数学题型复习题型八二次函数综合题类型五与特殊四边形有关的问题练习.docx

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数学题型复习题型八二次函数综合题类型五与特殊四边形有关的问题练习

类型五与特殊四边形有关的问题

1.（2017重庆江北区一模）如图①，抛物线y＝－x2＋x＋2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线的对称轴于点D.

（1）求点D的坐标；

（2）如图②，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ⊥BC于Q，当PQ的长度最大时，在线段BC上找一点M（不与点B、点C重合），使PM＋BM的值最小，求点M的坐标及PM＋BM的最小值；

（3）抛物线的顶点为点E，平移抛物线，使抛物线的顶点E在直线AE上移动，点A、E平移后的对应点分别为点A′、E′.在平面内有一动点F，当以点A′、E′、B、F为顶点的四边形为菱形时，求出点A′的坐标．

第1题图

2.如图①，抛物线y＝x2－x－与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C.连接AC，过点A作AC的垂线交抛物线的对称轴于点D.

（1）求点D的坐标；

（2）点P为直线AD下方抛物线上一动点，当△PAD面积最大时，作PE⊥x轴于点E，连接AP，点M，N分别为线段AP，AE上的两个动点，求EM＋MN的最小值；

（3）如图②，抛物线的顶点为点Q，平移抛物线，使抛物线的顶点Q在直线AQ上移动，点A，Q平移后的对应点分别为点A′，Q′.在平面内有一动点G，当以点A′，Q′，B，G为顶点的四边形为平行四边形时，在直线AQ下方找一个满足条件的点G，与在直线AQ上方所有满足条件的点G为顶点的多边形为轴对称图形时，求点Q′的坐标．

第2题图

答案

1.解：

（1）当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，

解得x1＝，x2＝－，

即A（－，0），B（，0）

当x＝0时，y＝2，即C（0，2），

∴直线BC的解析式为y＝－x＋2，

∴直线AD的解析式为y＝－x－，

抛物线的对称轴为x＝－＝，

当x＝时，y＝－x－＝－，

即D点坐标为（，－）；

（2）如解图①，作PF∥y轴交BC于点F，

则△PQF∽△BOC，

第1题解图①

∴＝＝，

即PQ＝PF，

设P（t，－t2＋t＋2），F（t，－t＋2），

∴PF＝－t2＋t，

当t＝时，PF取最大值，PQ取最大值，

此时P（，），

作MN⊥x轴于点N，则△BMN∽△BCO，

∴＝＝，

即MN＝BM，

则当P，M，N共线时，PN有最小值，PM＋BM＝PN＝，

此是M（，1）；

（3）如解图②，

1）当A′E′＝A′B，A′E′∥BF1，A′E′＝BF1时四边形A′E′F1B是菱形，此时

A1′（，），A′2（－，－）；

2）当A′E′＝E′B，A′E′∥BF2，A′E′＝BF2时四边形A′E′F2B是菱形，此时

A′3（－，0），A′4（－，－）；

3）当A′B＝E′B，A′F3∥BE′，A′F3＝BE′时四边形A′F3E′B是菱形，此时

A′5（－，－）．

综上所述，A′的坐标分别为（，）或（－，－）或（－，0）或（－，－）或（－，－）．

第1题解图②

2.解：

（1）如解图①，设对称轴交AB于点H，对于抛物线y＝x2－x－，

令x＝0得y＝－，令y＝0，得x2－x－＝0，解得x＝－1或x＝3，

∴C（0，－），A（－1，0），B（3，0），

∴OA＝1，OC＝，

∴tan∠OAC＝＝，

∴∠OAC＝60°，

∵AD⊥AC，

∴∠DAC＝90°，∠DAH＝30°，

∵抛物线的对称轴x＝－＝1，

∴AH＝2，DH＝AH·tan30°＝，

∴D（1，）；

第2题解图①

（2）如解图②，延长PE交直线AD于点K，

∵点A（－1，0），D（1，），

∴直线AD的解析式为y＝x＋.

设点K（x，x＋），则点P（x，x2－x－）．

∴PK＝－x2＋x＋.

∴S△PAD＝S△PKA－S△PKD＝×（xD－xA）·PK＝－x2＋x＋＝－（x－）2＋.

∴当x＝时，△PAD的面积最大，此时点P的坐标为（，－）．

∵PE⊥x轴于点E，∴E（，0），

∴AE＝，PE＝.

在Rt△PAE中，PA＝，

如解图②，作点E关于直线AP的对称点E′，过点E′作E′N⊥x轴于点N，交AP于点M，

第2题解图②

连接EM，此时EM＋MN的值最小，EM＋MN＝E′M＋MN＝E′N.

EE′＝，由△E′NE∽△AEP可知，

＝，

∴E′N＝.

∴EM＋MN的最小值为.

（3）如解图③，

∵点A（－1，0），Q（1，－），

∴直线AQ的解析式为y＝－x－.

设点Q′（x，－x－），则点A′（x－2，－x＋）．

若以点A′，Q′，B，G为顶点的平行四边形以A′Q′为边时，

∵A′Q′∥BG1且A′Q′＝BG1，

∴xG1－xB＝xA′－xQ′＝xA－xQ＝－2.

∴yG1－yB＝yA′－yQ′＝yA－yQ＝.

又∵点B（3，0），∴点G1（1，）．

同理得点G2（5，－）．

∴在直线AQ上方满足条件的点G有两个，分别为G1（1，），G2（5，）．

若以点A′，Q′，B，G为顶点的平行四边形以A′Q′为对角线时，线段A′Q′中点的坐标点F（x－1，－x），此时点F也为BG3中点，

又∵B（3，0），

∴G3（2x－5，－x）．

由题意得，以满足条件的点G为顶点的多边形为三角形，

∵△G1G2G3为轴对称图形，

∴△G1G2G3为等腰三角形．

∴G1G22＝，

G2G32＝x2－x＋，

G1G32＝x2－x＋，

①若G3G1＝G3G2，

则有x2－x＋＝x2－x＋，

∴x＝，∴Q（，－）．

②若G1G2＝G1G3，则有x2－x＋＝，

∴x1＝1，x2＝，

∴Q′（1，－）或（，－）．

③若G2G1＝G2G3，则有x2－x＋＝，

∴x1＝，x2＝3，

∴Q′（，－）或（3，－）．

综上所述，点Q′的坐标为（，－）或（1，－）或（，－）或（，－）或（3，－）．

第2题解图③