Word版解析陕西省西安铁一中国际合作学校届高三上学期期末考试数学文试题.docx

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Word版解析陕西省西安铁一中国际合作学校届高三上学期期末考试数学文试题

2012—2013高三期末考试试题（文科数学）

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：

（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

1.若复数为虚数单位，则=（）

A.1B.C.D.

【答案】D

【解析】,所以=。

2．已知全集，若函数，集合N=

则=（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】集合，因为，所以，所以=。

3．某个容器的三视图中主视图与左视图相同，其主视图与俯视图如图所示，则这个容器的容积（不计容器材料的厚度）为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由三视图知：

原几何体为两个同底的圆锥和圆柱，其中圆锥和圆柱的底面半径为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，所以这个容器的容积为。

4．已知的值如表所示：

如果与呈线性相关且回归直线方程为，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，因为样本点的中心在回归直线上，所以代入得。

5．欧阳修《卖油翁》中写到：

（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴正好落入孔中的概率是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】易知铜钱的面积为，中间正方形的面积为，所以随机向铜钱上滴一滴油则油滴正好落入孔中的概率是。

6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面。

有下列四个命题：

（）

①若；②若；

③若；④若.

其中正确命题的序号是

A．①③B．①②C．③④D．②③

【答案】D

【解析】①若，错误，只有垂直于的交线时，才能得出；

②若，正确此为线面垂直的性质定理；

③若，正确，因为，所以；

④若，错误，可能平行，可能相交.

7．在△中，，则角等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，，所以由正弦定理得：

，由余弦定理得：

，因为C为△的内角，所以C=。

8.如图，为等腰三角形，°，设，，边上的高为.若用表示，则表达式为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】易知，在中,，所以，所以。

9．若双曲线的左右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成7:

5的两段，则此双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由题意知：

，所以。

10．等差数列中有两项和满足（其中，且），则该数列前项之和是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为，所以，，所以，

所以。

因为第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：

把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11.执行如右图所示的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是.

【答案】8

【解析】第一次循环得，此时应满足，再次循环；

第二次循环得，此时应满足，再次循环；

第三次循环得，此时应满足，再次循环；

第四次循环得，因为输出的n=5，所以此时应结束循环，故当S值不大于7时继续循环，大于7但不大于15时退出循环，故p的最小整数值为8。

12．已知变量满足条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是.

【答案】

【解析】画出约束条件的可行域，由得：

，若，则，此时目标函数在（1,1）处取得最小值，不满足题意；若，要满足目标函数仅在点处取得最小值，需，所以的取值范围是。

13．把函数图像上每一点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，所得图像的解析式为：

；

【答案】

【解析】把函数图像上每一点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，再向左平移个单位，得到函数的图像，所以所得图像的解析式为。

14．已知偶函数在区间上单调递增，且满足，给出下列判断：

（1）;

（2）在上是减函数；

（3）函数没有最小值；

（4）函数在处取得最大值；

（5）的图像关于直线对称.

其中正确的序号是.

【答案】

（1）

（2）（4）

【解析】因为，所以函数关于点（1，0）对称，画出满足条件的图形，结合图形可知

（1）

（2）（4）正确。

故答案为：

（1）

（2）（4）．

15．（考生注意：

请在下列三题中任选一题作答，若多做，按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若不等式对一切非零实数恒成立，则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】因为对一切非零实数，，所以要使不等式对一切非零实数恒成立，只需，即，所以实数的取值范围是。

B．（几何证明选做题）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为.

【答案】４

【解析】连接AC、OC，在∆ACB中，AC=,AB=8，BC=4，所以∠CAB=，又因为AD⊥，所以在∆ACD中，∠DCA=，DC=,AD=6，又DC2=DE∙AD，所以DE=2，所以AE=DA-DE=4.

C．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，

已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆C所截得弦长为.

【答案】

【解析】由，得：

；由，得：

，圆心到直线的距离为：

，所以弦长为。

三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16．（本题12分）

已知的角所对的边分别是，设向量，

，.

（1）若//，求证：

为等腰三角形；

（2）若⊥，边长，，求的面积.

17.（本小题满分12分）

已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且．

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）记，求的前n项和.

18．（本题满分12分）

从某学校高三年级800名学生

中随机抽取50名测量身高，据

测量被抽取的学生的身高全部

介于155cm和195cm之间，将

测量结果按如下方式分成八

组：

第一组．第二组

；…第八组，

右图是按上述分组得到的条形图。

（1）根据已知条件填写下表并估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上

（含180cm）的人数；

组别

1

2

3

4

5

6

7

8

样本数

（2）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：

实验小组中恰为一男一女的概率是多少？

19．（本题12分）

长方体中，，

，是底面对角线的交点.

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积.

21．（本题满分13分）

设函数（），其中。

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，求函数的极大值和极小值；

21．（本小题满分14分）

已知动点到点的距离等于它到直线的距离．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．

设线段,的中点分别为，求证：

直线恒过一个定点.

文科数学参考答案

一、选择题：

DABBADBDCB

二、填空题:

11.812.13.14.124

15．A．B．４C．

16、（本题12分）

解:

（1）

即，其中R是三角形ABC外接圆半径，…………5分

为等腰三角形……………………………………………6分

（2）由题意可知，……8分

由余弦定理可知，

…………………………10分

………………………………………12分

17.（本小题满分12分）

解:

（1）当时，，由，得．…………………（1分）

当时，，，

∴，即．　…………………………（3分）

∴．　　∴是以为首项，为公比的等比数列．……………（4分）

（2）设的公差为，则：

，，

∴．………………………（6分）

由

（1）可知：

．………………………（8分）

18.（本题满分12分）

解：

（1）由条形图得第七组频率为.

∴第七组的人数为3人.……………………………………3分

组别

1

2

3

4

5

6

7

8

样本中人数

2

4

10

10

15

4

3

2

由条形图得前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82,

后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800×0.18=144（人）.……………………………………7分

（2）第二组四人记为、、、，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：

a

b

c

d

1

1a

1b

1c

1d

2

2a

2b

2c

2d

3

3a

3b

3c

3d

所以基本事件有12个,

恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个,

因此实验小组中，恰为一男一女的概率是.…………………12分

19.（本题12分）

（1）证明：

连结

∵

∴平面…………4分

又∵在上，∴在平面上∴…………………………5分

∵∴∴

∴中，…………………………………6分

同理：

∵中，

∴…………………………………………………………7分

∴平面………………………………………………………8分

（2）解：

∵平面

∴所求体积……………………………………10分

………………………………12分

20．（本题满分13分）

解：

（I）当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，

整理得．……………………………………5分

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．………………10分

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且；

函数在处取得极大值，且．……13分

21．（本小题满分14分）

解：

（1）设动点的坐标为，由题意得，，---------------------------------------------3分

化简得，所以点的轨迹的方程为．-------------------5分

（2）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．

由题意可设直线的方程为，

由.---------------7分

.

因为直线与曲线于两点，所以，

．所以点的坐标为.------------9分

由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.--10分

当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，------------------11分

整理得.于是，直线恒过定点；-----12分

当时，直线的方程为，也过点．

综上所述，直线恒过定点．-----------------------------------14分