七年级数学下册《相交线与平行线 》解答题专项练习四.docx

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七年级数学下册《相交线与平行线》解答题专项练习四

七年级数学下册《相交线与平行线》解答题专项练习

1．如图，CE是∠ACD的平分线，过点A作CD的平行线交CE于点B．

（1）补全图形；

（2）求证：

∠ACB＝∠ABC；

（3）点P是射线CE上的一点（点P不与点B和点C重合），连接AP，∠PCD＝α，∠PAB＝β，∠APC＝γ，请直接写出α，β与γ之间的数量关系．

2．如图，AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠EOF＝100°．

（1）求∠BEO+∠DFO的值；

（2）如图2，直线MN交∠BEO、∠CFO的角平分线分别于点M、N，求∠EMN﹣∠FNM的值；

（3）如图3，EG在∠AEO内，∠AEG＝n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK＝n∠OFK．直线MN交FK、EG分别于点M、N，若∠FMN﹣∠ENM＝50°，则n的值是　　．

3．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．

（1）若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；

（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．

4．概念学习．已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．

理解应用

（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．

①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；　　；

②任意的三角形都存在等角点；　　；

（2）如图①，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PBC，探究图①中，∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．

解决问题

如图②，在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点，求△ABC三角形三个内角的度数．

5．如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

6．已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．

7．如图，已知CD∥BF，∠B+∠D＝180°，求证：

AB∥DE．

8．如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，CD∥EF，∠1＝∠2．

（1）判断DG与BC的位置关系，并说明理由；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠3＝85°，且∠DCE：

∠DCG＝9：

10，试说明AB与CD有怎样的位置关系？

9．完成推理填空．

填写推理理由：

如图：

EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．

∵EF∥AD，

∴∠2＝　　，（　　）

又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，

∴AB∥　　，（　　）

∴∠BAC+　　＝180°，（　　）

又∵∠BAC＝70°，

∴∠AGD＝110°．

10．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为　　，∠BOE的邻补角为　　；

（2）若∠AOC＝70°，且∠BOE：

∠EOD＝2：

3，求∠AOE的度数．

参考答案

1．解：

（1）根据题意作图如下，

（2）∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD，

∵∠ACB＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠ABC；

（3）当点P在B、C两点之间时，α+β＝γ，如图2，过P点作PQ∥AC于点Q，

∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，

∴∠CPQ+∠APQ＝α+β，

∴∠APC＝α+β，即α+β＝γ；

当点P在CB的延长线上时，α﹣β＝γ，如图3，过P作PQ∥AC于点Q，

∴∠CPQ＝∠PCD＝α，∠APQ＝∠BAP＝β，

∴∠CPQ﹣∠APQ＝α﹣β，

∴∠APC＝α﹣β，即α﹣β＝γ．

2．

（1）证明：

过点O作OG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥OG∥CD，

∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，

∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，

即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，

∵∠EOF＝100°，

∴∠BEO+∠DFO＝260°；

（2）解：

过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，

∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，

设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，

∵∠BEO+∠DFO＝260°

∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，

∴x﹣y＝40°，

∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，

∴AB∥MK∥NH∥CD

，

∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，

∴∠EMN+∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）

＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y

＝x﹣y

＝40°，

故∠EMN﹣∠FNM的值为40°；

（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，

∵AB∥CD，

∴∠AKF＝∠KFD，

∵∠AKF＝∠∠EHK+∠HEK＝∠EHK+∠AEG，

∴∠KFD＝∠EHK+∠AEG，

∵∠EHK＝∠NMF﹣∠ENM＝50°，

∴∠KFD＝50°+∠AEG，

即∠KFD﹣∠AEG＝50°，

∵∠AEG＝n∠OEG，FK在∠DFO内，∠DFK＝n∠OFK．

∴∠CFO＝180°﹣∠DFK﹣∠OFK＝180°﹣∠KFD﹣

∠KFD，

∠AEO＝∠AEG+∠OEG＝∠AEG+

∠AEG，

∵∠BEO+∠DFO＝260°，

∴∠AEO+∠CFO＝100°，

∴∠AEG+

∠AEG+180°﹣∠KFD﹣

∠KFD＝100°，

即

，

∴

，

解得n＝

．

故答案为

．

3．解：

（1）如图1，过点E作EF∥PQ，

∵∠CBN＝100°，∠ADQ＝130°，

∴∠CBM＝80°，∠ADP＝50°，

∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，

∴∠EBM＝

∠CBM＝40°，∠EDP＝

∠ADP＝25°，

∵EF∥PQ，

∴∠DEF＝∠EDP＝25°，

∵EF∥PQ，MN∥PQ，

∴EF∥MN．

∴∠FEB＝∠EBM＝40°

∴∠BED＝25°+40°＝65°；

（2）有3种情形，如图2中，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．

∵PQ∥MN，

∴∠QDH＝∠DHA＝

n，

∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣（

n）°+40°＝220°﹣（

n）°，

当点E在直线MN的下方时，如图3中，设DE交MN于H．

∵∠HBE＝∠ABP＝40°，∠ADH＝∠CDH＝（

n）°，

又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，

∴∠BED＝（

n）°﹣40°，

当点E在PQ上方时，如图4中，设PQ交BE于H．同法可得∠BED＝40°﹣

n°．

综上所述，∠BED＝220°﹣（

n）°或（

n）°﹣40°或40°﹣（

n）°．

4．解：

理解应用

（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题；

②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点；

故答案为：

真命题，假命题；

（2）如图①，∵在△ABC中，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC＝∠PBC，

∴∠BPC＝∠ABP+∠PBC+∠ACP＝∠ABC+∠ACP；

解决问题

如图②，连接PB，PC

∵P为△ABC的角平分线的交点，

∴∠PBC＝

∠ABC，∠PCB＝

∠ACB，

∵P为△ABC的等角点，

∴∠PBC＝∠BAC，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠BAC，∠ACB＝∠BPC＝4∠A，

又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，

∴∠A+2∠A+4∠A＝180°，

∴∠A＝

，

∴该三角形三个内角的度数分别为

，

，

．

5．∠AED＝∠C．

证明：

∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义）

∠1+∠2＝180°（已知）

∴∠2＝∠4（同角的补角相等）

∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）

∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）

又∵∠B＝∠3（已知），

∴∠ADE＝∠B（等量代换），

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）

∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．

6．解：

∵CO⊥OE，

∴∠COE＝90°，

∵∠COF＝34°

∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°

又∵OF平分∠AOE

∴∠AOF＝∠EOF＝56°

∵∠COF＝34°

∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°

则∠BOD＝∠AOC＝22°．

7．证明：

∵CD∥BF，

∴∠AOC＝∠ABF，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠BOD＝∠ABF，

∵∠B+∠D＝180°，

∴∠BOD+∠D＝180°，

∴AB∥DE．

8．解：

（1）DG∥BC．

理由：

∵CD∥EF，

∴∠2＝∠BCD．

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠BCD，

∴DG∥BC；

（2）CD⊥AB．

理由：

∵由

（1）知DG∥BC，∠3＝85°，

∴∠BCG＝180°﹣85°＝95°．

∵∠DCE：

∠DCG＝9：

10，

∴∠DCE＝95°×

＝45°．

∵DG是∠ADC的平分线，

∴∠ADC＝2∠CDG＝90°，

∴CD⊥AB．

9．解：

∵EF∥AD（已知），

∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），

∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），

∵∠BAC＝70°，

∴∠AGD＝110°，

故答案为：

∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．

10．解：

（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE；

故答案为：

∠BOD，∠AOE；

（2）∵∠DOB＝∠AOC＝70°，∠DOB＝∠BOE+∠EOD，∠BOE：

∠EOD＝2：

3，

∴

，

∴

，

∴∠BOE＝28°，

∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝152°．