二轮复习数学专题跟踪检测十七 概率随机变量及其分布列Word文档下载推荐.docx
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①每人进行3个轮次的投篮；
②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是（ ）
A．3B.
C．2D.
选B 每个轮次甲不能通过的概率为×
＝，通过的概率为1－＝，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B，所以X的数学期望为3×
＝.
6.
（2018·
潍坊模拟）如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是（ ）
选C 设正六边形的中心为点O，BD与AC交于点G，BC＝1，则BG＝CG，∠BGC＝120°
，在△BCG中，由余弦定理得1＝BG2＋BG2－2BG2cos120°
，得BG＝，所以S△BCG＝×
BG×
sin120°
＝×
×
＝，因为S六边形ABCDEF＝S△BOC×
6＝×
1×
sin60°
6＝，所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1－＝.
7．（2018·
福州模拟）某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、油纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________．
记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a，b，c，则并排贴的情况有abc，acb，bac，bca，cab，cba，共6种，其中b，c相邻的情况有abc，acb，bca，cba，共4种，故由古典概型的概率计算公式，得所求概率P＝＝.
答案：
8．（2018·
唐山模拟）向圆（x－2）2＋（y－）2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．
如图，连接CA，CB，依题意，圆心C到x轴的距离为，所以弦AB的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB的面积为×
π×
2－×
2×
＝π－，所以向圆（x－2）2＋（y－）2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率P＝－.
－
9．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，则两张都是假钞的概率是________．
设事件A为“抽到的两张都是假钞”，事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率为P（A|B），
因为P（AB）＝P（A）＝＝，
P（B）＝＝，
所以P（A|B）＝＝＝.
10.（2018·
唐山模拟）某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图．
（1）根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
（2）假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N（μ，σ2），且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数．
参考数据：
≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N（μ，σ2）在区间（μ－2σ，μ＋2σ）内取值的概率约为0.954.
解：
（1）μ＝（7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23）＝15，σ2＝[（－8）2＋（－7）2＋（－5）2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
（2）由
（1）得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
P（X≥26）≈[1－P（μ－2σ＜X＜μ＋2σ）]≈（1－0.954）＝0.023，
设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，则Y～B（82,0.023）．Y的均值E（Y）＝82×
0.023＝1.886.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886.
11．某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品，分别经过本公司的两条生产线分装后进行销售，两种化妆品的标准质量都是100克/瓶，误差不超过±
5克/瓶即视为合格产品，否则视为不合格产品．现随机抽取两种产品各60瓶进行检测，检测结果统计如下：
质量/克
[90,95）
[95,100）
[100,105）
[105,110]
美容型化妆品/瓶
5
22
23
10
疗效型化妆品/瓶
21
19
15
（1）根据上述检测结果，若从这两种化妆品中各任取一瓶，以频率作为概率，分别计算这两瓶化妆品为合格产品的概率；
（2）对于一瓶美容型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a（单位：
百元），若不是合格产品，则亏损a2（单位：
百元）；
对于一瓶疗效型化妆品，若是合格产品，则可获得的利润为a（单位：
百元），若不是合格产品，则亏损2a2（单位：
百元）．那么当a为何值时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大？
（1）由表可知，任取一瓶美容型化妆品，其为合格产品的概率为＝；
任取一瓶疗效型化妆品，其为合格产品的概率为＝.
（2）记X为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和，则X的所有可能取值为a，a－2a2，a－a2，－3a2，
则P＝×
＝，
P（X＝a－2a2）＝×
P＝×
P（X＝－3a2）＝×
所以随机变量X的分布列为
X
a
a－2a2
a－a2
－3a2
P
所以E（X）＝a×
＋（a－2a2）×
＋×
＋（－3a2）×
＝－a2＋a＝－（a－2）2＋，
所以当a＝2时，E（X）取得最大值，
即当a为2时，该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大．
12．（2019届高三·
贵阳模拟）从A地到B地共有两条路径L1和L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图
（1）和
（2）．现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地，乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地．
（1）求图
（1）中a的值；
并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对
（1）中的选择方案，求X的分布列和数学期望．
（1）由图
（1）可得（0.01＋0.02×
3＋a）×
10＝1，
解得a＝0.03，
用Ai表示甲选择Li（i＝1,2）在40分钟内从A地到B地，用Bi表示乙选择Li（i＝1,2）在50分钟内从A地到B地，则P（A1）＝（0.01＋0.02＋0.03）×
10＝0.6，P（A2）＝（0.01＋0.04）×
10＝0.5，
因为P（A1）＞P（A2），所以甲应选择L1.
又P（B1）＝（0.01＋0.02＋0.03＋0.02）×
10＝0.8，
P（B2）＝（0.01＋0.04＋0.04）×
10＝0.9，
因为P（B2）＞P（B1），所以乙应选择L2.
（2）用M，N分别表示针对
（1）的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地，由
（1）知P（M）＝0.6，P（N）＝0.9，X的可能取值为0,1,2.
由题意知，M，N相互独立，
∴P（X＝0）＝0.4×
0.1＝0.04，
P（X＝1）＝0.4×
0.9＋0.6×
0.1＝0.42，
P（X＝2）＝0.6×
0.9＝0.54，
∴X的分布列为
1
2
0.04
0.42
0.54
∴E（X）＝0×
0.04＋1×
0.42＋2×
0.54＝1.5.
13．（2018·
全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0<
p<
1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
（1）因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为
f（p）＝Cp2·
（1－p）18，
所以f′（p）＝C[2p（1－p）18－18p2（1－p）17]
＝2Cp（1－p）17（1－10p）．
令f′（p）＝0，得p＝0.1.
当p∈（0,0.1）时，f′（p）>
0；
当p∈（0.1,1）时，f′（p）<
0.
所以f（p）的最大值点为p0＝0.1.
（2）由
（1）知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（180,0.1），X＝20×
2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E（40＋25Y）＝40＋25EY＝490.
②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>
400，故应该对余下的产品作检验．
二、加练大题考法——少失分
1.
郑州质检）为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示，
（1）若甲单位数据的平均数是122，求x的值；
（2）现从图中的数据中任取4天的数据（甲、乙两个单位中各取2天），记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和数学期望．
（1）由题意知，×
[105＋107＋113＋115＋119＋126＋（120＋x）＋132＋134＋141]＝122，解得x＝8.
（2）由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，
所以P（η＝0）＝＝，
P（η＝1）＝＝，
P（η＝2）＝＝，
P（η＝3）＝＝，
P（η＝4）＝＝.
所以η的分布列为
η
3
4
所以E（η）＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＋4×
福州模拟）某学校八年级共有学生400人，现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级
水平一
水平二
水平三
水平四
男生/名
8
12
6
女生/名
（1）根据表中统计的数据填写下面2×
2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关？
实践操作能力较弱
实践操作能力较强
总计
（2）现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习能力测试，记抽到水平一的男生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：
K2＝，
其中n＝a＋b＋c＋d.
（1）补充2×
2列联表如下：
18
30
14
20
26
24
50
∴K2＝≈4.327＞3.841.
∴有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关．
（2）ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，
P（ξ＝4）＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
∴E（ξ）＝0×
开封模拟）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；
乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
（1）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示：
X1
7
0.4
b
0.1
且X1的数学期望E（X1）＝6，求a，b的值；
（2）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；
（3）在
（1），
（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，判断哪个工厂的产品更具可购买性？
并说明理由．
注：
①产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望/产品的零售价；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
（1）∵E（X1）＝6，∴5×
0.4＋6a＋7b＋8×
0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2.①
又0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.②
联立①②解得a＝0.3，b＝0.2.
（2）由已知，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
0.3
0.2
∴E（X2）＝3×
0.3＋4×
0.2＋5×
0.2＋6×
0.1＋7×
0.1＋8×
0.1＝4.8，
即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.
（3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，
∴其性价比为＝1，
∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，
∴其性价比为＝1.2，
又1.2＞1，∴乙厂的产品更具可购买性．
4．（2019届高三·
洛阳联考）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司6个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2019年2月份（即x＝8时）的市场占有率；
（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆使用年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用年限频数表如下：
使用年限
车型
1年
2年
3年
4年
A
35
100
B
40
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用年限都是整数，且以频率作为每辆单车使用年限的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
回归直线方程为＝x＋，
其中＝，＝－.
（1）由数据计算可得＝＝3.5，
＝＝16.
iyi＝1×
11＋2×
13＋3×
16＋4×
15＋5×
20＋6×
21＝371，
＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91，
∴＝＝2，＝16－2×
3.5＝9.
∴月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为＝2x＋9.
当x＝8时，＝2×
8＋9＝25.
故M公司2019年2月份的市场占有率预计为25%.
（2）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1，
∴每辆A款车产生利润的期望值为
E（X）＝（500－1000）×
0.2＋（1000－1000）×
0.35＋（1500－1000）×
0.35＋（2000－1000）×
0.1＝175（元）．
由频率估计概率，每辆B款车可使用1年，2年，3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2，
∴每辆B款车产生利润的期望值为
E（Y）＝（500－1200）×
0.1＋（1000－1200）×
0.3＋（1500－1200）×
0.4＋（2000－1200）×
0.2＝150（元）．
∴E（X）＞E（Y），∴应该采购A款单车．
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