届湖北省荆州市高三质量检查III数学文试题.docx
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届湖北省荆州市高三质量检查III数学文试题
荆州市2018届高三年级质量检查(Ⅲ)
数学(文史类)
第Ⅰ卷选择题(60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的答案填涂在答题卡上.
1.设全集,集合,,则()
A.B.C.D.
2.若复数是纯虚数,其中是实数,则()
A.B.C.D.
3.下列命题正确的是()
A.命题“”为假命题,则命题与命题都是假命题;
B.命题“若,则”的逆否命题为真命题;
C.“”是“”成立的必要不充分条件;
D.命题“存在,使得”的否定是:
“对任意,均有”.
4.已知数列满足,且,则()
A.-3B.3C.D.
5.《世界数学史简编》的封面有一图案(如图),该图案的正方形内有一内切圆,圆内有一内接正三角形,在此图案内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为()
A.B.C.D.
6.把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则()
A.图象关于直线对称B.在上单调递减
C.图象关于点对称D.在上单调递增
7.实数,满足约束条件,则的最大值是()
A.0B.-2C.2D.4
8.函数的图象大致是()
A.B.C.D.
9.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()
A.14B.15C.16D.17
10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()
A.B.C.D.12
11.已知双曲线:
的左、右焦点分别为、,为坐标原点,以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、,点为圆与轴正半轴的交点,若,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
12.若函数有且只有两个零点,则实数的取值范围为()
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷非选择题(90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卷的横线上.
13.平面向量,,若向量与共线,则.
14.某医院随机抽取20位急症病人家属了解病人等待急症的时间,记录如下表:
等待急症时间(分钟)
频数
4
8
5
2
1
根据以上记录,病人等待急症平均时间的估计值分钟.
15.已知底面是直角三角形的直三棱柱的所有顶点都在球的球面上,且,若球的表面积为,则这个直三棱柱的体积是.
16.高斯函数又称为取整函数,符号表示不超过的最大整数.设是关于的方程的实数根,,.则:
(1);
(2).
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
17.在中,角、、的对边分别为、、,且.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)若,的面积为,求的值.
18.在四棱锥中,,,,是以为斜边的等腰直角三角形,平面平面.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若点在线段上,且,求三棱锥的体积.
19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定:
机动车行经人行横道时,应当减速慢行;遇到行人正在通过人行横道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:
月份
1
2
3
4
5
6
不“礼让斑马线”驾驶员人数
120
105
100
85
90
80
(Ⅰ)请根据表中所给前5个月的数据,求不“礼让斑马线”的驾驶员人数与月份之间的回归直线方程;
(Ⅱ)若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5,则称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据(Ⅰ)中的回归直线方程,判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”?
(Ⅲ)若从表中3、4月份分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式:
,.
20.已知倾斜角为的直线经过抛物线:
的焦点,与抛物线相交于、两点,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点的两条直线、分别交抛物线于点、和、,线段和的中点分别为、.如果直线与的斜率之积等于1,求证:
直线经过一定点.
21.已知函数,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)当,时,证明:
;
(Ⅱ)当时,讨论函数的极值点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在极坐标系中,已知圆的圆心为,半径为.以极点为原点,极轴方向为轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数,且).
(Ⅰ)写出圆的极坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若直线与圆交于、两点,求的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
设不等式的解集为.
(Ⅰ)求集合;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.
荆州市2018届高三年级质量检查(Ⅲ)
数学(文科)参考答案
一、选择题
1-5:
CBBAA6-10:
DDACC11、12:
DA
二、填空题
13.14.7.615.16.
(1)2;
(2)
三、解答题
17.解:
(Ⅰ)方法一:
由余弦定理可得,
整理得:
,即,
又为三角形的内角,∴.
方法二:
由正弦定理可得:
,
,
,
,又为三角形的内角,.
(Ⅱ)由题意:
,
在三角形中:
,
即,
联立①②解得.
18.(Ⅰ)证明:
取,的中点分别为,,连接,.
∵是以为斜边的等腰直角三角形,
∴.
∵平面平面,平面平面,
∴平面,而,
∴①
又∵,,,
∴四边形为正方形,且,
∴,即②
由①②及得:
面,
又∵面,∴,
又∵,,
∴面,而面,
∴.
(Ⅱ)过点作于,则面且,
(或由(Ⅰ)得面,)
19.解:
(Ⅰ)依题意,,
,,
∴关于的线性回归方程为:
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,当时,.
,故6月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.
(Ⅲ)设3月份选取的4位驾驶的编号分别为:
,,,,从4月份选取的2位驾驶员的编号分别为,,从这6人中任抽两人包含以下基本事件:
,,,,,,,,,,,,,,共15个基本事件,其中两个恰好来自同一月份的包含7个基本事件,
∴所求概率.
20.解:
(Ⅰ)由题意可设直线的方程为,令,.
联立得,∴,
根据抛物线的定义得,又,又,∴,∴.
则此抛物线的方程为.
(Ⅱ)设直线的斜率为,则直线的斜率为.
于是直线的方程为,即,
联立得,∴,
则,∴,
同理将换成得:
,
∴.
则直线的方程为,
即,显然当,.
所以直线经过定点.
21.解:
(Ⅰ)依题意,因为,只要证,
记,,则.
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
所以,即,原不等式成立.
(Ⅱ)
,
记,.
(1)当时,,在上单调递增,,,
所以存在唯一,,且当时,;当,,
①若,即时,对任意,,此时在上单调递增,无极值点.
②若,即时,此时当或时,.即在,上单调递增;当时,,即在上单调递减.
此时有一个极大值点和一个极小值点-1.
③若,即时,此时当或时,.即在,上单调递增;当时,,即在上单调递减.
此时有一个极大值点-1和一个极小值点.
(2)当时,,所以,显然在单调递减;在上单调递增.
综上可得:
①当或时,有两个极值点;
②当时,无极值点;
③当时,有一个极值点.
22.解:
(Ⅰ)法一:
在极坐标系中,令,,
在中,为直径,,
∵消去参数得直线的普通方程为:
.
法二:
在直角坐标系中,圆的圆心为,则方程为.
即,∴,
即.
(Ⅱ)法一:
直线过圆内一定点,当时,有最小值,
∴.
法二:
点到直线的距离,
∴.
当时,有最小值.
23.解:
(Ⅰ)由已知,令,
由得.
(Ⅱ)将不等式整理成,
令,要使,
则,
∴,∴,∴.