六年级奥数专题抽屉原理.docx
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六年级奥数专题抽屉原理
六年级奥数专题-抽屉原理
抽屉原理
(一)
专题简析:
如果给你5盒饼干,让你把它们放到4个抽屉里,那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中,那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学,那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条:
(1)如果把x+k(k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
(2)如果把m×x×k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”?
哪些是“元素”?
然后按以下步骤解答:
a、构造抽屉,指出元素。
b、把元素放入(或取出)抽屉。
C、说明理由,得出结论。
本周我们先来学习第
(1)条原理及其应用。
例题1:
某校六年级有学生367人,请问有没有两个学生的生日是同一天?
为什么?
把一年中的天数看成是抽屉,把学生人数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中,至少有一个抽屉中有2个元素,即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天,闰年一年有366天。
把天数看做抽屉,共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中,至少在一个抽屉里有两个人,因此,肯定有两个学生的生日是同一天。
练习1:
1、某校有370名1992年出生的学生,其中至少有2个学生的生日是同一天,为什么?
2、某校有30名学生是2月份出生的,能否至少有两个学生生日是在同一天?
3、15个小朋友中,至少有几个小朋友在同一个月出生?
例题2:
某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是:
有买一本的、二本的、也有三本的,问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)?
首先考虑买书的几种可能性,买一本、二半、三本共有7种类型,把7种类型看成7个抽屉,去的人数看成元素。
要保证至少有一个抽屉里有2人,那么去的人数应大于抽屉数。
所以至少要去7+1=8(个)学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。
买书的类型有:
买一本的:
有语文、数学、外语3种。
买二本的:
有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的:
有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7(种)把7种类型看做7个抽屉,要保证一定有两位同学买到相同的书,至少要去8位学生。
练习2:
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。
买书的情况是:
有买一本的、二本的、三本或四本的。
问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书(每种书最多买一本)?
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
每个学生从中任意借两本,那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种?
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子,颜色有绿、红、黄三种,问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的?
例题3:
一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的?
把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有1副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。
再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的,以此类推。
把四种颜色看成是4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有一副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。
根据抽屉原理,只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。
以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有
5+2+2=9(只)
答:
最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。
练习3:
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的?
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。
颜色有白、黑、蓝三种。
问:
最少要摸出多少只袜子,才能保证有3双同色的?
3、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。
每次从布袋中拿出一只袜子,最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子?
例题4:
任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数,这是为什么?
一个自然数除以4的余数只能是0,1,2,3。
如果有2个自然数除以4的余数相同,那么这两个自然数的差就是4的倍数。
一个自然数除以4的余数可能是0,1,2,3,所以,把这4种情况看做时个抽屉,把任意5个不相同的自然数看做5个元素,再根据抽屉原理,必有一个抽屉中至少有2个数,而这两个数的余数是相同的,它们的差一定是4的倍数。
所以,任意5个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数。
练习4:
1、任意6个不相同的自然数,其中至少有两个数的差是5的倍数,这是为什么?
2、任意取几个不相同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数?
3、证明在任意的(n+1)个不相同的自然数中,必有两个数之差为n的倍数。
例题5:
能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同?
由图29-1可知:
所有空格中只能填写1或2或3。
因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×5=5,最大是3×5=15。
从5到15共有11个互不相同的整数值,把这11个值看承11个抽屉,把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素,只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。
因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5,最大是15,从5到15共有11个互不相同的整数值。
而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个,所以,这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
练习5:
1、能否在6行6列方格表的每个空格中,分别填上1,2,3这三个数中的任一个,使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同?
为什么?
2、证明在8×8的方格表的每个空格中,分别填上3,4,5这三个数中的任一个,在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。
3、在3×9的方格图中(如图29-2所示),将每一个小方格涂上红色或者蓝色,不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同。
这是为什么?
答案:
练1
1、1992年共有366天,把它看成是366个抽屉,把370个人放入366个抽屉中,至少有一个抽屉里有两个人,因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。
2、2月份最多有29天,把它看作29个抽屉,把30名学生放入29个抽屉,至少有一个抽屉里有两个人,因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。
3、一年有12个月,把12个月看作12个抽屉,把15个小朋友放入12个抽屉中,至少有一个抽屉里有两个小朋友,因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。
练2
1、买书的类型中买一本的有4种,买二本的有6种,买三本的有4种,买4本的有一种,共有4+6+4+1=15种情况。
把种15种情况看出15个抽屉,要保证有两位同学买到相同的书,至少要去16位学生。
2、从三周图书种任意借2本,只有6种情况。
要保证有两个所借的图书属于同一种,至少要7个学生。
3、玻璃珠子的颜色有三种,要保证有2个同色,最少应取出4只珠子。
练3
1、思路同例3,最少要摸出11只手套才能保证有4付同色的。
2、把三种颜色看作3个抽屉,要保证有一双同色的就要摸出4只袜子,这时拿出1双同色的后,3个抽屉中还剩2只袜子。
以后,只要再摸出2只袜子就可保证有一双同色的。
因此,要保证有3双同色的,最少要摸4+2+2=8只袜子。
3、袋中有三种袜子时。
每次从袋中拿出一只袜子,有可能拿出8只都是同一颜色。
在余下两种颜色中要拿出一双同色的袜子,最少要取3只。
因此,最少要拿出8+3=11只才能保证其中至少有2双颜色不同的袜子。
练4
1、一个自然数除以5的余数可能是0、1、2、3、4,把这5种情况看做5个抽屉,6个不同的自然数放入这5个抽屉,必有一个抽屉中至少有两个数,这两数的余数是相同的,所以它们的差一定是5的倍数。
2、一个自然数除以8的余数可能是0、1、2、3、4、6、7,把这8种情况看做8个抽屉,要保证至少有两个数的差是8的倍数,就要保证至少有1个抽屉里有两个数,根据抽屉原理,要取9个不同的自然数,才能保证至少有两个数的差是8的倍数。
3、一个自然数除以n的余数可能是0、1、2、3、…..n-1,把这n种情况看作n个抽屉,把(n+1)个自然数反复如n个抽屉中去,则必有一个抽屉中有两个数,这两个数的余数相同,则它们的差一定能被n整除,也就是n的倍数。
练5
1、不可能。
因为每行、每列、每条对角线上的6个数的和最小是6,最大是18。
从6到18共有13个不同的整数值,而6行、6列及两条对角线上的各个数的和共有14个,所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
2、因为每行、每列、每条对角线上的8个数的和最小是24,最大是40。
从24到40共有17个互不相同的整数值,而8行、8列及两条对角线上的各个数的和共有18个,所以这14条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
3、每个方格中可涂上红、蓝两种不同的颜色,每列3个方格的土色就有2×2×2=8种不同情况,把这8种情况看做8个抽屉,根据抽屉原理,9列中至少有两列的土色方式是相同的。
第三十周抽屉原理
(二)
专题简析:
在抽屉原理的第
(2)条原则中,抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加,当元素总数达到抽屉数的若干倍后,可用抽屉数除元素总数,写成下面的等式:
元素总数=商×抽屉数+余数
如果余数不是0,则最小数=商+1;如果余数正好是0,则最小数=商。
例题1:
幼儿园里有120个小朋友,各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
把120个小朋友看做是120个抽屉,把玩具件数看做是元素。
则364=120×3+4,4<120。
根据抽屉原理的第
(2)条规则:
如果把m×x×k(x>k≥1)个元素放到x个抽屉里,那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素,即有人会得到4件或4件以上的玩具。
练习1:
1、一个幼儿园大班有40个小朋友,班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
2、把16枝铅笔放入三个笔盒里,至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。
这是为什么?
3、把25个球最多放在几个盒子里,才能至少有一个盒子里有7个球?
例题2:
布袋里有4种不同颜色的球,每种都有10个。
最少取出多少个球,才能保证其中一定有3个球的颜色一样?
把4种不同颜色看做4个抽屉,把布袋中的球看做元素。
根据抽屉原理第
(2)条,要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球,那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。
即2×4+1=9(个)球。
列算式为
(3—1)×4+1=9(个)
练习2:
1、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球?
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块,它们的形状、大小都一样。
当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时,为确保取出的木块中至少有4块颜色相同,应至少取出多少块木块?
3、一副扑克牌共54张,其中1—13点各有4张,还有两张王的扑克牌。
至少要取出几张牌,才能保证其中必有4张牌的点数相同?
例题3:
某班共有46名学生,他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语,每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同?
参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个小组的有6个类型,只参加三个组的有4种类型,参加四个组的有1种类型。
把4+6+4+1=15(种)类型看做15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=3×15+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
练习3:
1、某班有37个学生,他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几位同学订的报刊相同?
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
某班有52名同学,问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同?
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球,每人任意搬运两个,问:
在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同?
例题4:
从1至30中,3的倍数有30÷3=10个,不是3的倍数的数有30—10=20个,至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。
练习4:
1、在1,2,3,……49,50中,至少要取出多少个不同的数,才能保证其中一定有一个数能被5整除?
2、从1至120中,至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数?
3、从1至36中,最多可以取出几个数,使得这些数中没有两数的差是5的倍数?
例题5:
将400张卡片分给若干名同学,每人都能分到,但都不能超过11张,试证明:
找少有七名同学得到的卡片的张数相同。
这题需要灵活运用抽屉原理。
将分得1,2,3,……,11张可片看做11个抽屉,把同学人数看做元素,如果每个抽屉都有一个元素,则需1+2+3+……+10+11=66(张)卡片。
而400÷66=6……4(张),即每个周体都有6个元素,还余下4张卡片没分掉。
而这4张卡片无论怎么分,都会使得某一个抽屉至少有7个元素,所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。
练习5:
1、把280个桃分给若干只猴子,每只猴子不超过10个。
证明:
无论怎样分,至少有6只猴子得到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子里,每个格子最多可以放5颗棋子。
证明:
至少有5个格子中的棋子数目相同。
3、汽车8小时行了310千米,已知汽车第一小时行了25千米,最后一小时行了45千米。
证明:
一定存在连续的两小时,在这两小时内汽车至少行了80千米。
答案:
练1
1、把40名小朋友看做40个抽屉,将125件玩具放入这些抽屉,因为125=3×40+5,根据抽屉原理,可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具,所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。
2、把三个笔盒看做3个抽屉,因为16=5×3+1,根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。
3、把盒子数看成抽屉,要使其中一个抽屉里至少有7个球,那么球的个数至少应比抽屉个数的(7-1)倍多1,而25=4×(7-1)+1,所以最多方子4个盒子里,才能保证至少有一个盒子里有7个球。
练2
1、最少应取出(3-1)×5+1=11个球
2、至少取出(4-1)×3+1=10块木块。
3、如果没有两张王牌,至少要取(4-1)×13+1=40张,再加上两张王牌,至少要摸出40+2=42张,才能保证其中必有4张牌点数相同。
练3
1、小学六年中最多有2个闰年,共366×2+365×4=2191天,因为13170=6×2192+18,所以其中一定有7人是同年同月同日生的。
2、参加课外兴趣小组的学生共分四种情况,只参加一个组的有4种类型,只参加两个组的有6种类型,只参加三个字的有4种类型,参加四个组的有1种类型。
把4+6+4+1=15种类型看作15个抽屉,把46个学生放入这些抽屉,因为46=15×3+1,所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。
3、全班订阅报刊的类型共有3+3+1=7种,因为37=5×7+2,所以其中至少有6位学生订的报刊相同。
练4
1、在1~50中,5的倍数有50÷5=10个,不是5的倍数的就有50-10=40个,至少要取出40+1=41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。
2、在1~120中,4的倍数有120÷4=30个,不是4的倍数有120-30=90个,正是要取出90+1=91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。
3、差是5的两数有下列5组:
1、6,11、16,21、26,31、36;2、7,12、17,22、27;3、8,13、18,23、28、33;4、9,14、19,24、29,34;5、10,15、20,25、30、35。
要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数,最多只能从每组中各取1个数,即最多可以取5个数。
练5
1、把11秒钟看做11个抽屉,把100米看作100个元素,因为100=9×11+1,所以必有1个抽屉里超过9米,即必有某一秒钟,他跑的距离超过9米。
2、如图答30-1,把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角形。
把它看作4个抽屉,5个点看作5个元素,则一定有一个小三角形内有2个点,这2个点之间的距离不超过1。
3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条,余下一个50×40的长方形,它的面积为2000平方厘米,再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆,若剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话,那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。
因为×32×70的值就小于630×3.15=1984.52000,所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。