高中数学第二单元平面向量231向量数量积的物理背景与定义学案北师大版必修4.docx
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高中数学第二单元平面向量231向量数量积的物理背景与定义学案北师大版必修4
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
知识点一 向量的夹角
思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？
若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
思考2 △ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
梳理 两个向量夹角的定义
（1）已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则________称作向量a和向量b的夹角，记作________，并规定它的范围是______________.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝________.
（2）当__________时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作__________.
知识点二 向量在轴上的正射影
思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？
其在轴上的坐标的符号取决于谁？
梳理 向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l（如图）.
作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影），该射影在轴l上的坐标，称作a在________上的数量或在____________上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.
知识点三 向量的数量积（内积）
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？
特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
梳理 向量数量积的定义
____________叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosa，b.
知识点四 向量数量积的性质
思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？
反之成立吗？
思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？
当a与b反向时，a·b等于什么？
特别地，a·a等于什么？
思考3 ︱a·b︱与︱a||b︱的大小关系如何？
为什么？
对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
梳理 两个向量内积有如下重要性质
（1）如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝__________（a≠0）.
（2）a⊥b⇒a·b＝____，且a·b＝________⇒a⊥b（a≠0，b≠0）.
（3）a·a＝______或|a|＝________.
（4）cos〈a，b〉＝________________（|a||b|≠0）.
（5）|a·b|________|a||b|.
类型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当
（1）a∥b；
（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤：
（1）求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；
（2）分别求|a|和|b|；（3）求数量积，即a·b＝|a|·|b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·等于（ ）
A.－a2B.－a2C.a2D.a2
类型二 求向量的模
引申探究
若本例中条件不变，求|2a＋b|，|a－2b|.
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
反思与感悟 此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.
跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值.
类型三 求向量的夹角
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.
反思与感悟 当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π].
跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b方向上的正射影的数量为－3，b在a方向上的正射影的数量为－，求a与b的夹角θ.
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为（ ）
A.4B.－4C.2D.－2
2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于（ ）
A.1B.2C.3D.5
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则（a＋2b－c）2＝________.
4.在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________.
5.已知正三角形ABC的边长为1，求：
（1）·；
（2）·；（3）·.
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正（当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时），也可以为负（当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时），还可以为0（当a＝0或b＝0或θ＝90°时）.
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.在a·b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分别叫做b在a方向上的正射影的数量和a在b方向上的正射影的数量，要结合图形严格区分.
4.求射影有两种方法
（1）b在a方向上的正射影的数量为|b|cosθ（θ为a，b的夹角），a在b方向上的正射影的数量为|a|cosθ.
（2）b在a方向上的正射影的数量为，a在b方向上的正射影的数量为.
5.两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 存在夹角，不一样．
思考2 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，
∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.
梳理
（1）∠AOB 〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π
〈b，a〉
（2）〈a，b〉＝ a⊥b
知识点二
思考 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：
当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
梳理 轴l 轴l的方向
知识点三
思考1 W＝|F||s|cosθ.
思考2 a·b的运算结果是数量．
0·a＝0.
梳理 |a||b|cosa，b
知识点四
思考1 a⊥b⇔a·b＝0.
思考2 a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
思考3 ︱a·b︱≤︱a||b︱，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cosθ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.
当且仅当|cosθ|＝1，
即cosθ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”.
所以|a·b|≤|a||b|.
cosθ＝.
梳理
（1）|a|cos〈a，e〉
（2）0 0
（3）|a|2 . （4
（5）≤
题型探究
例1 解
（1）当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos180°
＝4×5×（－1）＝－20.
（2）当a⊥b时，θ＝90°，
∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.
（3）当a与b的夹角为30°时，
a·b＝|a|·|b|cos30°
＝4×5×＝10.
跟踪训练1 D
例2 解 a·b＝|a||b|cosθ
＝5×5×＝.
|a＋b|＝
＝
＝＝5.
|a－b|＝
＝
＝＝5.
引申探究
解 a·b＝|a||b|cosθ
＝5×5×＝，
|2a＋b|＝
＝
＝＝5.
|a－2b|＝
＝
＝＝5.
跟踪训练2 |3a＋b|＝20.
例3 解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos60°
＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝＝，
a·b＝（2m＋n）·（2n－3m）
＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝，故a与b的夹角为.
跟踪训练3 θ＝120°
当堂训练
1．D 2.A 3.11 4.－25
5．解
（1）∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos60°＝1×1×＝.
（2）∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos120°
＝1×1×＝－.
（3）∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos60°
＝1×1×＝.
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