届高考数学文总复习讲义 等比数列及其前n项和Word格式.docx

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若项数为2n＋1，则＝q.

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）满足an＋1＝qan（n∈N*，q为常数）的数列{an}为等比数列．（　　）

（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（　　）

（3）如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．（　　）

（4）如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

（二）选一选

1．在等比数列{an}中，a1＝1，a3＝2，则a7＝（　　）

A．－8　　　　　　　　B．8

C．8或－8D．16或－16

解析：

选B　设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a3＝2，∴q2＝2，∴a7＝a3q4＝2×

22＝8.故选B.

2．数列{an}满足a4＝27，an＋1＝－3an（n∈N*），则a1＝（　　）

A．1B．3

C．－1D．－3

选C　由题意知数列{an}是以－3为公比的等比数列，∴a4＝a1（－3）3＝27，∴a1＝＝－1.故选C.

3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2a5＝2a3,2a4＋4a7＝5，则S5＝（　　）

A．29B．31

C．33D．36

选B　设等比数列{an}的公比为q，由题意知解得所以S5＝＝31，故选B.

（三）填一填

4．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·

a4＝16，S3＝7，则q＝________.

∵a2·

a4＝a＝16，∴a3＝4（负值舍去），①

又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7，②

联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，

∵an>

0，∴q＝2.

2

5．（2017·

北京高考）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；

b4＝－1·

q3＝8，解得q＝－2.

所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×

（－2）＝2，所以＝1.

1

[典例]　（2018·

全国卷Ⅲ）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

[解]　

（1）设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0（舍去）或q＝－2或q＝2.

故an＝（－2）n－1或an＝2n－1.

（2）若an＝（－2）n－1，则Sn＝.

由Sm＝63，得（－2）m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.

由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

[解题技法]

等比数列基本运算中的2种常用数学思想

方程思想

等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q，问题可迎刃而解

分类讨论思想

等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；

当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝

[题组训练]

1．已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝（　　）

A．2　　　　　　　　　　B．4

C.D．2

选B　由题意，设等比数列{an}的公比为q，q>

0，则a＝a2a4＝1，又a2＋a4＝，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝，则q2＝，q＝，所以a1＝＝4.

2．（2019·

长春质检）已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝（　　）

A．4B．10

C．16D．32

选C　设公比为q（q>

0），S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×

23＝16.

3．（2017·

江苏高考）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.

设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，

则解得

则a8＝a1q7＝×

27＝32.

32

[典例]　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2（n∈N*），若bn＝an＋1－2an，求证：

{bn}是等比数列．

[证明]　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，

所以＝＝＝＝2.

因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.

所以b1＝a2－2a1＝3.

所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

1．掌握等比数列的4种常用判定方法

定义法

若＝q（q为非零常数，n∈N*）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则{an}是等比数列

中项公式法

若数列{an}中，an≠0且a＝an·

an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列

通项公式法

若数列通项公式可写成an＝c·

qn－1（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则{an}是等比数列

前n项和公式法

若数列{an}的前n项和Sn＝k·

qn－k（k为常数且k≠0，q≠0,1），则{an}是等比数列

2．等比数列判定与证明的2点注意

（1）等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．

（2）证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·

a3，或者是存在一个正整数m，使得a≠am·

am＋2即可．

1．数列{an}的前n项和为Sn＝2an－2n，证明：

{an＋1－2an}是等比数列．

证明：

因为a1＝S1,2a1＝S1＋2，

所以a1＝2，由a1＋a2＝2a2－4得a2＝6.

由于Sn＝2an－2n，故Sn＋1＝2an＋1－2n＋1，后式减去前式得an＋1＝2an＋1－2an－2n，即an＋1＝2an＋2n，

所以an＋2－2an＋1＝2an＋1＋2n＋1－2（2an＋2n）＝2（an＋1－2an），

又a2－2a1＝6－2×

2＝2，

所以数列{an＋1－2an}是首项为2、公比为2的等比数列．

西宁月考）已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An（，）在双曲线y2－x2＝1上．在数列{bn}中，点（bn，Tn）在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

数列{bn}是等比数列．

解：

（1）由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1.

∴数列{an}是一个以2为首项，1为公差的等差数列．

∴an＝a1＋（n－1）d＝2＋n－1＝n＋1.

（2）证明：

∵点（bn，Tn）在直线y＝－x＋1上，

∴Tn＝－bn＋1.①

∴Tn－1＝－bn－1＋1（n≥2）．②

①②两式相减，得

bn＝－bn＋bn－1（n≥2）．

∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1.

由①，令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝.

∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．

考法

（一）　等比数列项的性质

[典例]　

（1）（2019·

洛阳联考）在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为（　　）

A．－　　　　　　　　B．－

C.D．－或

（2）（2018·

河南四校联考）在等比数列{an}中，an>

0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为（　　）

A．2B．4

C．8D．16

[解析]　

（1）设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·

a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<

0，a15<

0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.

（2）由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2…a8＝16＝（a4a5）4，an>

0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.故选A.

[答案]　

（1）B　

（2）A

考法

（二）　等比数列前n项和的性质

[典例]　各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于（　　）

A．80B．30

C．26D．16

[解析]　由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．

设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．

由（x－2）2＝2×

（14－x），

解得x＝6或x＝－4（舍去）．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×

23＝30.

[答案]　B

应用等比数列性质解题时的2个关注点

（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·

an＝ap·

aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

1．（2019·

郑州第二次质量预测）已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝（　　）

A.B．－

C．－D．－

选B　设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以＝q2＝2.因为a2a5a8＝a＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－，故选B.

2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

由题意，得解得所以q＝＝＝2.

A级——保大分专练

合肥模拟）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝（　　）

A．4　　　　　　　　　　B.

C．2D.

选C　由题意，得解得或（舍去），故选C.

辽宁五校协作体联考）已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

选C　由题意得a4a14＝

（2）2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2（a7a11）＝log28＝3，故选C.

3．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝（　　）

A．1B．±

C．2D．±

选A　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝＝1，故选A.

4．（2018·

贵阳适应性考试）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8（a4－2），则S2019＝（　　）

A．22018－B．1－2018

C．22019－D．1－2019

选A　由等比数列的性质及a2a6＝8（a4－2），得a＝8a4－16，解得a4＝4.

又a4＝q3，故q＝2，所以S2019＝＝22018－，故选A.

5．在等比数列{an}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则S9＝（　　）

A．255B．256

C．511D．512

选C　设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可得a2＋a4＋a6＝a1q＋a3q＋a5q＝q（a1＋a3＋a5）＝q×

21＝42，解得q＝2.又a1＋a3＋a5＝a1（1＋q2＋q4）＝a1×

21＝21，解得a1＝1.所以S9＝＝＝511.故选C.

6．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<

0，则（　　）

A．a1<

0,0<

q<

1B．a1<

0，q>

C．a1>

1D．a1>

选A　∵Sn<

0，∴a1<

0，又数列{an}为递增等比数列，∴an＋1>

an，且|an|>

|an＋1|，

则－an>

－an＋1>

0，则q＝∈（0,1），

∴a1<

1.故选A.

7．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．

设等比数列{an}的公比为q（q>

0），

由a5＝a1q4＝16，a1＝1，得16＝q4，解得q＝2，

所以S7＝＝＝127.

127

8．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

设该数列的公比为q，由题意知，

192＝3×

q3，q3＝64，所以q＝4.

所以插入的两个数分别为3×

4＝12,12×

4＝48.

12,48

9．（2018·

江西师范大学附属中学期中）若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4＝a5，a4＝8，

∴解得

∴Sn＝＝2n－1.

2n－1

10．已知等比数列{an}为递减数列，且a＝a10,2（an＋an＋2）＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

设公比为q，由a＝a10，

得（a1q4）2＝a1·

q9，即a1＝q.

又由2（an＋an＋2）＝5an＋1，

得2q2－5q＋2＝0，

解得q＝，

所以an＝a1·

qn－1＝.

11．（2018·

全国卷Ⅰ）已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an.设bn＝.

（1）求b1，b2，b3；

（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

（3）求{an}的通项公式．

（1）由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入得，a2＝4a1，

而a1＝1，所以a2＝4.

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

（2）数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，

又b1＝1，

所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

（3）由

（2）可得＝2n－1，所以an＝n·

2n－1.

12．（2019·

甘肃诊断）设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127.

（1）求a5的值；

（2）求数列{an}的前n项和．

（1）由题可知a3＋1＝8，a7＋1＝128，

则有（a5＋1）2＝（a3＋1）（a7＋1）＝8×

128＝1024，

可得a5＋1＝32，即a5＝31.

（2）设数列{an＋1}的公比为q，

由

（1）知得

所以数列{an＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×

2n－1＝2n，所以an＝2n－1，

利用分组求和可得，数列{an}的前n项和Sn＝－n＝2n＋1－2－n.

B级——创高分自选

1．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点（a，a）在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于（　　）

A．3n－1B.

C.D.

选A　由点（a，a）在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即（an＋3an－1）（an－3an－1）＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1>

0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝3n－1.