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初中数学几种主要思想方法教学的研究与实践
初中数学几种主要思想方法教学的研究与实践
上海市黄浦区青年教师联合课题组
一、研究背景与目标
在我国，“素质教育”已深刻地影响着教育改革的深入和发展。
它的特点就是追求学生的思维素质的提高，强调教育的目的是开发人的智力、开发人脑的资源。
素质教育的主要任务不仅是使学生掌握好基础知识和基本技能，而且要发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素质”，培养学生创新意识和创造能力。
数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学素质”，树立创新意识和创造能力的关键，数学思想方法的教学是数学教学中进行素质教育的突破口,既具有提高教育质量的近期效果，也具有全面提高人的素质的远期效果。
邓小平同志指出：
“教育要面向现代化，面向世界，面向未来。
”未来信息社会中计算机信息技术无处不体现出数学的思想和方法。
数学教学必须着眼于现代化，以适应21世纪数学教育发展和社会的要求。
加强数学思想方法的教学，将数学知识真正建立在数学思想方法基础之上，用现代数学的思想方法指导学生掌握数学的核心内容，并且能将知识和方法用于今后的工作和生活之中。
因此，在初中数学教育中，加强数学思想方法的研究，探索以数学思想方法的训练为核心，培养学生建立良好的学习方法，学会如何学习的教学方法，这是为了适应现代化社会对教育的需求,是现代科技革命和未来社会发展需要的必然结果。
俄国著名生理学家巴甫洛夫曾说：
“没有良好的方法，即使是有天才的人也将一事无成。
”数学思想方法乃是数学的规律与本质，学生掌握了数学思想方法，就能更快捷地获取知识，更透彻地理解知识。
我们在教学中注重从数学思想方法的角度进行分析，研究和讲授数学知识。
将不同层次的学生分为不同的阶段，有计划、分步骤地将数学思想方法的训练贯穿于教学始终，使学生不仅学会定理、法则等具体的数学内容，更重要的是使学生领悟隐含在其中的数学思想方法，使
指导：
李建国；组长、执笔：
张渝 ；
组员：
鲁海燕、汤霞、顾涵明、施仲涛、向宪贵、徐继平、张文漪、许颖
学生学会学习，为学生走上社会，用科学的思想方法观察社会打下良好的基础，以使他们终身受益。
本文仅对初中几种主要的数学思想方法的教学作初步探索。
一、目前状况分析
回顾学生四年的数学学科学习过程,我们不难看到普遍存在这样的现象：
学习目的不明确,对学习报无所谓的态度；或学习只是为了应付初三毕业时的那次考试;缺乏钻研精神,平时思想上怕吃苦,不肯开动脑筋多思考,有的作业靠抄袭完成,更多的是遇到问题一笔带过,懒于思考,不会提问,无法解答;认为所学的数学知识等自己踏上社会后不会用到或不常用到。
理由是:
“我爸爸妈妈不会因式分解,不会画二次函数,生活不是一样过得很好!
”
学生是为学而学,或者是应学不学,这和我们的社会、家庭有密切关系，更和我们数学教师有着直接关系。
和那些学生一样，有些教师确实是为应试而教，这表现在课堂教学缺乏激情，更缺乏创新能力。
对照书本照搬照抄，如先讲书上例题，而后做上若干题，阶段小结若干题，期中期末再循环。
也有的特别偏爱魔术般地板演刁钻难题而忽视基础知识与技能。
他们在数学教学中注重知识的传授，忽视知识发生过程中数学思想方法的教学的现象较普遍，为教而教的最终结果是渐渐泯灭了学生的学习兴趣，打消了学生的学习激情。
其次，拥有一种急功近利的浮躁心态，忽略了学生的基础、能力的差异。
当没达到学习目的时，往往怨天怨地怨学生，这样更谈不上用自己的人格魅力来感染学生。
淡化数学思想渗透的教学，加重了学生的负担，这些教学方法在素质教育蓬勃兴起的今天，显然不能适应新大纲的要求，更不利于学生数学素质的形式和数学能力的提高。
从当前的教材内容来看，整个教材中的知识点是数学的外显形式，学生易于发现，而数学思想方法则是数学的内在形式，是学生获取数学知识，发展数学能力的动力工具，如果学生掌握了数学思想方法，那么数学知识就不再是孤立、零散的东西，数学方法也不再是死板的教条，布鲁纳指出：
掌握数学思想方法可以使数学更容易理解和记忆，更重要的是领会数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”，如果把数学思想和方法学好了，在数学思想和方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力，使数学学习就较容易。
显然，加强数学思想方法的教学，是数学教学改革的新视角。
我们都知道社会的今天是昨天的延续，明天是今天的发展，这就要求学校通过教育，把社会昨天的知识转化为有助于学生从容应对明天社会的学习能力、思维品质、探究意识乃至态度、情感、价值观。
如果一味将大量昨天的知识满堂灌给学生，他们就感到学习已成为一种折磨已经超出了他们的心理承受能力，他们就用今天的愉悦来换取明天的成功，甚至表现出一些反常的行为。
即这种弊端与学生今后走向社会的“未来教育”相矛盾。
这就要求作为教师要反思、剖析自己的教法，要善于改进自己的教法。
教学不仅要使学生学会，而且要使学生会学、善学。
教师不仅要给学生金子，更重要的是要教给学生“点金术”，各种具体的数学知识是“点石成金”以后的金子，而统帅具体知识的数学思想方法，才是“点石”之指。
二、实施研究过程
我们初步确定了初中四年所要研究的几种主要的数学思想方法：
它们是化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、类比思想、方程思想、函数思想、整体思想、数学模型思想、抽象概括思想、字母表示数的思想和猜想反驳思想。
我们对以上这些思想方法作出初步的界定，每个组员既分又和，个人引领一至二个思想方法，在自己的教学中作出细化，进行微格教学。
既有纵向研究，又有横向探索。
既有对每种思想方法在初中四年教学中作出层层剖析，递进教学，又将它们在学生的每一个学习阶段中，进行整合教学。
我们在教学过程中强调“二个价值”的体现，即：
数学思想方法在学生学习数学过程中的价值体现和数学思想方法在学生的人格发展中的价值体现。
我们把实验结果用课例的形式作出展示。
在纵向方面，我们感到，数学思想方法的学习应贯穿与数学学习的始终，学生对每一种思想方法的领会和掌握，都要经过较长时间、不同内容的学习才能真正达到。
学生理解掌握数学思想方法的过程一般有三个阶段：
（1）潜意识阶段
（2）明朗化阶段（3）深刻化阶段。
与学生掌握数学思想方法实际过程相吻合的数学思想教学设计也有多次孕育、初步形成、应用发展三个阶段。
如，对数形结合思想，我们把它在教材中出现的次数作出统计：
课本节数
课本内容
4．1
有理数的意义
4．2
绝对值
4．3
有理数大小的比较
9．2
平面内点的位置与坐标
9．3
二元一次方程的图形
9．6
用图解法解二元一次方程组
10．3
不等式的解集
13．5
单项式乘法
21．4
正比例函数的图象和性质
21．5
反比例函数的图象和性质
23．2
一次函数的图象和性质
24．6
二次函数的图象和性质
24．7
分段函数
25．4
勾股定理及其应用
27．1
列方程解应运题
30．7
方差与标准差
31．3
圆与圆的位置关系
在每次教学中，遵循学生思维发展和认知过程的规律，经多次孕育、初步形成后，自然而然，进行应用发展阶段。
（详见文章《张开强劲的双翼-----数形结合思想的介绍》）
对于函数思想，由于在教材中出现频数较多，我们作出如下界定：
函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
函数的思想方法就是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系，并利用函数的性质研究、解决问题的一种数学思想方法。
函数是中学数学的一个重要概念，初中阶段主要学习一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数。
尽管内容不多，但函数的思想已经有所体现，仍占据着重要地位。
基础知识是否牢固，函数的思想是否基本形成，对高中阶段的进一步学习都有着相当大的影响。
函数的思想方法主要包括以下几方面：
运用函数的有关性质解决函数的某些问题；以运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决；经过适当的数学变化和构造，使一个非函数的问题转化为函数的形式，并运用函数的性质来处理这一问题。
在教学中，对函数的基本性质、函数与方程、函数与不等式、应用问题中的函数模型、函数与几何的教学作出探索。
（详见文章《数学思想方法-----函数》）
在横向方面，各年级结合学生年龄特征及认知特点，制定各学期的思想方法实施分布图。
数学思想方法的学习应贯穿于数学学习的始终，希望靠几节课就能奏效是不现实的。
学生对每一种思想方法的领会和掌握，都要经过较长时间、不同内容的学习才能真正达到。
学生理解掌握数学思想方法的过程一般有三个阶段：
（1）潜意识阶段
（2）明朗化阶段（3）深刻化阶段。
与学生掌握数学思想方法实际过程相吻合的数学思想教学设计也有多次孕育、初步形成、应用发展三个阶段。
正因为各种数学方法的形成都应有一定时间的孕育期，所以在初一年级教学中均安排为孕育期教学。
下面是我们制定的初一年级数学思想方法初步实施分布表：
章节内容训练方法
八一元一次方程化归
九二元一次方程组数形结合，数学模型
十一元一次不等式类比
十一平移与平行线演绎法
十二轴对称与等腰三角形分类、抽象与概括
十三整式的乘除换元
十四因式分解特殊化、抽象与概括
十五分式类比
十六旋转与圆抽象与概括
十七中心对称与平行四边形抽象与概括
十八全等三角形演绎，归纳与猜想
以下分别举例说明：
（1）抽象与概括方法的孕育训练
在第十四章：
因式分解中，在教学提公因式法时，先让学生观察多项式ma+mb+mc有什么特点？
学生不难看出该多项式各项都有公因式m，于是提出问题：
根据乘法分配律，可以将这个多项式写成什么形式？
由此得到ma+mb+mc=m（a+b+c）。
这时，进一步要求学生观察右式是什么形式？
当学生已认识到右边是两个整式的积的形式以后，教师再叙述提公因式法分解因式的意义，经过适当练习以后，可进一步引导学生概括出：
（1）提公因式法的意义
（2）提公因式法的适用条件：
多项式各项含有公因式（3）提公因式的原理：
乘法分配律。
其它几种因式分解方法都可作类似处理。
切忌老师讲授方法、学生操作演练，忽视学生在知识建构过程中主动性的简单化做法。
学完本章，可引导学生对因式分解的几种常用方法进行小结，概括出通常的思考顺序是“一提二公三分组”。
即：
（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式；
（2）各项没有公因式时，考虑能不能运用公式法分解因式，或者用十字相乘法进行分解；
（3）如果用上述方法都不能分解，最后再考虑分组分解法。
分组的目的是为提公因式和运用公式创造条件。
（2）数形结合方法的孕育训练
在第九章第二节平面内点的位置与坐标中，学生知道了一个有序数对（坐标）可在直角坐标平面内找到与之对应的点，反之，直角坐标平面内的任一点，也可以读出与之对应的有序数对（坐标）。
学生再次接触数与形的对应。
须引起学生注意的是，这时“数”已由一个有理数转变为一个有序数时，“形”也从数轴上的点变为平面上的点。
在第九章第三节二元一次方程的图形中，先让学生将二元一次方程的解写成有序数对，然后在直角坐标平面上作出与之对应的点，再将这些点连结起来，从而观察出二元一次方程的图形是一条直线。
这里，学生又一次接触到数与形的对应，即方程与直线的对应。
为在第九章第六节用图解法解二元一次方程组打下基础。
（3）归纳猜想方法的孕育训练
在第十八章第三节三角形全等的判定中，让学生在硬纸片上按给定两角及其夹边的条件画三角形。
要求同桌的学生按相同条件画三角形，即两角及其夹边的大小相同。
然后将三角形纸片剪下，并由同桌学生将他们的两个三角形纸片试行叠合，学生们会发现，尽管不同桌的学生，所选取的两角及其夹边的大小不相同，但是同桌者按相同条件画出的两个三角形都能够重合，于是，教师可引导学生作如下猜想：
在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等。
这个猜想是否正确呢？
我们需要作进一步的研究，即通过其他手段来证明。
对于由“边、角、边”，“边、边、边”判定三角形全等的定理可作类似处理。
（4）演绎法的孕育训练
在第十二章第二节等腰三角形中，由学生动手操作，通过翻折、度量等可得到等腰三角形的性质及判定方法。
这些性质及判定方法又可作为解决新问题的依据。
在解与等腰三角形有关的计算问题时，都要写出相应的依据，例如：
在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°
BD是∠B的平分线，交AC于D，
那么图形中一共有几个等腰三角形？
解：
∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠C（等边对等角）
∵∠A+∠ABC+∠C=180°（三角形内角和为180°）
∠A=36°（已知）
∴∠ABC=∠C=72°（等式性质）
∵BD为∠ABC平分线（已知）
∴∠1=∠2=36°（等式性质）
∵∠BDC=∠C=72°（已证）
∠1=∠A=36°（已证）
∴BD=BC，AD=DB（等角对等边）
∴图中共有三个等腰三角形。
这道例题的解答，可通过教师分析、引导，学生计算、填写理由共同完成。
但必须使学生认识到，每下一个结论，都必须有依据，而且这些依据不能错位，即解答过程中的“∴”、“∵”应与相应的性质、判定方法中的条件、结论相符。
又如：
结合初三实际，在上半学期进行初步形成期的终结训练，下半学期在毕业复习时，进入到一个深刻化阶段。
下面是我们制定的初三年级上半学期数学思想方法初步实施分布图
二元一次方程的应用数学模型
分式方程、无理方程类比、化归、换元
平行线分线段成比例归纳猜想
解直角三角形化归
以下分别举例说明：
（1）二元一次方程应用中的数学模型初步形成训练
所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述出来的一种数学结构。
通俗地讲就是生活问题数学化。
在二元一次方程的应用题的解答中，要进行有序的训练
如：
通过让学生市场调查，一款诺基亚手机，原价为2000元，经过连续两次降价后，现价为1805元，如果每次降价的百分率相同，那么平均每次降价的百分率是多少？
设：
平均每次降价的百分率是x，根据题意得2000（1-x）2=1805
解得x1=0.05，x2=1.95。
经检验，x2=1.95不合题意，舍去。
所以x=0.05
即，每次降价的百分率为5%。
（2）分式方程、无理方程中的类比、化归、换元初步形成训练
如：
在上无理方程一课时，我们没有按部就班对着教材照搬。
而是首先让学生看分式方程的解法，知道要解出分式方程就要将它转化为整式方程，转化的手段是两边去分母或换元。
再通过类比，学生发现要解出无理方程也要将它转化为整式方程，转化的手段是两边平方去根号或换元。
并且很快触类旁通，当方程中有两个根号时，都会类似解决。
教师用两种数学思想方法：
类比和转化，将教材中三节课的内容让学生轻松掌握。
更重要的是类比和转化这两种思想方法在其他学科的学习中、在生活中也常常会用到。
数学教材中很多新知识都是在原有的旧知识的基础上发展而来，无论从内容上、知识结构上，还是从研究思路和表现手法上，都有许多类似之处，这给运用类比教学提供了很好的条件。
通过对旧知识的回忆类比，给学生创设“最近发展区”，可以使学生猜想出新授知识的相关内容，激发学生的积极性，变被动听为主动学。
（3）平行线分线段成比例中的归纳猜想初步形成训练
在28.2节平行线分线段成比例的教学中，首先让学生每人画直线L1与L2相交于点A，直线L3截L1与L2，并且分别与L1、L2相交于点C、E。
然后要求测量线段AB、BC、AD、DE的长，每人结果各不相同。
但当B点是AC中点时，AD=DE；当B点是AC三等分点时，也有AD=2DE。
这时鼓励学生大胆猜测，他们猜想线段AB、BC、AD、DE成比例。
这个猜想可以通过三角形的面积来证明而成为定理。
l3
在这里：
“实验---猜测---论证”的思想得到了实践，观察、猜想、归纳，从特殊到一般。
著名物理学家牛顿曾经说过，没有猜想，就不可能有伟大的发现。
数学领域中的许多问题都是通过猜想得到的。
在教学中重视学生观察能力和归纳能力的培养，有利于促进学生数学思维能力的发展。
（4）解直角三角形中的化归思想初步形成训练
化归思想是初中数学中常见的一种思想方法。
“化归”是转化和归结的简称。
我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想。
正如古之“围魏救赵”是战史上“避实就虚”的典型战例,军事上的这种策略思想迁移到数学解题方面,可以这样理解它:
“实”是指繁、难、隐蔽、曲折，“虚”是指简、易、明显、径直。
在解题中表现为:
化难为易,避繁从简,转暗为明,化生为熟。
具体的说,即把生疏的问题转化为熟悉的问题,把抽象的问题转化为具体的问题,把复杂的问题转化为简单的问题,把一般的问题转化为特殊的问题,把高次的问题转化为低次的问题,把未知转化为已知,把一个综合的问题转化为几个基本的问题等等。
在解直角三角形这节的教学中，我们源于教材，高于教材，上了一节拓展课----《堤坝问题》。
在教学过程中，设计了这样一个情景，洪水汹涌而来，冲垮了堤坝，给人民的生活造成极大的损失，请学生做个小小设计师，看看怎样来修复堤坝。
同学们顿时兴趣昂然，提出了加高、加宽、既加高又加宽三种方案。
而在计算各类数据时，面对的是一个个梯形，在强烈的兴趣支配下，在教师适当的引导下，他们很快找到了解决问题的关键，即：
两个转化，1）将堤坝的横截面梯形转化为直角三角形，2）将已知条件中的坡比转化为锐角三角比。
数学问题的解决过程，是一系列的转化过程，化繁为简、化难为易、化未知为已知、化陌生为熟悉。
这在学生的解题过程中具有普遍的指导意义，在发明创新中显示了巨大的作用。
初三数学思想方法的训练，除了在新课教学过程中适时地进行渗透，还在毕业复习时，通过专题讲座的形式，概括数学思想方法，使学生自然进入到一个深刻化阶段。
在复习中，从数学思想方法的高度，概括、总结、揭示了一类问题的解题规律，从而提高了学生的解题能力，提高了学生的思维品质，使学生不仅会梳理知识，更会用数学思想方法进行反思，培养他们能在千变万化的问题情景中，善于握着数学思想方法这把金钥匙，灵活运用知识，发展思维。
如：
在复习图形的运动时，开设了《旋转》一课，在这节课中，创立了一个和学校课余活动有关的情景，通过学生动手操作，形象地引出旋转的概念，回忆起有关旋转的特点，会运用这些知识来解决问题；然后了解旋转变化在平面几何中的广泛应用，即可以利用旋转来添设辅助线，将分散的条件相对集中在一起。
通过多媒体教学课件，使学生看到在书本上看不到的图形运动过程，帮助学生提高各种能力。
通过一系列的师生讨论，努力使学生的接受性学习改变为研究性学习，使数学课成为培养学生主动探索知识的舞台。
三、引发的思考
在课题研究中，教师本人和学生一样，也经过了一个体验、感悟、实践的过程。
同时也是一个对教师地位、对数学教材、对各类学生的学习目的的重新认识过程。
1．对教师地位的重新认识
教师是影响学生数学学习的最为重要的客观因素，教师来年搞好的心理品质，对学生知识和技能、能力的发展以及动机和兴趣的培养，都起着极为重要的作用。
一个称职的数学教师应该是个热爱教育工作、热爱学生、热爱数学、对生活有激情的人。
他必须不断调动、维护、充实和更新自己成长的动力源，不断地战胜自我和超越自我。
改变自己仅仅是个灌输者的身份，让自己是学习者、研究者、实践者。
教学必须以学生发展为本，提高学生自主学习的程度，要体现出现代教育所具有的主动性、民主性、合理性、多样性等时代特征，教师的角色逐步从知识的传授者转变为学生自主学习的指导者和促进者，我们的教学手段，必须为此而改进和创设。
在学生学习困难和思维障碍时，要及时介入，使他的主动学习得以延续，并能提高思维层次。
创造出条件让每个学生都有充分表现袭击、发展自己的机会。
对于平时学习能力教弱，或性情较内向的学生，让他们在水平接近的同学之间易放开思维互帮互助，给予思考的空间，尝试到成功的喜悦，使他们觉得自己能行，激发出智慧和潜能。
即让自己成为学生学习的参与者、小伙伴、好参谋、鼓励者。
2．对初中数学教材教法的重新认识
历来的课程教材主宰着课堂，教师指教棒，学生捧书本，教育千人一面，教学百技一划，教法十面一出。
这种要学生单纯适应教材的做法，从根本上说，学生永远是被动的。
要从学生成长角度与终身受益的战略高度和策略深度全面权衡，真正做到以学生发展为本，不能光从学科本位出发，要与相关的学科、相关的领域结合在一起，要与生活实际结合在一起。
教师要有驾驭教材、拓展教材的能力。
3．对各类学生最终学习目的重新认识
在我们的学生中，学习的直接目的是掌握知识点，中期目的是升学，最终目的是顺利地融入社会，会生活。
我们不求个个升学，但求人人成为有益于这会的合格公民、合格劳动者。
要让学生学会对自己负责，自尊、自知、自爱、自治、自立。
其次要让他们学会对他人、对集体、对社会负责，遵纪守法、友爱合作。
还要让他们学会对周围事物进行思考、学会对知识技能进行思考、学会对自身行为进行思考。
他们中的一部分在完成义务教育后就能直接或经过职业培训进入社会各种岗位，他们将成为我国数以万计的工业、农业、商业等各行各业第一线的劳动者。
随着二期课改进一步深化，学生的学习方式发生了变化，由接受性学习变为研究性学习；学生的学习重点发生了转移，从培养学生“分析与解决问题的能力”转移到“发现与提出问题的能力”；教育评价也从重结果的终结性评价到重达到结果的过程性评价。
那么初中数学教育教给学生，特别是那些中下层次的学生究竟是些什么呢？
毫无疑问，是以数学知识为载体，以训练数学思想方法为手段，来开发学生潜能，让学生学会学习、学会生活。
即：
培养数学思维、树立数学理念、宏扬数学精神、提高数学素养。
数学思维要求定量化、精确化，要强调思维的逻辑性、缜密性。
凡事要“心中有数”，不能“大约”、“差不多”，要求学生学会实事求是，一是一，二是二。
要加强对数学思想的教育和数学美的熏陶，仅仅将数学作为一种工具，是远远不够评价数学在现代社会中的地位和价值。
一切科学离不开数学，社会文明的进步也离不开数学。
我们要让学生了解数学发展中所寓含着的无限丰富的精神内涵。
通过提高学生的数学素养来提高整个民族的数学素养。
使当年的“大跃进”等违背经济规律、自然规律的行为不在出现。
在实践过程中，我们遇到许多困惑，如：
对于一些学习较困难的同学，连基本知识点都无法接受，如何进行思想方法的教学？
又如，我们体会到数学思想方法在教学中的体现不是孤立、单一的，往往是若干种方法糅合渗透在一起，如何进行这方面的训练，使学生厚积薄发…….这些问题的出现，引导着我们在今后的教学中，做出更多、更新、更全的探索与实践！
当今世界科技发展一日千里，科学知识急剧增加，学生在今后的工作生活中有许多需要认识、探讨、分析和解决的纷繁复杂的问题。
我们要把数学思想方法的教学作为一把金光闪闪的钥匙来交给学生，让他们手握金钥匙来开启知识宝库，迎接新生活的挑战！
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