小学数学思维训练资料方法篇Word文档格式.docx
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意义：
由部分到整体，个别到一般的推理
定义：
①分类；
②逐类找出相同点；
③归纳相同点；
【准备】
在一个正方形纸片中划一条直线将把这张纸片分成两份，划两条直线将把这张纸片分成多少份？
划三条直线呢？
画四条直线呢？
划100条直线呢？
例1.3个孩子分20个苹果，每人至少1个，分得的苹果个数整数，则分配方法共有多少种？
【理解题意】
（1）20=
（2）甲≥乙≥丙≥
【猜想可能】
则分配方法共有多少种？
可以采取“枚举”的方法，不重复，不遗漏地例举出来，但是这样计算量大，于是可以考虑用“归纳的思想”。
【解决过程】
【反思结果】
一般说来，有省略号的地方，以及计算量大的地方可以考虑运用“归纳方法”
【延伸思考】
例2.数列
中第1141个数是多少？
（1）分子分别为：
（2）分母分别为：
（3）分子、分母的和为：
（4）和相同的个数为：
（5）2+4是第（）个数，2+4+6是第（）个数，2+4+6+·
+？
是第1141个数
要求问题，只要求出：
第1141个数在某一组和范围即可
关键是归纳发现“分子与分母的和相同的个数”并推出“和的个数之和与和的末位序数之间的规律”
例3.小王和小张网拼图游戏，他们各用若干个边长为1的等边三角形拼成一个尽可能大的等边三角形，小王有1000个边上为1的等边三角形，但是无论怎么样努力，小王拼成的大等边三角形的边长都比小张拼的等边三角形的边长小，那么。
小张用的边长为1的等边三角形至少有多少个？
（1）画图：
（2）小张的等边三角形个数
则要求问题，既要能，满足（）又要恰好能拼成一个（），且尽量最少的（）个数。
自然的逻辑“贴着题意走”，从而随水推舟。
【练习题目】
1.甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？
2.某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；
由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；
由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
3.一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比.
4.甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？
5.有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：
5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？
2.枚举法
什么是枚举法？
将所有的可能一一列举出来
②赋值；
③列举结果；
【准备】有小明有面值为5角角的邮票各两枚。
他用这些邮票能付多少种不同的邮资？
例1.某人射击8枪，命中4枪，命中4枪恰好有3枪连在一起的情况的中数是多少？
把射击的八枪依次编号，找出三枪连在一起的有那些？
现在的依次三枪连在一起后有六种情况，分别再“搭配”一枪就能计算出结果。
比如：
排列1，2，3，4，5，6，7，8，
组合123，234，345，456，567，678六种情况
其中123——5，6，7，8234——？
题目怎么说，我就怎么做——“贴着题意”走
例2.在自然数中，恰好有4个因数的两位数共有多少个？
※一个数的因数个数怎么求出来的呢？
自己举个例子试一试
※反过来，一个数的因数个数知道了，怎么去确定这个数呢？
满足条件的数应该有一下质因数形式：
的形式
如10=2×
5=
×
，即（1+1）×
（1+1）=4
这些数如果分解质因数的话，有什么特点？
例3.某商店甲、乙、丙三种商品的单价分别是2元、3元、5元，某人买了这三种商品每种若干件，共用去20元，此人发现其中有一种商品买多了，退还两件这种商品，但是营业员只有10元一张的钱，没有零钱退，此人只得将其它两种商品购买的数量调整，使总价保持不变，这时，此人所购三种商品中，乙种商品的件数是多少？
（1）2元×
（？
件）+3元×
件）+5元×
件）=20元
（2）退回两件商品不是5元的
要求乙种商品的件数，可考虑各种商品的可能性，“枚举”出来，“逐步调整”
边读边表达（用图形，用符号表示题目中的数量关系）
【练习题目】
1.小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？
2.甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车.
3.甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？
4.今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？
5.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？
6.一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；
而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的.
3.分类法
什么是分类法：
对各种情况进行列举
①划定范围；
②分组；
③边读边表达
【准备】22+30=50，100﹥80，80﹤100,
80+X=100，80+X﹥100，80﹤2X
3X=180，
100+Y=3×
50仔细观察这些式子，你能将它们分分类？
并说说，你是按什么标准来分的。
例1.各个数位上数码之和是15的三位数共有多少个？
（百位数字）+（十位数字）+（各位数字）=15
当百位数字是1，那么十位数字是5，6，7，8，9，个位数字是9，8，7，6，5；
当百位数字是2，·
“符号表达”是解决数学问题的一种很好的技巧；
例2.如右图，方格纸上放了二十枚棋子，以棋子为顶点的正方形有多少个？
以这些点中的两点为边长，连接的正方形；
正方形的边长相等；
要求问题：
可以考虑各种可能的边长；
也可以基本边长到对角线逐步讨论；
还可以从正方形的倾斜程度逐步讨论。
“分类讨论，逐步调整”是一个很好的思维策略
例3.一辆汽车和一辆大卡车在一段9千米的狭路上相逢，必须倒车才能继续前进。
已知小汽车的速度是大卡车的3倍，两车倒车速度是各自的
；
小汽车需要倒车的时间是大卡车的4倍。
如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这条狭路最少要多少个小时？
（1）“小汽车的速度是每小时50千米”，“是大卡车的3倍”可以求出什么？
（2）“小汽车的速度是每小时50千米”，可以求出小汽车倒车速度是多少？
（3）小汽车倒车路程（4分）+大卡车倒车路程（1分）=9千米
逐步讨论各种情况所需时间；
小汽车倒车所需时间与大卡车倒车后再通过狭路的总时间来分析。
找出范围，分类讨论，逐步调整
1.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，，乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时.......两人如此交替工作.那么打完这部书稿时，甲乙两人共用多少小时？
2.黄气球2元3个，花气球3元2个，学校共买了32个气球，其中花气球比黄气球少4个，学校买哪种气球用的钱多？
3.一只帆船的速度是60米/分，船在水流速度为20米/分的河中，从上游的一个港口到下游的某一地，再返回到原地，共用3小时30分，这条船从上游港口到下游某地共走了多少米？
4.甲粮仓装43吨面粉，乙粮仓装37吨面粉，如果把乙粮仓的面粉装入甲粮仓，那么甲粮仓装满后，乙粮仓里剩下的面粉占乙粮仓容量的1/2；
如果把甲粮仓的面粉装入乙粮仓，那么乙粮仓装满后，甲粮仓里剩下的面粉占甲粮仓容量的1/3，每个粮仓各可以装面粉多少吨？
5.甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都是2，甲、乙两数之和是478.那么甲、乙丙三数之和是几？
6.一辆车从甲地开往乙地.如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达.甲、乙两地之间的距离是多少千米？
4.调整法
什么是调整法?
依顺序列举，逐步尝试调整
①确定顺序；
②逐步尝试；
③逐步调整；
【准备】把14分成一些自然数的和，再求这些自然数的积，积最大是多少？
例1.整数8可以写成1，1，2，4这4个整数的和，也可以分成4个整数的积。
那么最少有多少个不等于2008的整数，使得它们的和等于2008，它们的积也等于2008？
（1）2008分解质因数，抓住本质；
（2）2008分解成如干个自然数的和，要“最少”，怎么办？
题目要求这组整数“最少”，只能使这组整数中“1”的个数尽量少，其它因数尽可能大；
可以是那些，只好逐步调整。
此题得充分利用自然数“1”在“积”和“和”中的特点；
另外，“最多”与“最小”也是解决这类题的关键。
例2.两个瓶子A、B各装有6升盐水溶液，它们的含盐浓度分别是5%，10%。
我们将A的溶液倒1升到B中，又将B中摇匀后的溶液倒1升到A中。
我们把这样的操作称为一次勾兑。
如果想A瓶的含盐度增加到6.5%以上，那么，我们至少需要勾兑多少次？
（原有溶质+增加溶质）÷
（原有溶液+增加溶液）=增加后的含盐浓度
按照题意勾兑，逐步调整，直至A瓶的含盐浓度增加到6.5%为止。
清楚概念“浓度”的意义和计算方法；
依次勾兑；
例3.绕湖一周是22千米，甲、乙二人从湖边某地同时出发方向而行。
甲以4千米/小时的速度每走1小时后休息5分钟，乙以6千米/.小时的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？
（1）1小时50分=（）分钟
（2）50分+10分=（）分钟
（3）在65分钟里，两人共走多少千米？
由于两人休息时间不一致，所以就只能逐步调整来解决
以某一个为标准（以甲的65分钟为标准）；
然后逐步调整；
到最后余下的3千米，就常规处理了。
1.某校参加军训队列表演比赛，组织一个方阵队伍.如果每班60人，这个方阵至少要有4个班的同学参加，如果每班70人，这个方阵至少要有3个班的同学参加.那么组成这个方阵的人数应为几人？
2.甲、乙、丙三台车床加工方形和圆形的两种零件，已知甲车床每加工3个零件中有2个是圆形的；
乙车床每加工4个零件中有3个是圆形的；
丙车床每加工5个零件中有4个是圆形的.这天三台车床共加工了58个圆形零件，而加工的方形零件个数的比为4：
3：
3，那么这天三台车床共加工零件几个？
4.圈金属线长30米，截取长度为A的金属线3根，长度为B的金属线5根，剩下的金属线如果再截取2根长度为B的金属线还差0.4米，如果再截取2根长度为A的金属线则还差2米，长度为A的等于几米？
5.某公司要往工地运送甲、乙两种建筑材料.甲种建筑材料每件重700千克，共有120件，乙种建筑材料每件重900千克，共有80件，已知一辆汽车每次最多能运载4吨，那么5辆相同的汽车同时运送，至少要几次？
6.从王力家到学校的路程比到体育馆的路程长1/4，一天王力在体育馆看完球赛后用17分钟的时间走到家，稍稍休息后，他又用了25分钟走到学校，其速度比从体育馆回来时每分钟慢15米，王力家到学校的距离是多少米？
5..代换法
什么是代换法？
将一个数量用另一个数量代替
①找出数量关系句；
②逐步转化，用一个数量代换另一个数量；
③调整统一；
【准备】十个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形（如图），求大矩形的周长。
例1.在一个梯形内有两个面积分别是6、8平方厘米的三角形（如图），这个梯形的下底长是上底的2倍，则图中阴影部分面积是多少平方厘米？
（1）6=上底×
高上÷
28=下底×
高下÷
2梯形=（上底+下底）×
高÷
2
（2）高上+高下=高下底=上底×
直接求梯形面积缺少条件，可以间接求，利用等量代换和恒等变形等策略
“利用等量关系建立等量关系式，然后做等量代换运算”这是一个很重要的解题策略
例2.已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相等的大于0的自然数，要使下列等式都成立，A的最小值是多少？
B+C=AD+E=BE+F=CG+H=DH+I=EI+K=F
A=B+C=（D+E）+（E+F）=D+2E+F=（G+H）+2（H+I）+（I+K）
=G+3H+3I+K
第一，用尽可能多的其它数的运算来代替A；
第二，按照A要尽可能小，分析出其它数的大小。
通过代换A与最小的字母直接联系起来，是这题的最巧妙之处。
例3.如图，在三角形ABC中，BD：
DC=1：
2，E为AD的中点，若三角形ABC的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？
（1）由“BD：
2”，可以知道（）
（2）“E为AD的中点”，可以知道（）
设三角形AFE的面积为x，将四边形FBDE，从不同的角度用式子表示出来，成为一个方程，然后解答
等分图形技巧；
代数式表达出来，然后等量变形
1.六年级五个班的同学共植树100棵.已知每个班植树的棵数都不相同，且按数量从多到少的排名恰好是一、二、三、四、五班.又知一班植的棵数是二、三班植的棵数之和，二班植的棵数是四、五班植的棵数之和，那么三班最多植树多少棵？
2.甲每小时跑13千米，乙每小时跑11千米，乙比甲多跑了20分钟，结果乙比甲多跑了2千米.乙总共跑了多少千米？
3.有高度相等的A，B两个圆柱形容器，内口半径分别为6厘米和8厘米.容器A中装满水，容器B是空的，把容器A中的水全部倒入容器B中，测得容器B中的水深比容器高的7/8还低2厘米.容器的高度是多少厘米？
4.有104吨的货物，用载重为9吨的汽车运送.已知汽车每次往返需要1小时，实际上汽车每次多装了1吨，那么可提前几小时完成.
5.师、徒二人第一天共加工零件225个，第二天采用了新工艺，师傅加工的零件比第一天增加了24%，徒弟增加了45%，两人共加工零件300个，第二天师傅加工了多少个零件？
徒弟加工了几个零件？
6.奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米.去时用了4天，回来时用了3天，问学校距离百花山多少千米？
6.赋值法
什么是赋值法？
赋予未知数一个字母或者一个具体的数
①找出基本未知量；
②用字母或者具体数量代替为字数量；
③写出与具体数量相关的其余数量；
【准备】某一学校上个年度男生与女生的人数比是3：
1。
如果本年度男身减少12%，女生增加20%，那么本年度全体学生中，男生占百分之几？
例1.去年实验小学参加各种体育兴趣小组的同学中，女生占总数的
，今年全校的学生数与去年一样，为迎接2008年奥运会，全校今年参加各种体育兴趣小组的学生增加了20%，其中女生在总数的
。
那么，今年的女生参加各种体育兴趣小组的人数比去年个增加百分之几？
（1）去年参加体育兴趣小组人数×
1/5=去年女生人数
（2）去年参加体育兴趣小组人数×
（1+20%）×
1/4=今年女生人数
（3）（今年女生人数－去年女生人数）÷
去年女生人数×
100%
如果“去年参加体育兴趣小组人数”赋予一个字母A，以方表述与代入计算，通过观察，课可以提取公因素“去年参加体育兴趣小组人数”，最后计算除法时被“抵消”，·
“赋值”就是“特殊值”，中学的“参数方程”——“设而不解”就是这个道理。
例2.张先生以标价的95%买下一套房，经过一段时间后，他又以超出标价的40%的价格出售。
这段时间物价的总涨幅为20%。
张先生买进和卖出这套房所得利润率为百分之几？
（1）标价×
95%——买进价
（2）标价×
（1+40%）——卖出价
（3）标价×
95%×
（1+20%）——物价上涨后价格
（4）实际利润÷
物价上涨后价格×
100%=利润率
显然，可将标价赋值
很多数量都与“标价”有关，所以抓住“标价”赋值；
同时注意，一道题的结果求一个关系量，用赋值也是很有用的。
例3.快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。
已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留了半小时返回。
快车到乙地停留了1小时返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共用了几小时几分？
（1）此题没有“路程”和“速度”，如果有了“路程”，那么，速度自然也就有了；
（2）赋值“路程”为单位“1”，就可以知道，两车的速度和，乙车的速度·
（3）“往返相遇”，一次相遇共行一个全程，二次相遇共行三个全程·
要求两车从第一次相遇到第二次相遇的时间，可以考虑分别求出从第一次相遇到第二次相遇共行的时间和共休息的时间即可
注意，此题理解和转化上的困难是，快车比慢车多休息30分钟，“造成”两车还需共行快车“耽误”的30分钟的路程。
1.某地收取电费的标准是：
每月用电量不超过50度，每度收5角；
如果超出50度，超出部分按每度8角收费.每月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？
2.王师傅计划用2小时加工一批零件，当还剩160个零件时，机器出现故障，效率比原来降低1/5，结果比原计划推迟20分钟完成任务，这批零件有多少个？
3.妈妈给了红红一些钱去买贺年卡，有甲、乙、丙三种贺年卡，甲种卡每张0.50元,丙种卡每张1.20元.用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张.妈妈给了红红多少钱？
乙种卡每张多少钱？
4.一位老人有五个儿子和三间房子，临终前立下遗嘱，将三间房子分给三个儿子各一间.作为补偿，分到房子的三个儿子每人拿出1200元，平分给没分到房子的两个儿子.大家都说这样的分配公平合理，那么每间房子的价值是多少元？
5.小明和小燕的画册都不足20本，如果小明给小燕A本，则小明的画册就是小燕的2倍；
如果小燕给小明A本，则小明的画册就是小燕的3倍.原来小明和小燕各有多少本画册？
6.爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁.当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁.现在三人的年龄各是多少岁？
7.函数法
什么是函数法？
指数量关系具有变化规律的一类题目
①摘录条件对应排列；
②罗列数量所对应的数；
③探讨关系的数量变化规律；
【准备】口袋中共有小球若干个，其中红球占总数的
，后来拿走6个其它颜色的小球，这时红球占现在总数的
，求原来有球多少个？
例1.甲、乙两人在一个400米的环形跑道上跑步。
他们从同一个地方出发，甲在乙跑出300米后才起跑，刚跑完6圈便赶上了乙。
此时，甲又调头反向跑，经过一分钟后二人再次相遇。
已知甲、乙二人跑步的速度始终不变，那么二人再次相遇时乙跑了多少分钟？
【
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