用的好还要用的巧定稿 徐则林.docx

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用的好还要用的巧定稿徐则林

第五届“摇篮杯”初中学生数学小论文 

县（市、区）：

温州市             

学校（全称）：

 温州市实验中学

作者：

徐则林章致远吕缘

指导师：

王建生

论文题目：

用的“好”还要用的“巧”

——小议绝对值在解题中的妙用

用的“好”还要用的“巧”

——小议绝对值在解题中的妙用

摘要:

通过对绝对值的定义及在计算中应用的了解，我们发现了不少有关绝对值的有趣的问题，如：

有关绝对值求距离的问题；有关绝对值函数的问题等等。

在应用绝对值解题的过程，使我们深深体会到数学并不象我们想像中的那么无味、枯燥，只要能用“好”、用“巧”也能解决很多生活中的问题。

一、问题的发现

这个假期我们有幸参加了数学夏令营，在夏令营期间，我们做了大量的数学题目，其中有一道有关绝对值问题的题目让我们印象深刻：

在一条直线上有依次排列的n（n﹥1）台机床在工作，如果让你设置一个零件供应站P，如何设置才能做到使这n台机床到供应站P的距离总和最小？

乍看之下，难免觉得有点“晕”，但经仔细推敲难度并不大。

二、问题的解决

图2

图1

要解决这个问题，首先我们设想到比较简单的情形：

如果直线上有2台机床时，如图1，很明显供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。

如果直线上有3台机床时，如图2，不难判断，供应站P设在中间一台机床A2处最合适。

因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离。

而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的。

因此P放在A2处是最佳选择。

不难发现，如果直线上有4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，供应站P应放在第3台位置。

由此，我们很顺利地得出如下结论：

（1）若n是奇数，则P﹦

；

（2）若n是偶数，则

≤P≤

+1。

三、问题的拓展

在解决该问题的过程中，我们不由联想到数学中学过的绝对值。

翻开我们的数学教材（浙江教育出版社《数学》七年级上册），在第14页，上面是这样定义绝对值的：

一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

在数轴上，︱x︱表示数x对应的点与原点的距离；︱x－a︱表示数x对应的点A与数a对应的点B之间的距离，即线段AB的长度。

这个就是绝对值的几何意义。

由此，我们联想到可以将上面的问题转化为这样的数学模型：

数轴上有A1、A2、A3、……An（n>1）n个点，找一点P，使它到A1、A2、A3、……An各点的距离之和︱PA1︱＋︱PA2︱+︱PA3︱+……+︱PAn︱最小。

其结论是：

若n是奇数，则P﹦

；若n是偶数，则

≤P≤

+1。

从中我们不难发现其异曲同工之妙，也不由得不感叹数学与生活间的息息相关！

通过进一步的思考，我们发现这个结论还可以轻而易举地解答如下题目：

例题1：

求︱x-1︱＋︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-617︱的最小值。

这个题目也可以理解成在数轴上有点在1、2、3、……617位置，x放在哪个位置使x所在的点到1、2、3、……617所在的点的距离总和最小呢？

利用前面问题的结论，617为奇数，故x﹦

﹦

﹦309，将x值代入原式：

︱x-1︱＋︱x-2︱+︱x-3︱+…+︱x-617︱

＝308＋307＋306＋……＋1＋0＋1＋2＋3＋……＋306＋307＋308

＝

×2

＝95172

利用绝对值的几何意义顺利解决了前面的题目，使我们对绝对值这类题目引发了高度兴趣。

看来上面得到的结论不仅可以推广运用在解决求最小路程总和的实际问题，也许还可以成为求解很多关于绝对值习题的灵丹妙方。

以下列举几种具体的应用：

（1）利用绝对值几何意义求解最大值或最小值

例题2：

求︱x＋1︱＋︱x-1︱的最小值。

解法1：

分类讨论

当x﹤-1时，︱x＋1︱＋︱x-1︱＝-（x＋1）－（x-1）＝－2x﹥2；

当－1≤x<≤1时，︱x＋1︱＋︱x-1︱＝x＋1－（x-1）＝2；

当x﹥1时，︱x＋1︱＋︱x-1︱＝x＋1+x-1＝2x﹥2；

比较可知，︱x＋1︱＋︱x-1︱的最小值是2

解法2：

由绝对值的几何意义知，︱x-1︱表示数x在数轴上所对应的点与数1对应的点之间的距离；︱x＋1︱表示数x在数轴上所对应的点与数－1对应的点之间的距离；︱x＋1︱＋︱x-1︱的最小值是指数轴上的点到1与－1两点之间距离和的最小值。

如图3所示，当－1≤x<≤1时，︱x＋1︱＋︱x-1︱的值最小，最小值是2。

比较两种解法，显然利用绝对值的几何意义绘制数轴解题一目了然，方便易懂。

例题3：

任意有理数x，都能使︱x-1︱＋︱x-2︱＋︱x-9︱＋︱x-10︱＋︱x-11︱≥m成立，则m的最大值是（）。

（A）18（B）22（C）33（D）不存在

解：

由绝对值的几何意义，知当x﹦9时，︱x-1︱＋︱x-2︱＋︱x-9︱＋︱x-10︱＋︱x-11︱可取得最小值18，即m的最大值是18，故选（A）。

（2）利用绝对值几何意义可以求解方程的解

例题4：

方程︱x－2︱＋︱x＋3︱＝6的解。

解：

由绝对值的几何意义可迅速求解。

画数轴，如图4所示，数轴上到点A

（2）和点B（－3）的距离之和等于6的点由两个：

点C（－3.5）和点D（2.5），所以原方程的解为x﹦2.5或x﹦-3.5。

图3图4

例题5：

不等式︱x＋1︱＋︱x-2︱﹤7的整数解有（）。

（A）4个（B）5个（C）6个（D）7个

解：

︱x＋1︱＋︱x-2︱﹤7的解表示数轴上到-1和2的距离之和小于7的点的集合，利用数轴（如图5）容易看出-3，4到-1和2的距离和都等于7，而-3和4之间的数到-1和2的距离和小于7，所以满足条件的整数有-2，-1，0，1，2，3共6个，故选（C）。

（3）利用绝对值几何意义可以比较大小

例题6：

如图6，有理数a、b、c、d各自对应着数轴上X、Y、Z、R四个点中的一点，且

①︱b－d︱比︱a－b︱，︱a－c︱，︱a－d︱，︱b－c︱，︱c－d︱都大；

②︱d－a︱+︱a－c︱﹦︱d－c︱；

③c是a、b、c、d中第二大的数。

则与点X、Y、Z、R对应的数依次是。

图5图6

解：

根据绝对值的几何意义，︱x－a︱表示数x对应的点A与数a对应的点B之间的距离，即线段AB的长度。

则可由

（1）知X，R对应b，d或d，b；由

（2）知，d到c的距离等于d到a的距离与a到c的距离之和，说明a在d，c之间；又有（3）知，c是第二大的数，所以最大的数是b，最小的数是d，从而点X、Y、Z、R对应的数依次是d、a、c、b。

四、由该问题引发的思考

由上面的问题，我们又想到，如果在二次函数上加入绝对值，函数的图像又会有什么样的变化呢?

二次函数的一般形式是这样的：

y﹦ax²+bx+c，图像如图7所示。

由于常数项不影响函数的形状而且二次项不受绝对值的影响，所以我们把绝对值二次函数分为以下几类:

图7

1.y﹦|ax²+bx+c|

2.y﹦x²+b|x|+c

3.|y|﹦x²+bx+c

有如下几道例题：

例题7：

作函数y﹦|x²-5x+6|的图像。

解：

先作函数y﹦x²-5x+6的图像，如图8所示；

因为y≥0，所以将x轴下方的图像沿x轴翻折上去，如图9所示。

图8图9

例题8：

作函数y﹦x²-5|x|+6的图像。

解：

先作函数y﹦x²-5x+6的图像，如图8所示；

因为当x小于0时，函数变为y﹦x²+5x+6,该函数的对称轴恰好与函数y﹦x²-5x+6的对称轴关于y轴对称，并且这两个函数关于y轴对称，所以将y轴右边的函数沿y轴翻折到左边，如图10所示。

图10

例题9：

作函数|y|﹦x²-5x+6的图像。

解：

先作函数y﹦x²-5x+6的图像，如图8所示；

因为当y小于0时，函数变为y﹦-x²+5x-6,该函数的对称轴恰好与函数y﹦x²-5x+6的对称轴重合，并且这两个函数关于x轴对称，所以将x轴上边的函数沿x轴翻折到下边，如图11所示。

那么关于这一类函数的解的分布有什么特点呢？

图11

例题10：

已知二次函数y﹦|x²-5x+6|，当y﹦-1，1，

，0时，x分别有几个实数解?

我们已知该函数的图像大致如图9所示。

我们可以画出图像y﹦-1,y﹦1,y﹦

y﹦

，如图12所示。

通过观察可以发现：

图像y﹦-1与函数无交点,所以y﹦-1时,该函数无实数解；

图像y﹦1与函数有两个交点,所以y﹦1时,该函数有2个实数解；

图像y﹦

与函数有三个交点,所以y﹦

时,,该函数有3个实数解；

图像y﹦

与函数有四个交点,所以当y﹦

时,该函数有4个实数解；

图像y﹦0与函数有两个交点,所以当y﹦0时,该函数有2个实数解。

图12

通过观察,我们发现,此类函数有几个实数解与函数的顶点有关。

已知函数y﹦|ax²+bx+c|,当y﹦n时,我们可知:

若y﹤0，则该函数无实数解；

若y﹦0，则该函数有两个实数解；

若0﹤y﹤

则该函数有四个实数解；

若y﹦

则该函数有三个实数解；

若y﹥

则该函数有两个实数解。

例题11:

已知二次函数y﹦x²-5|x|+6.当y﹦-1,-

2,6,8时,该函数分别有几个实数解？

我们已知该函数的图像大致如图10所示。

我们可以画出图像y﹦-1,y﹦-

y﹦2,y﹦6,y﹦8，如图13所示。

通过观察可以发现:

图像y﹦-1与函数无交点,所以y﹦-1时,该函数无实数解；

图像y﹦-

与函数有两个交点,所以y﹦-

时,该函数有2个实数解；

图像y﹦2与函数有四个交点,所以当y﹦2时,该函数有4个实数解；

图像y﹦6与函数有三个交点,所以y﹦6时,,该函数有3个实数解；

图像y﹦8与函数有两个交点,所以当y﹦8时,该函数有2个实数解。

（如图13所示）

图13

通过观察,我们发现,此类函数有几个实数解与函数的顶点有关。

已知函数y﹦|ax²+bx+c|,当y﹦n时,我们可知:

若y﹤

，则该函数无实数解；

若y﹦

，则该函数有两个实数解；

若

﹤y﹤c,则该函数有四个实数解；

若y﹦c,则该函数有三个实数解；

若y﹥c,则该函数有两个实数解。

图14

例题12：

已知二次函数|y|﹦x²-5x+6，当y﹦-1,1,2时,该函数分别有几个实数解？

我们已知该函数的图像大致如图11所示。

我们可以画出图像y﹦-1,y﹦1,y﹦2，如图14所示。

通过观察可以发现,无论y取任何值,该函数始终有两个交点。

五、分析评价

通过对生产实践中车床供应站设置问题的探究，找出问题中包含的数学知识，简单归纳了绝对值几何意义在解题中的妙用，使我们受益匪浅：

（1）利用绝对值几何意义，细心观察，避免按常规思路分类讨论带来繁琐冗长的运算，获取解题捷径。

（2）数学源于生活，又服务于生活。

生活中处处有数学，数学又常常能帮助我们更好地解决生活生产实际问题。

六、收获体会

经过这次对绝对值几何意义的小小探究，使我们真真切切地领悟到数学学习的乐趣。

很多数学知识只有在做题过程中不断总结、摸索，领悟题目的含义和各种方法的精髓，才能更好地掌握解题的方法。

一些看似平淡无奇的数学定义、公式或定理，其实都蕴含着许多生活中的奥妙。

只要你肯下苦功，勤于思考，你会发现数学原来并不是我们想象中枯燥无味、学无以用，它也可以解决很多我们生活中遇到的问题。

古人云:

书中自有黄金屋,书中自有颜如玉。

而我们要说:

“数”中自有黄金屋,“数”中自有颜如玉!