高中数学数列试题精选及答案.docx

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高中数学数列试题精选及答案

高中数学数列试题精选以及详细答案

【例1】求出下列各数列的一个通项公式

解

（1）所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n－1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n，所以，已知数列的

（2）从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n的（2n－1）与2n＋1的积，也即（2n－1）（2n＋1），因此，所给数列的通项公式为：

（3）从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n与n＋2的积，也即n（n＋2）．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为：

1，4，9，16，25，…是序号n的平方即n2，分母均为2．因此所

【例2】求出下列各数列的一个通项公式．

（1）2，0，2，0，2，…

（3）7，77，777，7777，77777，…

（4）0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…

解

（1）所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式an＝（－1）n+1＋1．

所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的

数列n，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2，

（4）所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写

说明

1．用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来．

2．对于常见的一些数列的通项公式（如：

自然数列，an=n；自然数的平方数列，an＝n2；奇数数列，an＝2n－1；偶数数列，an=2n；

纳出数列的通项公式．

3．要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列．

几项．

【例4】已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式．

（1）Sn＝2n2－3n

（2）Sn＝n2＋1

（3）Sn＝2n＋3　　（4）Sn＝（－1）n+1·n

解

（1）当n=1时，a1=S1＝－1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=（2n2－3n）－[2（n－1）2－3（n－1）]＝4n－5，由于a1也适合此等式，因此an=4n－5．

（2）当n＝1时，a1＝S1=1＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=n2＋1－[（n－1）2＋1]＝2n－1，由于a1不适合于此等式，

（3）当n＝1时，a1=S1＝2＋3=5；

当n≥2时，an=Sn－Sn-1＝2n＋3－（2n-1＋3）＝2n-1，由于a1不适合于此等式，

（4）当n＝1时，a1＝S1=（－1）2·1=1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn-1=（－1）n+1·n－（－1）n·（n－1）=（－1）n+1（2n－1），由于a1也适可于此等式，因此an＝（－1）n+1（2n－1），n∈N*．

说明已知Sn求an时，要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．

（1）写出数列的前5项；

（2）求an．

（2）由第

（1）小题中前5项不难求出．

【例6】数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2．

（1）求a3＋a5；

解由已知：

a1·a2·a3·…·an＝n2得

说明

（1）“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法．

（2）运用方程思想求n，若n∈N*，则n是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项．

【例7】已知数an=（a2－1）（n3－2n）（a=≠±1）是递增数列，试确定a的取值范围．

解法一∵数列{an}是递增数列，∴an+1＞an

an+1－an＝（a2－1）[（n＋1）3－2（n＋1）]－（a2－1）（n3－2n）

＝（a2－1）[（n＋1）3－2（n＋1）－n3＋2n]

＝（a2－1）（3n2＋3n－1）

∵（a2－1）（3n2＋3n－1）＞0

又∵n∈N*，∴3n2＋3n－1=3n（n＋1）－1＞0

∴a2－1＞0，解得a＜－1或a＞1．

解法二∵{an}是递增数列，∴a1＜a2即：

（a2－1）（1－2）＜（a2－1）（8－4）

化简得a2－1＞0

∴a＜－1或a＞1

说明本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题

一、选择题（8×5＝40分）

1．（2009•四川南充一模）在等比数列{an}中，若a5a6＝3π2，则sin（a4a7）等于（　　）

A.12　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．－1

答案：

D

解析：

由等比数列性质，知a4•a7＝a5•a6＝3π2.所以sin（a4•a7）＝－1.

2．若a、b、c是互不相等的实数，且a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，则abc等于（　　）

A．（－2）：

1：

4B．1：

2：

3

C．2：

3：

4D．（－1）：

1：

3

答案：

A

解析：

因为2b＝a＋c，a2＝ac，故abc＝（－2）14，故选A.

3．若抛物线x2＝2py（p＞0）上三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点到焦点的距离（　　）

A．成等差数列

B．成等比数列

C．既不成等差也不成等比数列

D．常数列

答案：

A

4．△ABC三边为a、b、c，若1a，1b，1c成等差数列，则边b所对的角为（　　）

A．锐角B．钝角

C．直角D．不好确定

答案：

A

解析：

∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c.

使用特殊值法，不妨设a＝b＝c＝1，

则b边所对的角为π3，

∴△ABC为锐角三角形．

∴选A.

5．（2009•重庆，5）设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）

A.n24＋7n4B.n23＋5n3

C.n22＋3n4D．n2＋n

答案：

A

解析：

由题意知设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a23＝a1a6，即（2＋2d）2＝2（2＋5d），整理得2d2－d＝0.

∵d≠0，∴d＝12，∴Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n24＋74n.故选A.

6．（2009•陕西，12）设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•…•xn等于（　　）

A.1nB.1n＋1C.nn＋1D．1

答案：

B

解析：

∵f′（x）＝（n＋1）xn，f（x）在点（1,1）处的切线斜率k＝n＋1，则切线方程：

y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0，∴切线与x轴交点的横坐标xn＝nn＋1，∴x1•x2•…•xn＝12×23×…×nn＋1＝1n＋1，故选B.

7．“神七”飞天，举国欢庆．据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征二号”系列火箭，在点火1分钟通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是（　　）

A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．20分钟

答案：

C

解析：

依题意知，a1＝2，n≥2时，an－an－1＝2，由等差数列求和公式可得，240＝2n＋n（n－1）2×2，解之得，n＝15，（n＝－16舍去），故选C.

8．（2010•广东湛江高三月考试题）设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状为（　　）

A．等腰直角三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．钝角三角形

答案：

B

解析：

∵A、B、C成等差，∴2B＝A＋C，又∵A＋B＋C＝π，∴B＝π3，

又∵sinA、sinB、sinC成等比，∴sin2B＝sinAsinC，即b2＝ac，

又∵cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12

∴（a－c）2＝0，∴a＝c，又B＝π3，∴此三角形为等边三角形，故选B.

二、填空题（4×5＝20分）

9．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了________件产品．

答案：

5600

解析：

设甲、乙分别生产了a－d，a，a＋d件，则a－d＋a＋a＋d＝3a＝16800.∴a＝5600.

10．（2009•浙江温州）已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：

则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．

答案：

598

解析：

因为1＋2＋3＋…＋19＋10＝（1＋19）•192＋10＝200.所以此数阵中第20行从左到右的第10个数是a200，又∵a3＝7，a6＝16，可求得：

d＝3，a1＝1，∴a200＝1＋199×3＝598.

11．（2009•陕西西安名校一模）若数列{an}（n∈N*）是等差数列，则数列bn＝a1＋a2＋…＋ann也为等差数列，类比上述性质，若数列{cn}是等比数列，且cn＞0（n∈N*），则有dn＝________也是等比数列．

答案：

nc1•c2•c3•…•cn

解析：

由等差数列，等比数列的区别用类比推理可推得：

dn＝nc1•c2•c3•…•cn也是等比数列．

12．方程f（x）＝x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）＝xa（x＋2）有唯一不动点，且x1＝1000，xn＋1＝1f（1xn）（n∈N*），则x2011＝________.

答案：

2005

解析：

由xa（x＋2）＝x，得x1＝0，x2＝1－2aa，

∵x1＝x2，∴a＝12，∴f（x）＝2xx＋2，

∴xn＋1＝1xn＋22xn＝1＋2xn2＝xn＋12，

∴xn＝x1＋12（n－1），

∴x2011＝1000＋12（2011－1）＝2005.

三、解答题（3×10＝30分）

13．设两个方程x2－ax＋1＝0，x2－bx＋1＝0的四个根组成以2为公比的等比数列，求ab的值．

分析：

根据四个根成等比数列，可先恰当设出四个根，再由方程中的常数项同时为1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达定理得出根与系数的关系，从而求出ab的值．

解答：

设以2为公比，成等比数列的四个根依次为t,2t,4t,8t（t≠0）．

∵两方程x2－ax＋1＝0，x2－bx＋1＝0的常数项同为1，

∴只有t•8t＝12t•4t＝1时才有解，此时t2＝18，

∴t,8t是其中一个方程的两根，2t,4t是另一方程的两根，不妨设t,8t是x2－ax＋1＝0的两根，2t,4t是x2－bx＋1＝0的两根，

则t＋8t＝a2t＋4t＝b即a＝9tb＝6t，

∴ab＝54t2＝274.

总结评述：

等差、等比数列可与函数、方程，不等式、复数、三角等内容进行综合应用，而在求成等差、等比数列的几个数时，必须注意设元的技巧，如成等差数列的三个数可设为：

a－d，a，a＋d，成等比数列的三个数可设为aq－1，a，aq，从而简化运算．

14．（2007•上海，18）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如2003年的年生产量的增长率为36%）．

（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；

（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）?

解析：

（1）由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.

则2006年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8（兆瓦）．

（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则1420（1＋x）42499.8（1＋42%）4≥95%.

解得x≥0.615.

因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.

15．已知a1＝2，点（an，an＋1）在函数f（x）＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….

（1）证明数列{lg（1＋an）}是等比数列；

（2）设Tn＝（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an），求Tn及数列{an}的通项．

分析：

从题设入手，点（an，an＋1）在函数f（x）＝x2＋2x的图象上，可得：

an＋1＝a2n＋2an，两边同时加1得an＋1＋1＝（an＋1）2.取对数即可解决问题．

解答：

（1）由已知an＋1＝a2n＋2an，

∴an＋1＋1＝（an＋1）2.

∵a1＝2，∴an＋1＞1，两边取对数得：

lg（1＋an＋1）＝2lg（1＋an），

即lg（1＋an＋1）lg（1＋an）＝2

∴{lg（1＋an）}是公比为2的等比数列．

（2）由

（1）知lg（1＋an）＝2n－1•lg（1＋a1）

＝2n－1•lg3＝lg32n－1

∴1＋an＝32n－1.（*）

∴Tn＝（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an）

＝320•321•322•…•32n－1

＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.

由（*）式得an＝32n－1－1.

16．已知Sn是数列{an}的前n项和，且an＝Sn－1＋2（n≥2），a1＝2.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝1log2an，Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tn＞k12恒成立？

若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

解析：

（1）由已知an＝Sn－1＋2①

得an＋1＝Sn＋2②

②－①，得an＋1－an＝Sn－Sn－1（n≥2），

∴an＋1＝2an（n≥2）．

又a1＝2，∴a2＝a1＋2＝4＝2a1，

∴an＋1＝2an（n＝1,2,3，…）

所以数列{an}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，

∴an＝2•2n－1＝2n.

（2）bn＝1log2an＝1log22n＝1n，

∴Tn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，

Tn＋1＝bn＋2＋bn＋3＋…＋b2（n＋1）

＝1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＋12n＋1＋12n＋2.

∴Tn＋1－Tn＝12n＋1＋12n＋2－1n＋1

＝2（n＋1）＋（2n＋1）－2（2n＋1）2（2n＋1）（n＋1）.

＝12（2n＋1）（n＋1）.

∵n是正整数，∴Tn＋1－Tn＞0，即Tn＋1＞Tn.

∴数列{Tn}是一个单调递增数列，

又T1＝b2＝12，∴Tn≥T1＝12，

要使Tn＞k12恒成立，则有12＞k12，即k＜6，

又k是正整数，故存在最大正整数k＝5使Tn＞k12恒成立．