初等数论 第一章 整数的可除性.docx

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初等数论第一章整数的可除性

第一章整数的可除性

§1整除

整数集对于加、减、乘三种运算都是封闭的，但是对于除法运算不封闭。

为此，我们引进整除的概念。

定义1设a,b∈Z，b≠0，如果存在q∈Z，使得等式a=bq成立，那么称b整除a或a被b整除，记作：

b|a，此时称b为a的因数（约数），a为b的倍数。

如果不存在满足等式a=bq的整数q，那么称b不能整除a或a不被b整除，记作b

a。

定理1设a,b,c∈Z，b≠0，c≠0，则

（1）如果c|b，b|a，那么c|a；

（2）如果b|a，那么bc|ac；反之亦真；

（3）如果c|a，c|b，那么，对于任意m,n∈Z，有c|（ma+nb）；

（4）如果b|a，a≠0，那么|b|≤|a|；

（5）如果b|a，a|b，那么|b|=|a|。

证明可选证。

定理2（带余除法）设a,b∈Z，b≠0，则存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|，并且q及r是唯一的。

证明当b|a时，取q=a/b，r=0即可。

当b!

|a时，考虑集合E={a-bk|k∈Z}，易知E中有正整数，因此E中有最小正整数，设为r=a-bk>0，下证：

r<|b|。

因为b!

|a，所以r≠|b|，若r>|b|，则r’=r-|b|>0，又r’∈E，故与r的最小性矛盾，从而存在q,r∈Z，使得a=bq+r，0≤r<|b|。

唯一性。

设另有q’,r’∈Z，使得a=bq’+r’，0≤r’<|b|，则b（q-q’）=r’-r，于是b|（r’-r），但由于0≤|r’-r|<|b|，故r’-r=0，即r=r’，从而q=q’。

定义2等式a=bq+r，0≤r<|b|中的整数q称为a被b除所得的（不完全）商，整数r称为a被b除所得的余数。

注r=0的情形即为a被b整除。

例1设b=15，则

当a=255时，a=17b+0，故q=17，r=0；

当a=417时，a=27b+12，故q=27，r=12；

当a=-81时，a=-6b+9，故q=-6，r=9。

例2整数被2除的余数有两种可能：

0和1，一个整数被2整除称为偶数，否则称为奇数，分别记作2k和2k+1，k∈Z。

类似地，任一整数可表示为3k，3k+1，3k+2三种形式之一。

例3设a=2t-1，若a|2n，则a|n。

例4设a,b∈Z，a≠0，b≠0，有x,y∈Z，使ax+by=1，证明：

若a|n，b|n，则ab|n。

§2最大公因数与最小公倍数

定义1设a1,a2,…,an是n（n≥2）个整数，若整数d满足d|ai，i=1,2,…,n，则称d为a1,a2,…,an的一个公因数；

整数a1,a2,…,an的公因数中最大的一个称为最大公因数，记作：

（a1,a2,…,an）；

若（a1,a2,…,an）=1，则称a1,a2,…,an互质（互素）；

若a1,a2,…,an中每两个整数互质，则称a1,a2,…,an两两互质。

注1任意整数a1,a2,…,an必有公因数（如±1）。

注2若a1,a2,…,an不全为0，则它们的公因数只有有限多个，从而它们的最大公因数必然存在而且唯一。

（§1定理1之（4））

注3最大公因数一定是正整数。

注4（a1,a2,…,an）=1相当于a1,a2,…,an的公因数只有±1。

注5两两互质必互质，反之未然。

定理1若a1,a2,…,an是任意n个不全为零的整数，则

（1）a1,a2,…,an与|a1|,|a2|,…,|an|的公因数相同；

（2）（a1,a2,…,an）=（|a1|,|a2|,…,|an|）。

定理2若b是任一正整数，则

（1）0与b的公因数就是b的因数，反之亦然；

（2）（0,b）=b。

推论若b是任一非零整数，则（0,b）=|b|。

定理3设a,b,c是任意三个不全为零的整数，且a=bq+c，其中q∈Z，则a,b与（b,c）有相同的公因数，从而（a,b）=（b,c）。

定理4设a1,a2,…,an是不全为零的整数，则a1,a2,…,an的整线性组合的集合S={a1x1+a2x2+…+anxn|xi∈Z，i=1,2,…,n}恰由（a1,a2,…,an）的所有倍数组成。

证明因为S中有正整数，所以S中有最小正整数，设为D=a1x1’+a2x2’+…+anxn’，则对于任意的a1x1+a2x2+…+anxn∈S，有a1x1+a2x2+…+anxn=（a1x1’+a2x2’+…+anxn’）q+r，其中0≤r0，则与D是最小正整数矛盾，故r=0，即S中任一整数都是D的倍数。

反之，D的倍数也属于S，故S=DZ={Da|a∈Z}。

设d=（a1,a2,…,an），下证：

D=d。

由于D∈S，又d|ai，i=1,2,…,n，故d|D，即d≤D；另一方面，因为a1,a2,…,an∈S，所以D|ai，i=1,2,…,n，从而D≤d。

因此，D=d。

推论设a1,a2,…,an是不全为零的整数，则存在整数x1,x2,…,xn，使得a1x1+a2x2+…+anxn=（a1,a2,…,an），这一等式称为裴蜀（Bezout）等式。

特别地，（a1,a2,…,an）=1的充分必要条件为存在整数x1,x2,…,xn，使得a1x1+a2x2+…+anxn=1。

§3算术基本定理

定义一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，那么称之为质数；否则称为合数。

注正整数分为三类：

1，质数类，合数类。

§4函数[x]，{x}及其在数论中的一个应用