高中数学数列试题精选及答案.docx

1、高中数学数列试题精选及答案高中数学数列试题精选以及详细答案【例1】 求出下列各数列的一个通项公式解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为22n，所以，已知数列的(2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3，15，35，63，可以变形为13，35，57，79，即每一项可以看成序号n的(2n1)与2n1的积，也即(2n1)(2n1)，因此，所给数列的通项公式为：(3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，可变形为13，24，35，46，57，

2、即每一项可以看成序号n与n2的积，也即n(n2)各项的符号，奇数项为负，偶数项为正因此，所给数列的通项公式为：1，4，9，16，25，是序号n的平方即n2，分母均为2因此所【例2】 求出下列各数列的一个通项公式(1)2，0，2，0，2，(3)7，77，777，7777，77777，(4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，解 (1)所给数列可改写为11，11，11，11，可以看作数列1，1，1，1，的各项都加1，因此所给数的通项公式an(1)n+11所给数列亦可看作2，0，2，0周期性变化，因此所给数列的数列n，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，可以看作是2，(4

3、)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，可以改写说明1用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来2对于常见的一些数列的通项公式(如：自然数列，an=n；自然数的平方数列，ann2；奇数数列，an2n1；偶数数列，an=2n；纳出数列的通项公式3要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列几项【例4】 已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式(1)Sn2n23n (2)Snn21(3)Sn2n3 (4)S

4、n(1)n+1n解 (1)当n=1时，a1=S11；当n2时，anSnSn-1=(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，因此an=4n5(2)当n1时，a1S1=112；当n2时，anSnSn-1=n21(n1)212n1，由于a1不适合于此等式，(3)当n1时，a1=S123=5；当n2时，an=SnSn-12n3(2n-13)2n-1，由于a1不适合于此等式，(4)当n1时，a1S1=(1)21=1；当n2时，anSnSn-1=(1)n+1n(1)n(n1)=(1)n+1(2n1)，由于a1也适可于此等式，因此an(1)n+1(2n1)，nN*说明 已知Sn求an

5、时，要先分n1和n2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一(1)写出数列的前5项；(2)求an(2)由第(1)小题中前5项不难求出【例6】 数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2(1)求a3a5；解 由已知：a1a2a3ann2得说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法(2)运用方程思想求n，若nN*，则n是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项【例7】 已知数an=(a21)(n32n)(a=1)是递增数列，试确定a的取值范围解法一 数列an是递增数列，an+1anan+1an(a21)(n1)32(n1)(a21)(n32n)(a21)(n1)32(

6、n1)n32n(a21)(3n23n1)(a21)(3n23n1)0又nN*，3n23n1=3n(n1)10a210，解得a1或a1解法二 an是递增数列，a1a2即：(a21)(12)(a21)(84)化简得 a210a1或a1说明 本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题一、选择题(8540分)1(2009四川南充一模)在等比数列an中，若a5a632，则sin(a4a7)等于 ()A.12B0C1D1答案：D解析：由等比数列性质，知a4a7a5a632.所以sin(a4a7)1.2若a、b、c是互不相等的实数，且a、b、c成等差数列，c、a、

7、b成等比数列，则a b c等于 ()A(2)： 1：4 B1：2：3C2：3：4 D(1)：1：3答案：A解析：因为2bac，a2ac，故a b c(2) 1 4，故选A.3若抛物线x22py(p0)上三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点到焦点的距离 ()A成等差数列B成等比数列C既不成等差也不成等比数列D常数列答案：A4ABC三边为a、b、c，若1a，1b，1c成等差数列，则边b所对的角为 ()A锐角 B钝角C直角 D不好确定答案：A解析：1a，1b，1c成等差数列，2b1a1c.使用特殊值法，不妨设abc1，则b边所对的角为3，ABC为锐角三角形选A.5(2009重庆，5)设an是公差

8、不为0的等差数列，a12且a1，a3，a6成等比数列，则an的前n项和Sn ()A.n247n4 B.n235n3C.n223n4 Dn2n答案：A解析：由题意知设等差数列公差为d，则a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比数列，a23a1a6，即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d12，Snna1n(n1)2dn2474n.故选A.6(2009陕西，12)设曲线yxn1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1x2xn等于 ()A.1n B.1n1 C.nn1 D1答案：B解析：f(x)(n1)xn，f(x)在点(1,1)处的切线斜率k

9、n1，则切线方程：y1(n1)(x1)，令y0，切线与x轴交点的横坐标xnnn1，x1x2xn1223nn11n1，故选B.7“神七”飞天，举国欢庆据科学计算，运载“神舟七号”飞船的“长征二号”系列火箭，在点火1分钟通过的路程为2km，以后每分钟通过的路程增加2km，在到达离地面240km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是 ()A10分钟B13分钟C15分钟D20分钟答案：C解析：依题意知，a12，n2时，anan12，由等差数列求和公式可得，2402nn(n1)22，解之得，n15，(n16舍去)，故选C.8(2010广东湛江高三月考试题)设ABC的三内角A、B、C成等差数

10、列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状为 ()A等腰直角三角形 B等边三角形C直角三角形 D钝角三角形答案：B解析：A、B、C成等差，2BAC，又ABC，B3，又sinA、sinB、sinC成等比，sin2BsinAsinC，即b2ac，又cosBa2c2b22aca2c2ac2ac12(ac)20，ac，又B3，此三角形为等边三角形，故选B.二、填空题(4520分)9一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_件产品答案：56

11、00解析：设甲、乙分别生产了ad，a，ad件，则adaad3a16800.a5600.10(2009浙江温州)已知等差数列an中，a37，a616，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵： 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_答案：598解析：因为1231910(119)19210200.所以此数阵中第20行从左到右的第10个数是a200，又a37，a616，可求得：d3，a11，a20011993598.11(2009陕西西安名校一模)若数列an(nN*)是等差数列，则数列bna1a2ann也为等差数列，类比上述性质，若数列cn是等比数列，且cn0(nN*)，则有dn_也是等比数列答案：

12、nc1c2c3cn解析：由等差数列，等比数列的区别用类比推理可推得：dnnc1c2c3cn也是等比数列12方程f(x)x的根称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)xa(x2)有唯一不动点，且x11000，xn11f(1xn)(nN*)，则x2011_.答案：2005解析：由xa(x2)x，得x10，x212aa，x1x2，a12，f(x)2xx2，xn11xn22xn12xn2xn12，xnx112(n1)，x2011100012(20111)2005.三、解答题(31030分)13设两个方程x2ax10，x2bx10的四个根组成以2为公比的等比数列，求ab的值分析：根据四个根成等比数列，可

13、先恰当设出四个根，再由方程中的常数项同时为1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达定理得出根与系数的关系，从而求出ab的值解答：设以2为公比，成等比数列的四个根依次为t,2t,4t,8t(t0)两方程x2ax10，x2bx10的常数项同为1，只有t8t12t4t1时才有解，此时t218，t,8t是其中一个方程的两根，2t,4t是另一方程的两根，不妨设t,8t是x2ax10的两根，2t,4t是x2bx10的两根，则t8ta2t4tb即a9tb6t，ab54t2274.总结评述：等差、等比数列可与函数、方程，不等式、复数、三角等内容进行综合应用，而在求成等差、等比数列的几个数时，必须注意设

14、元的技巧，如成等差数列的三个数可设为：ad，a，ad，成等比数列的三个数可设为aq1，a，aq，从而简化运算14(2007上海，18)近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如2003年的年生产量的增长率为36%)(1)求2006年全球太阳电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；(2)目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安

15、装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?解析：(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.则2006年全球太阳电池的年生产量为6701.361.381.401.422499.8(兆瓦)(2)设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则1420(1x)42499.8(142%)495%.解得x0.615.因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.15已知a12，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，其中n1,2,3，.(1)证

16、明数列lg(1an)是等比数列；(2)设Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及数列an的通项分析：从题设入手，点(an，an1)在函数f(x)x22x的图象上，可得：an1a2n2an，两边同时加1得an11(an1)2.取对数即可解决问题解答：(1)由已知an1a2n2an，an11(an1)2.a12，an11，两边取对数得：lg(1an1)2lg(1an)，即lg(1an1)lg(1an)2lg(1an)是公比为2的等比数列(2)由(1)知lg(1an)2n1lg(1a1)2n1lg3lg32n11an32n1.(*)Tn(1a1)(1a2)(1an)32032132232n131

17、2222n132n1.由(*)式得an32n11.16已知Sn是数列an的前n项和，且anSn12(n2)，a12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn1log2an，Tnbn1bn2b2n，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tnk12恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由解析：(1)由已知anSn12得an1Sn2，得an1anSnSn1(n2)，an12an(n2)又a12，a2a1242a1，an12an(n1,2,3，)所以数列an是一个以2为首项，2为公比的等比数列，an22n12n.(2)bn1log2an1log22n1n，Tnbn1bn2b2n1n11n212n，Tn1bn2bn3b2(n1)1n21n312n12n112n2.Tn1Tn12n112n21n12(n1)(2n1)2(2n1)2(2n1)(n1).12(2n1)(n1).n是正整数，Tn1Tn0，即Tn1Tn.数列Tn是一个单调递增数列，又T1b212，TnT112，要使Tnk12恒成立，则有12k12，即k6，又k是正整数，故存在最大正整数k5使Tnk12恒成立