第33课圆与三角形的综合题Word格式.docx

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在Rt△ABC中，∠ABC=90°

，AB=BC，

∴∠A=∠C=45°

，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°

，即BD⊥AC，

∴AD=DC=BD=

AC，∠CBD=∠C=45°

∴∠A=∠FBD，

∵DF⊥DG，

∴∠FDG=90°

∴∠FDB+∠BDG=90°

∵∠EDA+∠BDG=90°

∴∠EDA=∠FDB，

在△AED和△BFD中，

∴△AED≌△BFD（ASA），

∴AE=BF；

（2）证明：

连接EF，BG，

∵△AED≌△BFD，

∴DE=DF，

∵∠EDF=90°

∴△EDF是等腰直角三角形，

∴∠DEF=45°

∵∠G=∠A=45°

∴∠G=∠DEF，

∴GB∥EF；

（3）∵AE=BF，AE=1，

∴BF=1，

在Rt△EBF中，∠EBF=90°

∴根据勾股定理得：

EF2=EB2+BF2，

∵EB=2，BF=1，

∴EF=

=

∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°

∴cos∠DEF=

∵EF=

∴DE=

×

∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，

∴△GEB∽△AED，

∴

，即GE•ED=AE•EB，

•GE=2，即GE=

则GD=GE+ED=

．

变式训练

1．（2015—咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°

，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

（1）若∠B=30°

，求证：

以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．

（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

适应训练

2．（2015—潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．

直线DF与⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．

3.（2016·

云南省昆明市）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°

，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．

CF是⊙O的切线；

（2）若∠F=30°

，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）

课外作业

4．（2015—武威）已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．

（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）：

　　或者　　．

（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？

试证明你的判断．

5．（2015—枣庄）如图，在△ABC中，∠ABC=90°

，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：

BC2=CD•2OE；

（3）若cos∠BAD=0.6，BE=6，求OE的长．

1．解答：

如图1，连接OD、OE、ED．

∵BC与⊙O相切于一点D，

∴OD⊥BC，

∴∠ODB=90°

=∠C，

∴OD∥AC，

∵∠B=30°

∴∠A=60°

∵OA=OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴AE=AO=0D，

∴四边形AODE是平行四边形，

∵OA=OD，

∴四边形AODE是菱形．

（2）解：

设⊙O的半径为r．

∵OD∥AC，

∴△OBD∽△ABC．

，即8r=6（8﹣r）．

解得r=

∴⊙O的半径为

如图2，连接OD、DF．

∴∠DAC=∠ADO，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠DAC=∠DAO，

∵AF是⊙O的直径，

∴∠ADF=90°

∴△ADC∽△AFD，

∴AD2=AC•AF，

∵AC=6，AF=

∴AD2=

6=45，

∴AD=

=3

2．解答：

如图，

连接OD．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠C，

∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴OD⊥DF，

∵点D在⊙O上，

∴直线DF与⊙O相切；

∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，

∴∠AED+∠ACD=180°

∵∠AED+∠BED=180°

∴∠BED=∠ACD，

∵∠B=∠B，

∴△BED∽△BCA，

∵OD∥AB，AO=CO，

∴BD=CD=BC=3，

又∵AE=7，

∴BE=2，

∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．

3.【解答】

如图连接OD．

∵四边形OBEC是平行四边形，

∴OC∥BE，

∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠DOC=∠AOC，

在△COD和△COA中，

∴△COD≌△COA，

∴∠CAO=∠CDO=90°

∴CF⊥OD，

∴CF是⊙O的切线．

∵∠F=30°

，∠ODF=90°

∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°

∵OD=OB，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠DBO=60°

∵∠DBO=∠F+∠FDB，

∴∠FDB=∠EDC=30°

∵EC∥OB，

∴∠E=180°

﹣∠OBD=120°

∴∠ECD=180°

﹣∠E﹣∠EDC=30°

∴EC=ED=BO=DB，

∵EB=4，

∴OB=OD═OA=2，

在RT△AOC中，∵∠OAC=90°

，OA=2，∠AOC=60°

∴AC=OA•tan60°

=2

∴S阴=2•S△AOC﹣S扇形OAD=2×

2×

2

﹣

4．解答：

（1）①∠BAE=90°

，②∠EAC=∠ABC，

理由是：

①∵∠BAE=90°

∴AE⊥AB，

∵AB是直径，

∴EF是⊙O的切线；

②∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∴∠ABC+∠BAC=90°

∵∠EAC=∠ABC，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°

即AE⊥AB，

（2）EF是⊙O的切线．

证明：

作直径AM，连接CM，

则∠ACM=90°

，∠M=∠B，

∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90°

∵∠CAE=∠B，

∴∠CAM+∠CAE=90°

∴AE⊥AM，

∵AM为直径，

∴EF是⊙O的切线．

5．解答：

连接OD，BD，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°

，即∠C+∠A=90°

∴∠ADO+∠CDE=90°

，即∠ODE=90°

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线；

∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

，即BC2=AC•CD．

∴BC2=2CD•OE；

（3）解：

∵cos∠BAD=0.6，

∴sin∠BAC=

=0.8，

又∵BE=6，E是BC的中点，即BC=12，

∴AC=15．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=