三、典型例题
【例1】 判断下列函数是否为二次函数?
如果是,指出其中常数a、b、c的值.
（1）y=1-3x2;
（2）y=x（x-5）;
（3）y=x-x+1;（4）y=3x（2-x）+3x2;
（5）y=;（6）y=;
（7）y=x4+2x2-1.
解:
（1）、
（2）是二次函数.
（1）中,a=-3,b=0,c=1;
（2）中,a=1,b=-5,c=0.
【例2】 当k为何值时,函数y=（k-1）+1为二次函数?
解:
令k2+k=2,得k1=-2,k2=1.
当k1=-2时,k-1=-2-1=-3≠0;
当k2=1时,k-1=1-1=0.
所以当k=-2时,函数y=-3x2+1为二次函数.
【例3】 写出下列各题的函数关系式,并判断它们是什么类型的函数.
（1）正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系式;
（2）圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系式;
（3）菱形的两条对角线长的和为26cm,求菱形的面积S（cm2）与一条对角线长x（cm）之间的函数关系式.
解:
（1）S=6a2,是二次函数;
（2）y=,是二次函数;（3）S=x（26-x）,是二次函数.
四、巩固练习
1.（口答）下列函数中,哪些是二次函数?
（1）y=3x2-1;
（2）y=5x2-2x;（3）y=-2x2+x-1;（4）y=4-x3;（5）y=;（6）y=3x2+;（7）y=x2.
【答案】
（1）
（2）（3）（7）是二次函数
2.y=（m+1）-3x+1是二次函数,则m的值为 .
【答案】2
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与底面半径r之间的关系式.
【答案】S=4πr2
五、课堂小结
本节课主要学习了以下内容:
1.二次函数的概念:
形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）的函数叫做二次函数.
2.能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围.
教学反思
本节课从实际问题入手,结合学生已有的知识经验,观察、归纳出二次函数的概念以及二次函数的一般表达式y=ax2+bx+c（a、b、c是常数,a≠0）,并使学生从中体会函数的思想.在本节课的教学过程中,学生经常列不出二次函数关系式,对于实际问题会忘记给出自变量的取值范围,这些问题要通过加强训练来解决.
21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的图象是什么?
反比例函数的图象是什么?
（一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.）
2.画函数图象的一般步骤是什么?
一般步骤:
（1）列表（取几组x,y的对应值）;
（2）描点（根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y））;（3）连线（用平滑曲线）.
3.二次函数的图象是什么形状?
二次函数有哪些性质?
（运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.）
二、新课教授
【例1】 画出二次函数y=x2的图象.
解:
（1）列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
（2）描点:
根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点（x,y）.
（3）连线:
用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
思考:
观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
（1）二次函数y=x2的图象是什么形状?
（2）图象是轴对称图形吗?
如果是,它的对称轴是什么?
（3）图象有最低点吗?
如果有,最低点的坐标是什么?
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.
函数y=x2的图象是一条关于y轴（x=0）对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.
由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:
抛物线y=x2与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.
【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.
解:
分别填表,再画出它们的图象.
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
思考:
函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?
师生活动:
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.
学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.
抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是（0,0）,函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.
探究1:
画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,若发现问题,及时点拨.
学生汇报探究的思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是（0,0）,函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.
探究2:
对比抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?
抛物线y=ax2和y=-ax2呢?
师生活动:
学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.
学生汇报探究思路和结果,教师评价,给出图形.
抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.
教师引导学生小结（知识点、规律和方法）.
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
从二次函数y=ax2的图象可以看出:
如果a>0,当x<0时,y随x的增大而减小,当x>0时,y随x的增大而增大;如果a<0,当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小.
三、巩固练习
1.抛物线y=-4x2-4的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值,是 .
【答案】下 （0,-4） x=0 0 大 -4
2.当m≠ 时,y=（m-1）x2-3m是关于x的二次函数.
【答案】1
3.已知抛物线y=-3x2上两点A（x,-27）,B（2,y）,则x= ,y= .
【答案】-3或3 -12
4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为（2,b）,则k= ,b= .
【答案】 12
5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点（-1,-2）,则抛物线的表达式为 .
【答案】y=-2x2
6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A.y=x2 B.y=x2
C.y=-2x2D.y=-x2
【答案】C
7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是（ ）
A.y=x2B.y=4x2
C.y=-2x2D.无法确定
【答案】A
8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,下列说法错误的是（ ）
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线关于y轴对称
D.两条抛物线的交点为原点
【答案】C
四、课堂小结
1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一切实数.
2.二次函数y=ax2的性质:
抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.
3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.
教学反思
本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:
（1）例1是基础;
（2）在例1的基础之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;（3）例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;（4）最后让学生比较例1和例2,练习归纳总结.
第2课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
（1）
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法作出函数y=ax2+k的图象.
【过程与方法】
让学生经历二次函数y=ax2+k的性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k的性质及它与函数y=ax2的关系,培养学生观察、分析、猜测并归纳、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象,理解二次函数y=ax2+k的性质,理解函数y=ax2+k与函数y=ax2的相互关系.
【难点】
正确理解二次函数y=ax2+k的性质,理解抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的关系.
教学过程
一、问题引入
1.二次函数y=2x2的图象是 ,它的开口向 ,顶点坐标是 ,对称轴是 ,在对称轴的左侧,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 .函数y=ax2在x= 时,取最 值,其最 值是 .
2.抛物线y=x2+1,y=x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?
3.抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系?
二、新课教授
问题1:
对于前面提出的第2、3个问题,你将采取什么方法加以研究?
（画出函数y=x2+1、y=x2-1和函数y=x2的图象,并加以比较.）
问题2:
你能在同一直角坐标系中画出函数y=x2+1与y=x2的图象吗?
师生活动:
学生回顾画二次函数图象的三个步骤,按照画图的步骤画出函数y=x2+1、y=x2的图象,观察、讨论并归纳.
教师写出解题过程,与学生所画的图象进行比较,帮助学生纠正错误.
解:
（1）列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x2+1
…
10
5
2
1
2
5
10
…
（2）描点:
用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
（3）连线:
用光滑曲线顺次连接各点,得到函数y=x2和y=x2+1的图象.
问题3:
当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
师生活动:
教师引导学生观察上表并思考,当x依次取-3、-2、-1、0、1、2、3时,两个函数的函数值之间有什么关系?
学生观察、讨论、归纳得:
当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值比函数y=x2的函数值大1.
教师引导学生观察函数y=x2和函数y=x2+1的图象,先研究点（-1,1）和点（-1,2）、点（0,0）和点（0,1）、点（1,1）和点（1,2）的位置关系.
学生观察、讨论、归纳得:
反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4:
函数y=x2+1和y=x2的图象有什么联系?
学生由问题3的探索可以得到结论:
函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.
问题5:
现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?
生:
函数y=x2+1与函数y=x2的图象开口方向相同、对称轴相同,但顶点坐标不同,函数y=x2的图象的顶点坐标是（0,0）,而函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0,1）.
问题6:
你能由函数y=x2+1的图象得到函数y=x2+1的一些性质吗?
生:
当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值是y=1.
问题7:
先在同一直角坐标系中画出函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别.
师生活动:
教师在学生画函数图象的同时,巡视指导.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
解:
先列表:
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y=2x2+1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
…
y=2x2-1
…
7
3.5
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
7
…
然后描点画图,得y=2x2+1,y=2x2-1的图象.
教师让学生发表意见,归纳为:
函数y=2x2+1与函数y=2x2-1的图象的开口方向、对称轴相同,但顶点坐标不同.函数y=2x2-1的图象可以看成是将函数y=2x2+1的图象向下平移两个单位得到的.
问题8:
你能说出函数y=x2-1的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标以及这个函数的性质吗?
师生活动:
教师让学生观察y=x2-1的图象.
学生动手画图,观察、讨论、归纳.
学生分组讨论这个函数的性质,各组选派一名代表发言.最后归纳总结:
函数y=x2-1的图象的开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标是（0,-1）;当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大;当x=0时,函数取得最小值,最小值为y=-1.
三、巩固练习
1.在同一直角坐标系中,画出函数y=x2、y=x2+2、y=x2-2的图象.
（1）填表:
x
…
…
y=x2
…
…
y=x2+2
…
…
y=x2-2
…
…
（2）描点,连线:
【答案】略
2.观察第1题中所画的图象,并填空:
（1）抛物线y=x2+2的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ;抛物线y=x2+2是由抛物线y=x2向 平移 个单位长度得到的;
（2）对于y=x2-2,当x>0时,函数值y随x的增大而 ;当x<0时,函数值y随x的增大而 ;
（3）对于函数y=x2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2+2,当x= 时,函数取最 值,为 .
对于函数y=x2-2,当x= 时,函数取最 值,为 .
【答案】
（1）向上 x=0 （0,2） 上 2
（2）增大 减小 （3）0 小 0 0 小 2 0 小 -2
四、课堂小结
1.函数y=ax2（a≠0）和函数y=ax2+k（a≠0）的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位就得到函数y=ax2+k的图象.
2.抛物线y=ax2+k（a≠0）的性质.
（1）抛物线y=ax2+k（a≠0）的对称轴是y轴,顶点坐标是（0,k）.
（2）当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限伸展;
当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限伸展.
（3）当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大.这时,当x=0时,y有最小值k.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.这时,当x=0时,y有最大值k.
教学反思
通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:
首先,掌握函数y=ax2（a≠0）和函数y=ax2+k（a≠0）的图象形状相同,只是位置不同,把y=ax2的图象沿y轴向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位就得到y=ax2+k的图象;其次,能够理解a、k对函数图象的影响,初步体会二次函数关系式与图象之间的联系,渗透数形结合的思想,为今后的学习打下良好的基础;最后,形成严谨的学习态度和求简的数学精神.
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
（2）
教学目标
【知识与技能】
使学生能利用描点法画出二次函数y=a（x-h）2的图象.
【过程与方法】
让学生经历探究二次函数y=a（x-h）2性质的过程,理解函数y=a（x-h）2的性质,理解二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系,培养学生观察、分析、猜测、归纳解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
重点难点
【重点】
会用描点法画出二次函数y=a（x-h）2的图象,理解二次函数y=a（x-h）2的性质,理解二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
【难点】
理解二次函数y=a（x-h）2的性质,理解二次函数y=a（x-h）2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系.
教学过程
一、问题引入
1.抛物线y=2x2+1、y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么?
2.二次函数y=-（x+1）2的图象与二次函数y=-x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?
这两个函数的图象之间有什么关系?
二、新课教授
问题1:
你将用什么方法来研究问题引入2提出的问题?
（画出二次函数y=-（x+1）2和二次函数y=-x2的图象,并加以观察.）
问题2:
你能在同一直角坐标系中画出二次函数y=-x2与y=-（x+1）2的图象吗?
师生活动:
教师引导学生作图,巡视、指导.
学生在直角坐标系中画出图形.
教师对学生的作图情况作出评价,指正错误,出示正确的图形.
解:
（1）列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-
-2
-
0
-
-2
-
…
y=-（x+1）2
…
-2
-
0
-
-2
-
-8
…
（2）描点:
用表格中的各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;
（3）连线:
用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=-x2和y=-（x+1）2的图象.
问题3:
当函数值y取同一数值时,这两个函数的自变量之间有什么关系?
反映在图象上,相应的两点之间的位置又有什么关系?
师生活动:
教师引导学生观察上表,当y依次取0、-、-2、-时,两个函数的自变量之间有什么关系?
学生归纳得到,当函数值取同一数值时,函数y=-（x+1）2的自变量比函数y=-x2的自变量小1.
教师引导学生观察函数y=-（x+1）2和函数y=-x2的图象,先研究点（-1,-）和点（0,-）、点（-1,0）和点（0,0）、点（1,-2）和点（2,-2）的位置关系.
学生归纳得到:
反映在图象上,函数y=-（x+1）2的图象上的点都是由函数y=-x2的图象上
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