初三数学开放与探索总复习.docx

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初三数学开放与探索总复习

初三数学开放与探索总复习

专题三　开放与探索开放探索型问题有条开放与探索、结论开放与探索、条结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．题型以填空题、解答题为主．考向一　条开放问题

条开放探索问题的特征是缺少确定的条，所需补充的条不能由结论直接推出，而满足结论的条往往也是不唯一的．

【例1】如图，已知A⊥BD于点P，AP＝P，请增加一个条：

使△ABP≌△DP（不能添加辅助线），你增加的条是__________．

解析：

要证明△ABP≌△DP，已经给出了两个条：

AP＝P，A⊥BD（即∠APB＝∠PD＝90°），根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条角或者边．答案：

∠A＝∠，∠B＝∠D，AB∥D，BP＝DP，AB＝D．（任选其中一个）

方法归纳解决此类题的方法是：

从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条．

考向二　结论开放问题

结论开放探索问题是给出问题的条，让解题者根据条探索相应的结论，符合条的结论往往呈现多样性．

【例2】（2011广东河）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△AP和正△PBD．

（1）当△AP与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________（直接写结果）

（2）连接AD，B，相交于点Q，设∠AQ＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？

请说明理由．

（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？

（只需直接写出你的猜想，不必证明）

图1　　图2

分析：

（1）设等边△AP边长为x，高为32x，则面积为34x2，则等边△BDP边长为2a－x，高为32（2a－x），则面积为34（2a－x）2，

面积之和为S＝34x2＋34（2a－x）2＝32x2－3ax＋3a2，这是一个二次函数的最值问题．

当x＝a时，S最小＝32a2

（2）判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQ．

（3）根据

（2）证明过程或直观可得结论．

解：

（1）a

（2）α的大小不会随点P的移动而变化．

理由：

∵△AP是等边三角形，

∴PA＝P，∠AP＝60°

∵△BDP是等边三角形，

∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠AP＝∠BPD，

∴∠APD＝∠PB，∴△APD≌△PB，

∴∠PAD＝∠PB．

∵∠QAP＋∠QA＋∠AP＝120°，

∴∠QP＋∠QA＋∠AP＝120°，

∴∠AQ＝180°－120°＝60°

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°

方法归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．

考向三　条与结论开放问题

条、结论开放探索问题是指条和结论都不唯一，此类问题没有明确的条和结论，并且符合条的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．

【例3】

（1）如图1，在正方形ABD中，是B边（不含端点B，）上任意一点，P是B延长线上一点，N是∠DP的平分线上一点．若∠AN＝90°，求证：

A＝N

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：

在边AB上截取AE＝，连接E正方形ABD中，∠B＝∠BD＝90°，AB＝B．

∴∠N＝180°－∠AN－∠AB＝180°－∠B－∠AB＝∠AB＝∠AE

（下面请你完成余下的证明过程）

图1　　图2

（2）若将

（1）中的“正方形ABD”改为“正三角形AB”（如图2），N是∠AP的平分线上一点，则当∠AN＝60°时，结论A＝N是否还成立？

请说明理由．

（3）若将

（1）中的“正方形ABD”改为“正n边形ABD…X”，请你作出猜想：

当∠AN＝__________时，结论A＝N仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

分析：

证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．

（1）中给出了线段E，即想提示考生证明△AE≌△N由题目中的条知，只需再找一角即可．

（2）中解法同

（1），在AB上构造出线段AE＝，连接E进一步证明△AE≌△N（3）是将

（1）

（2）中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：

∠AN与正多边形的内角度数相等．

解：

（1）∵AE＝，∴BE＝B，

∴∠BE＝∠EB＝4°，∴∠AE＝13°

∵N平分∠DP，∴∠PN＝4°，∴∠AE＝∠N＝13°

在△AE和△N中，∵∠AE＝∠N，AE＝，∠EA＝∠N，

∴△AE≌△N，∴A＝N

（2）仍然成立．

在边AB上截取AE＝，连接E∵△AB是等边三角形，

∴AB＝B，∠B＝∠AB＝60°，

∴∠AP＝120°

∵AE＝，∴BE＝B，

∴∠BE＝∠EB＝60°，

∴∠AE＝120°

∵N平分∠AP，∴∠PN＝60°，

∴∠AE＝∠N＝120°

∵∠N＝180°－∠AN－∠AB＝180°－∠B－∠AB＝∠BA，∴△AE≌△N，∴A＝N

（3）（n－2）180°n

方法归纳解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条、结论开放探索问题，即条和结论都不确定，首先要认定条和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．一、选择题

1．如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（　　）A．4个B．6个．7个D．9个

2．根据图1所示的程序，得到了与x的函数图象（如图2），过点作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接P，Q则以下结论

①x＜0时，＝2x，

②△PQ的面积为定值，

③x＞0时，随x的增大而增大，

④Q＝2P，

⑤∠PQ可以等于90°

图1图2

其中正确的结论是（　　）

A．①②④B．②④⑤．③④⑤D．②③⑤

二、填空题

3．在四边形ABD中，AB＝D，AD＝B．请再添加一个条，使四边形ABD是矩形．你添加的条是__________．（写出一种即可）

4．若关于x的方程x2－x＋3＝0有实数根，则的值可以为__________．（任意给出一个符合条的值即可）

三、解答题

．如图，将△AB的顶点A放在⊙上，现从A与⊙相切于点A（如图1）的位置开始，将△AB绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α（0°<α<120°），旋转后A，AB分别与⊙交于点E，F，连接EF（如图2）．已知∠BA＝60°，∠＝90°，A＝8，⊙的直径为8

图1　　图2　　备用图

（1）在旋转过程中，有以下几个量：

①弦EF的长；②EF的长；③∠AFE的度数；④点到EF的距离．其中不变的量是__________（填序号）．

（2）当B与⊙相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．

6．如图1，△AB与△EFD为等腰直角三角形，A与DE重合，AB＝A＝EF＝9，∠BA＝∠DEF＝90°，固定△AB，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF（或它们的延长线）分别交B（或它的延长线）于G，H点，如图2

（1）问：

始终与△AG相似的三角形有__________及__________；

（2）设G＝x，BH＝，求关于x的函数关系式（只要求根据图2情形说明理由）；

（3）问：

当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

图1　图2

7．已知：

如图所示的一张矩形纸片ABD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交B边于点F，分别连接AF和E

（1）求证：

四边形AFE是菱形；

（2）若AE＝10，△ABF的面积为242，求△ABF的周长；

（3）在线段A上是否存在一点P，使得2AE2＝A•AP？

若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

8．已知：

二次函数＝x2＋bx－3的图象经过点P（－2,）．

（1）求b的值，并写出当1＜x≤3时的取值范围．

（2）设点P1（，1），P2（＋1，2），P3（＋2，3）在这个二次函数的图象上．

①当＝4时，1，2，3能否作为同一个三角形的三边的长？

请说明理由．

②当取不小于的任意实数时，1，2，3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

参考答案

专题提升演练

1．　以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选

2．B　根据图中所示程序，可得与x的函数关系式为＝－2x（x<0），4x（x>0），易知①错误；∵PQ∥x轴，∴点P在＝－2x上，∴S△P＝12××P＝12||＝1，同理可得S△Q＝2，∴S△PQ＝S△P＋S△Q＝1＋2＝3，∴②正确；当x＞0时，＝4x，随x的增大而减小，∴③错误；设＝a，当＝a时，P点的横坐标为－2a，Q点的横坐标为4a，则P＝2a，Q＝4a，则Q＝2P，∴④正确；当点在轴的正半轴上由下向上运动时，∠PQ由180°逐渐变小至0°，∴∠PQ可以等于90°，∴⑤正确．

3．∠A＝90°或∠B＝90°或∠＝90°或∠D＝90°或A＝BD（答案不唯一，写出一种即可）　由已知条AB＝D，AD＝B，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABD是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条为角是直角或对角线相等．

4．答案不唯一，所填写的数值只要满足2≥12即可，如4等　由于这个方程有实数根，因此Δ＝b2－4a＝（－）2－12＝2－12≥0，即2≥12

．解：

（1）①②④

（2）α＝90°依题意可知，△AB旋转90°后A为⊙直径，且点与点E重合，因此∠AFE＝90°∵A＝8，∠BA＝60°，∴AF＝12A＝4，EF＝43，∴S△AEF＝12×4×43＝83

6．解：

（1）△HGA　△HAB

（2）由

（1）可知△AG∽△HAB，

∴GAB＝ABH，即x9＝9，

∴＝81x

（3）由

（1）知△AG∽△HGA

∴要使△AGH是等腰三角形，只要△AG是等腰三角形即可．有两种情况，

（1）G为底，A＝AG时，得AG＝9，此时G等于92，

（2）G为腰，G＝AG时，此时G＝922

7．解：

（1）证明：

由折叠可知EF⊥A，A＝

∵AD∥B，

∴∠EA＝∠F，∠AE＝∠F

∴△AE≌△F

∴E＝F

∴四边形AFE是菱形．

（2）由

（1）得AF＝AE＝10

设AB＝a，BF＝b，得

a2＋b2＝100①，ab＝48②

①＋2×②得（a＋b）2＝196，得a＋b＝14（另一负值舍去）．

∴△ABF的周长为24

（3）存在，过点E作AD的垂线交A于点P，则点P符合题意．证明：

∵∠AEP＝∠AE＝90°，∠EAP＝∠AE，

∴△AE∽△AEP

∴AAE＝AEAP，得AE2＝A•AP，即2AE2＝2A•AP

又A＝2A，

∴2AE2＝A•AP

8．解：

（1）把点P代入二次函数解析式，得＝（－2）2－2b－3，解得b＝－2

所以二次函数解析式为＝x2－2x－3

当x＝1时，＝－4，当x＝3时，＝0，

所以当1＜x≤3时，的取值范围为－4＜≤0

（2）①＝4时，1，2，3的值分别为,12,21，

由于＋12＜21，不能成为三角形的三边长．

②当取不小于的任意实数时，由图象知1＜2＜3，1，2，3的值分别为2－2－3，2－4，2＋2－3，1＋2－3＝（2－2－3）＋（2－4）－（2＋2－3）＝2－4－4＝（－2）2－8，当不小于时成立，（－2）2≥9，所以（－2）2－8＞0，即1＋2＞3成立．

所以当取不小于的任意实数时，1，2，3一定能作为同一个三角形三边的长．