1，

所以f（x）的定义域为（0，＋∞），

所以f′（x）＝－－＝.

若f′（x）>0，则x2－4x＋3<0，解得1

故函数f（x）的单调递增区间是[1,3]，

同理得f（x）的单调递减区间是（0,1]和[3，＋∞），

故在区间（0,2）上，x＝1是函数f（x）的极小值点，

这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，

所以f（x）min＝f

（1）＝－.

由于函数g（x）＝－x2＋2bx－4，x∈[1,2]．

当b<1时，g（x）max＝g

（1）＝2b－5；

当1≤b≤2时，g（x）max＝g（b）＝b2－4；

当b>2时，g（x）max＝g

（2）＝4b－8.

故问题等价于或

或解第一个不等式组得b<1，解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解．

综上所述，b的取值范围是.